数学的用处（上）
數學的用處（一）
作為科學家的我們相信，世界是一個復雜但邏輯高度自洽的體系。但因為世界的復雜性，大部分簡單直觀邏輯都走不遠，或不可靠。比如說，某地發生火災，天氣因素(A)更重要還是人為因素(B)更重要？對于這個問題，大部分人可能會下意識地猜一個答案，但更精確的答案可能既非 A?也非 B，而是“夏天 A?重要，冬天 B?重要”（條件），或者是“A?和 B?單獨出現影響都不大，但是同時出現影響就很大”（相關），甚至是“A?后于 B?出現則 A?重要，B?后于 A?出現則 B?重要”（時序），更有可能是“A?出現一次沒影響，B?出現一次就挺重要，但 A?出現很多次則成為主要因素”（頻率）。如果一旦通過數據和理論分析，能得到這樣精細的結果，那我們對世界的認識就又深了一層。反之，如果一個學科沒有反直覺的結果，一切都順理成章，一通到底，那它一定是還沒有發展得太深入。
面對這樣的任務，我們平常使用的自然語言就暴露出不足來了。首先是不夠簡潔， 前面的例子讀者可能已經注意到，每一次我們使用自然語言來描述天氣(A)和人為(B)之間的關系，句子都非常長非常繞口。更嚴重更麻煩的問題，是自然語言有二義性，說風不是風，說雨不是雨。今天說風，是指空氣流動，明天說風，指時尚流行，后天說風，指疾病傷痛。這種概念的不確定性在日常生活中比比皆是，甚至是想象力、創造力和幽默感的源頭，卻也會給研究帶來麻煩。試想，若是同一符號指兩個不同的概念，那同行間該如何交流？若是今天寫下的詞句和明天寫下的意義不同，那如何重復別人的邏輯分析和實驗？究其根源，是自然語言與環境的交互太過劇烈，一句話乃至一個字，不僅僅是表達字面意思，背后都承載著我們此時此地的所思所想和喜樂哀愁，乃至文字的歷史和文化的傳承。而做研究，可是要輕裝上陣的。
與文字類似，比喻和插圖也會有同樣二義性的問題。雖說一圖勝千言，但圖畢竟是二維，圖上畫的也多半是日常物體，它所表達的含義，能有小半接近復雜世界的運轉規律，那就是不錯了。事實往往是：分析的理論很抽象，但日常生活太局限，找不到一個具體物品和它有百分之一百的完全對應，于是就只好東一塊西一塊，對理論的每部分做個局部的比喻，以讓人有大致而正確的形象。但要說理論能用一兩張圖完全解釋清楚，就不是每次都能做到的。
舉個例子，說電流像水流，從高勢能處流向低勢能處，這個是對的，但是水流沒有 極性，電流的載流子卻有極性。因此“水流說”不能解釋電流在磁場中的霍爾效應。黑洞像吸塵器，能把周圍的一切物質都吸進去，但黑洞還有霍金輻射，這個吸塵器 說不能解釋。一句話，形象的比喻能讓聽眾抓住要點，但遠遠不是事實的全部。
（當然或許有人說吸塵器也可以把吸起去的物質倒出來，但是和霍金輻射比，兩者的機制是完全不同的，強要類比只會給人錯誤的印象。）
數學很好地解決了這兩個問題。首先，每個數學符號本身毫無意義，它們的意義完全是它們所在的公式、定理及理論框架賦予的，這樣不管讀者是哪國人，受哪種教育，不管他的人生經歷和社會經驗，不管他的性格是外向開朗還是內向深沉，只要從頭細細看起，就都能完全把握理論的所有成分，而不會導致誤解的發生。其次， 因為符號的意義明確，不同符號間的簡單拼接就能表達復雜但明確的含義，因此書寫簡潔。相比之下，如果拿“金木水火土”充當一個理論體系中的數學符號，那因為它們在日常生活中有根深蒂固的含義，理論內外的界限就不一定會非常清楚，很多時候一不小心就會誤讀，思考也會被常識“綁架”而偏離正確方向，就達不成準確表達的目標了。
當然，數學對理論的發展還有更多作用，之后的幾篇會一一陳述。
有了數學作靠山以后，很多文字及圖片的二義性可以消除，而科學專著的作者們， 也就可以任意使用漂亮形象但不太精確的圖示，做有趣生動但不太準確的比喻了。正因為如此，這些用于讓邏輯關系形象化的文字解釋、比喻和插圖，都是在特定理論下產生的，只能做特定的解讀，導出特定的結果。脫開理論背景而孤立地看，就恢復其二義的本性，存在被天馬行空地誤讀的危險，千萬要小心。比如說“薛定諤的貓”僅僅只是用來說明“微觀的量子疊加態的宏觀對應非常不可思議”，但不能理解成”薛定諤的貓很牛“，“做貓就要做薛定諤的貓”之類。
理解了數學的功能和作用，做研究的時候拿它當“定船的鐵錨”是再好不過了。在學習理解前人的工作時，先把文藝細胞和想象力創造力收起來，把自己變成一個完全沒有創造思維的人，按照文獻里展開的故事，一步一步地照著去推演，去理解。為了驗證理解的準確性，問自己問題和做習題是一個很有效的辦法，在這個環節中數學可以提供最為精細的反饋，指出哪里正確，哪里錯誤。一旦對這門學科的理解大體正確了，進入前沿研究階段，創造力才可以涌入，運用該學科的基本原理，推陳出新。在這個時候，思維可以隨意游走，做各種嘗試，科學的直感可以在迷茫中點亮明燈，但只有它們經過了數學的考驗，在邏輯上能和已有的理論自洽共處，在實驗中和已有的數據相符，這塊新大陸才真正是被征服了。
在做過若干次這樣的探索后，才會體會到“世界是簡單的”這句話的精神實質。所 謂簡單，是指在充分認識和體會到世界的復雜之后，突然發現了一些共通的原理， 發現了一些有趣精巧的結構，而從心底發出的感嘆，世界是簡單的，但是是以一種 常人想像不到的方式簡單；問題被漂亮地解決了，但方式方法卻在當初的意料之外。要是一開始把簡單作為指導方針去看待世界，去研究問題分析問題的話，那我覺得 是本末倒置了，只有在經歷過各種煩人細節之后，才能知道主次取舍，知道怎么抓 住主干而忽略其余，問題分析才能簡明又透徹。
除了極少純粹的空想最后實現的例子，在大部分情況下，不對問題有深刻理解，不規范想象力的產出，是不可能得到任何有意義的結果的。想象力就如很多只猴子踩打字機，可能每天踩幾百頁紙出來，但要讓它們踩出一部好作品，概率微乎其微；
如果是一個八歲的孩子，每次能打出一個完整的單詞，那概率就會變大；更進一步， 如果是一位作家在碼字，那概率就已經高很多了。一句話，想像力越強，則成果越 多（但未必有意義）；基礎知識越豐富思考越深入，成果越可信質量也越高，兩個 缺一不可。
愛因斯坦說“想象力比知識更重要”，那是站在他的水準上說的。
數學的用處（二）
那么怎么學數學才好呢？
首先，要抓住大節。在一篇文章中，所有的概念，推理，公式全是為了達成某個目 的，因此先把目的搞清楚就是最重要的。每篇文章的摘要和引言就是為此所設，既 能讓讀者快速篩選文章，又能引導讀者思路。讀者有了思路之后，大腦中相關的數 據都已載入內存，再去看正文，匆匆兩眼就可以知道大體框架是什么，哪些概念和 公式是主要的，哪些是細節，然后集中精力把主要脈落理順就好了。這樣去看文章， 又快又好。
站在這個立場上，我不是很贊同“先學好數學，研究才能做好”的觀點。一切手段都是要為目的服務的。數學分支何其龐雜，全部讀完不知道要花多少精力，而且在沒有定下目標之前就鉆進書本里，就不知主次，經常有誤把細節當成重點的事情發生，可以說是浪費時間了。舉個例子，開集和閉集的區分，在拓撲學中很重要，兩個集合就差一個點，性質有天壤之別；但是如果目標是改善數值計算的算法，那其實這兩者沒太大區別。
我有時候想，為什么大家總是很討厭數學，就是因為我們要硬教給學生各種開路造橋的技巧，卻不告訴他們目標在何方。學生們當然納悶，自己明明想當個編輯，開路造橋和我有啥關系？反過來，如果先明確了“讓飛機飛起來”或是“讓機器下棋更聰明”的目標，那么為了完成它，空氣動力學或者是機器學習就成了自然而然的必修課，我們也不會抱怨復雜的概念和繁瑣的推導，而是拼盡全力地去思考學到的哪些東西能讓我們達成目標，這一路走去，樂趣也就多多了。
當然，如果有大把的時間可以消費，那不妨多看點，因為對一個領域了解深刻了， 才能切實地感受到要在這個領域做科研，會是什么滋味，對將來的選題大有幫助。以我的經驗，以前因為興趣而看的數學書，雖然對具體的研究都沒什么用，但卻培養出了一種“這樣的模型是對的，那樣的模型一定什么地方有問題”的直感，等到哪天碰上了難題，說不定就突然從腦子里跳出來了。
其次，要留意技巧。在科研探索的漫長探險中，數學技巧就是賴以生存的武器庫。做科研，大家都從同一個目的地出發，去向不同的地方。有人攀上萬丈山崖，有人潛入萬米深海，有人探險酷熱火山，有人志在冰寒極地。不論去哪里都是極好的，
但每一條路，都需要相應的技巧才能達到別人達不到的地方。而武器庫里的武器越多，小方法小技巧越多，則面對難題和困境時可以采用的方式方法越多，就越有可能達到新的層次，發現新的事實。
形象地來說，我們從出發地遠行，依稀看見遠處的峰頂，雖然高聳入云令人生畏， 但數學告訴我們如何巧妙鋪路建橋搭梯子到達目的地，并且知道的越多，辦法就越多；若是望見鏡花水月，雖然近得似乎觸手可及，但數學告訴我們人力不可為，不用浪費時間，提早繞過的好。做學術也是這樣，很多事看起來容易，但做起來難， 比如說像費馬大定理這種形式簡單的命題，幾百年來無人能解，最后居然是高深的橢圓曲線論的推論；反之，有時候問題看起來無從下手，數學卻給你一條巧妙的捷徑戰而勝之。比如兩個凸函數相加是不是還是凸函數呢？直覺上每個函數有唯一一個全局最小值，加起來可能有兩個局部極小值，似乎情況很復雜。但是嚴格證明告訴你，相加得到的函數還是凸函數，還只有一個全局最小值。這些，都是每一門學科里“反直覺”的典型體現，是學科發展中的精華，把這些關系記下來反復運用， 就會突破簡單直覺的疆界，產生新的更準確的直覺和更貼切的比喻，一些本來不清不楚的問題就可以看清了，本來需要絞盡腦汁才明白的情況，現在在更抽象而簡練的概念下，囊括在幾句話中了。
我在讀博之前，寫過“學數學的七個階段”，現在拿過來看，在磨練技巧方面，還是很有借鑒意義的：
階段一：看到滿天的公式不知所云，甚至油然而生一種敬畏心理，崇拜能看懂能讓文章里充滿公式的人。
階段二：跨過了一所帶來的挫敗感，開始自學數學。可是書海茫茫，不知從哪里開始，也不知道學了能做什么。正因為不了解，因此對概念名詞有新鮮感和神秘感， 本能地想要找題目高深的書來看，但是符號眾多，晦澀難懂，馬馬虎虎翻過之后， 似乎沒覺得學到了什么。
階段三：跨過了理解不能的漫漫長夜之后，終于某一天發現自己開始能看懂公式， 能通過公式了解別人想表達的觀點了。興奮之情難以言表，然而過了兩日又發現自己的理解有誤，如此反復推敲。其間可能數次將以前的觀點完全推翻，或者因為長時間不能理解而沮喪甚至放棄。
階段四：在看過很多書和文章，及無數次的冥想苦想之后，自己的理解力終于達到了“只要花時間下去就基本理解不錯”的境界，一些粗看高深的書，經過咀嚼后發現原來如此。此時可以說體會到了理解數學精妙的快樂，學數學也就入門了。
階段五：在四的基礎上，繼續看書看文章。發現有些高深的東西在怪異的符號后面其實沒說什么，或者說用一兩句話就能簡單概括。于是意識到精妙的內容不一定需要唬人的形式，新的概念后面未必有新的實質，數學真正的“心”可以完全拋卻符
號公式而僅用言語就能講得清楚，而符號或者公式不過只是為了保證邏輯嚴密性和表達簡潔性的必要工具。
階段六：有了五的發現，茫茫書海，篇篇文章開始有了高下之分。與人談論時指點江山，嘆有新意者少而炒冷飯者多，至忘情處頗有狂妄自得之態。
階段七：眼光放遠，勤思精修，還是發現令人拍案叫絕的好東西在十年百年前，迥異的思想，驚人的技巧，九曲十折而豁然開朗，零敲碎打而結論自成，那是一種令人心折的美麗。經典的永遠是經典，時間只會證明它們的價值而不是抹去它們的存在。至此，便生敬畏之心，反省自己，想想平生所學微末伎倆與之相比判若云泥， 虛妄自負盡去，自卑也生。然而決然之心更勝于前，因為方才得窺至美至妙，又何能禁得住繼續觀賞的沖動呢？
一言以蔽之，就是不斷看不斷總結，留意別人用過的技巧和提過的方案，并且仔細收集體會，比較不同文章間的異同，然后收納入自己的武器庫里面。為了做這樣的收集，時間跨度，領域跨度都可以很大。我個人很熱衷這些，05?年剛開始看論文的時候，無視文章的領域，不記得作者是誰，不關心實驗結果，跳過前兩頁，直接鉆進模型里看各種技巧并且樂在其中。之后漸漸明白了文章的主旨和背景更重要， 但這一習慣仍然頑固難改，并且仍將繼續頑固下去:-)
這是研究極有樂趣的地方之一。久而久之，別人的辦法都逃不出自己的武器庫，猜功就會越來越好，讀文章也會越來越快，而自己想出來的東西，也就總是比別人更新更有趣一點，發文也就比較容易中稿。這時候就會發現，一味欣賞崇拜或是羨慕前人的工作不再重要，簡單套用已有理論去解決問題也不再有趣，卻津津樂道于在已有的數學大廈中裁裁剪剪，在收集好的武器庫中左顧右盼，拋開花哨而無用的概念，拾取簡單卻關鍵的核心，然后重新煅造，回爐成型，為所從事的領域，打一套量身訂做的，精致自洽的新框架，并從這個框架出發，提出自己的觀點和想法。
這個，就是第八階段。
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