莉薩·皮奇里洛（Lisa Piccirillo）

圖片來源：Ian MacLellan for Quanta Magazine

當代最偉大的數學家之一約翰·霍頓·康威（John Horton Conway）于今年4月11日在普林斯頓逝世。就像其他一些偉大的數學家，他也留下了著名的難題。他在半個多世紀前發現的康威扭結引發的一個拓撲學難題——康威扭結是否為更高維結構的切片——就難道了無數數學家。但最近，這個難題卻被一位博士生用一周的業余時間解決了。

康威扭結的切片問題，困擾了數學家幾十年的時間，卻在莉薩·皮奇里洛（Lisa Piccirillo）的證明下迎刃而解。皮奇里洛是如何做到的？這還要從2018年說起。

那年夏天，她在一個低緯度拓撲學和幾何學會議上，了解到這一有趣的數學問題。當時，皮奇里洛還沒有意識到這是一個著名的難題，只是認為它或許能用來測試她在得克薩斯大學讀研究生時開發的工具。

皮奇里洛表示：“我并沒有用白天的工作時間去解決這個問題，也沒有把它看作真正的數學問題，更像是把它當作家庭作業。”

在一周之內，皮奇里洛就得到了個答案：康威扭結不是高維空間扭結的切片(slice)。數天后，她遇到了得克薩斯大學奧斯汀分校的教授卡梅倫·戈登（Cameron Gordon），并簡單地提及了她的解決方法。戈登回憶說：“當時我說，‘什么？.....那你應該立刻把論文發到《數學年刊》。’”這是數學領域的頂級期刊之一。

現在，皮奇里洛已是布蘭迪斯大學的博士后，她回憶起當時的場景：“他開始叫嚷道，‘為什么你一點也不興奮？’他有點興奮過頭。”但戈登說：“我想說她并沒有意識到這是一個多么古老、經典的難題。”

今年2月，《數學年刊》發表了皮奇里洛的證明。僅在完成博士學位僅僅一年后，皮奇里洛通過這篇論文和其他研究工作，獲得了麻省理工學院的終生教職。

四維空間中的扭結理論

說到扭結，大多數人會想到在一根有兩端的繩子上打的結，而數學家考慮的則是繩子的兩頭連在一起的情況，這時扭結就無法解開了。在過去的一個世紀里，這些扭結已經幫助科學家解釋了從量子物理學到DNA結構，以及三維空間的拓撲結構等一系列問題。

如果將時間算在內，我們的世界是四維的。因此，我們很自然地會想到一個問題：四維空間里是否存在相應的扭結理論？這不僅僅是將三維空間里的扭結放在四維空間里這么簡單，還需要解決的一個問題是，在四維空間中，如果繩結在第四個維度上相遇，這時扭結就會解開。

最早在20世紀20年代，數學家就建立了這一理論：為了在四維空間制造一個扭結，你需要一個二維的球面，而不是一個一維的環。正如三維空間能為構建打結的環提供足夠的空間，但不足以讓扭結解開，四維空間中，打結的球面也是如此。

四維空間中打結的球面是什么樣的？要想象這樣的畫面似乎很難，為了幫助我們理解，讓我們首先考慮三維空間中的普通球面。穿過這個球面，你將看到一個沒有打結的環。但當你在四維空間穿過一個打結的球面時，你看到的可能是一個打結的環。（根據切割的位點，你還可能看到一個未打結的環，或幾個連接在一起的環）穿過打結的球面制造出來的扭結，就被認為是“切片”（slice）。另一些扭結不屬于切片，例如三葉結。切片扭結成為連接三維空間和四維空間中扭結理論的橋梁。

但是，一個特征讓四維空間中的扭結具有豐富性和獨特性。在四維拓撲學中，存在兩種不同的切片扭結。在20世紀80年代早期，隨著一系列革命性理論的發展，數學家發現四維空間不僅含有最初發現的光滑球面，也包括含有各種皺褶的非光滑球面。而扭結是否是切片還取決于，是否選擇包含這些皺褶的球面。萊斯大學的謝利·哈維（Shelly Harvey）說：“有一些特別奇怪的物體，就像是由魔法產生的?！?/p>

這些奇怪的球面并不是四維拓撲學的bug，而是一種重要特征。這些扭結是“拓撲的切片”而不是“光滑的切片”，這也意味著它們是一些褶皺球面的切片。這也讓數學家建立了普通四維空間的特殊版本。從拓撲學的角度來看，它們看上去和普通的空間相同，但不可避免地存在皺褶。這些奇異空間的存在，能將第4個維度與其他的維度分開。

數十年的難題

20世紀50年代，約翰·康威在青少年時，就對扭結產生了興趣。他采用一種簡單的方法，列出了全部含有11個交叉的扭結（在此之前，數學家還只能完整地列出含有10個交叉的扭結）。在這些扭結中，有一個十分突出。波士頓大學的喬舒亞·格林（Joshua Greene）說：“我認為康威當時就意識到了這一扭結的特殊之處?！?/p>

而這一扭結引發的難題——康威扭結是否為更高維扭結的切片，困擾了數學家長達數十年的時間。“切片”是扭結理論學家針對高維空間中的扭結，首先自然想到的多個問題之一。

格林表示，切片問題并不是這些奇怪的四維空間的“最低維度的探測器”。近些年來，數學家發現了多種屬于拓撲切片，而不是光滑切片的扭結。數學家已經證實了幾乎所有含有不超過12個交叉的扭結的切片狀態，但唯一的例外，就是康威扭結。

當康威扭結作為一種拓撲切片扭結而為人熟知時，20世紀80年代的數學家意識到，這一結構中蘊含著一些革命性的發現。他們無法計算出這種切片扭結是不是光滑的，但他們的推測答案是否定的，因為這一扭結缺乏傳統的光滑扭結均具有的“ribbonness”結構。但問題并沒有這么簡單，它的另一個特征卻令數學家無法證實它不是光滑的切片扭結。

康威扭結還有一系列的變體。如果你在紙上畫一個康威扭結，剪下其中特定的一部分再將其翻轉，然后將斷開的結點相連，你將會得到另一種很有名的扭結——Kinoshita-Terasaka扭結。

康威扭結和Kinoshita-Terasaka扭結互為變體結構。這也意味著，你能夠通過翻轉紅色矩形框中的部分扭結，實現兩者的轉化。

但問題是，這種新的扭結恰好為一種光滑的切片。盡管康威扭結如此接近一個光滑的切片扭結，但它幾乎躲開了所有數學家用來檢測費光滑扭結的工具（扭結不變量）。皮奇里洛表示，康威扭結就像是同時位于這些多個扭結不變量的盲區。

楊百翰大學的數學家馬克·休斯（Mark Hughes）創造了一個類似神經系統的網絡結構，利用扭結不變量和其他信息，預測扭結的切片等特征。對于大多數扭結，這一結構均能做出清晰的預測，但它對康威結構的判斷是：屬于光滑的切片結構的概率是50%。印第安納大學榮譽教授查爾斯·利文斯頓（Charles Livingston）說：“很長時間以來，它都是我們無法解決的扭結。”

“有點古老”的解決方法

皮奇里洛喜歡扭結理論賦予的視覺直覺，但她并不認為自己是個扭結理論學家。她說：“我對三維和四維的形狀具有很大的興趣。由于這些形狀的研究與扭結理論緊密相連，所以我也做了一些相關研究?！?/p>

皮奇里洛遇到康威扭結的切片問題時，她正在考慮除變體之外，如何通過另一種形式將兩個扭結聯系起來。每個扭結都有一個相關聯的四維形狀，稱作扭結的跡（trace），它是將扭結放置在四維球面的邊界上，順著扭結的位置得到的結構。

不同的扭結能擁有相同的四維跡，當數學家了解這些扭結的跡時，他們可以推測它們具有相同的切片狀態——要么都是切片，要么都不是。但皮奇里洛和萊斯大學的博士后艾利森·米勒（Allison Miller）已經發現，對于所有用于研究切片的扭結不變量，這些相似的跡并不需要看起來一樣。

受此啟發，皮奇里洛想出了一個策略，來證實康威扭結并不是切片。如果她能構建一個與康威扭結構的跡相似的跡，相比于康威扭結，這一跡或能與一個切片不變量更相符。

皮奇里洛想設計了一種和康威扭結具有相同“跡”的扭結，并利用這個新扭結證實了康威扭結不平滑。

構建相近的跡是一項棘手的工作，但皮奇里洛是這方面的專家?！斑@就像我正在從事的工作，”她說，“所以我回家立即開始進行這項研究?！?/p>

皮奇里洛成功構建出一個復雜的扭結，它具有類似康威扭結的跡。而這一扭結已經被Rasmussen不變量證實，是一個非切片扭結。因此，皮奇里洛證實康威扭結也不是切片扭結。

“這是一個非常優美的證明。之前數學家很少認為皮奇里洛構建的扭結，能通過 Rasmussen不變量證實，”戈登說，“因此，這一結果確實有點讓人驚訝?！?/p>

格林說，扭結跡作為一種經典的工具，已使用了數十年的時間，但皮奇里洛無疑比其他人更了解這種工具。她的研究工作顯示，拓撲學家對扭結跡還有待進一步研究。他說：“她選擇了已被科學家棄置了一段時間的工具，但現在其他人已經在跟隨這種研究方式了?！?/p>

原文鏈接：

https://www.quantamagazine.org/graduate-student-solves-decades-old-conway-knot-problem-20200519/

編輯?∑Gemini

來源：環球科學

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的只用一周的业余时间，这位逆天博士生解决了困扰数学界数十年的难题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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