來簡(jiǎn)單說一下當(dāng)前可以確認(rèn)的理論物理的高度。我們最早的理論物理是為實(shí)驗(yàn)服務(wù)的。在那個(gè)年代，我們依然處于做大量的實(shí)驗(yàn)，然后總結(jié)規(guī)律的階段。所以在這一階段涌現(xiàn)出了一系列比較初等的定律，比如

• 熱力學(xué)第n定律

• Snell 定律（光的折射定律）

• 萬(wàn)有引力定律

• Coulomb 定律（靜電相互作用）

• Faraday 定律 (電磁感應(yīng)定律）

等等。這個(gè)時(shí)候物理學(xué)理論和其它任何科學(xué)分支的理論沒有本質(zhì)上的差別。

后來，我們開始發(fā)現(xiàn)不同的定律之間有一些相同之處，尤其是發(fā)現(xiàn)電學(xué)和磁學(xué)之間的巨大相似性，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)原來電和磁是同一樣?xùn)|西。于是我們開始做抽象，把電學(xué)和磁學(xué)（以及一部分波動(dòng)光學(xué)）的規(guī)律都吸收到了一套理論中，這就是 Maxwell 的電磁理論。這一階段的畫風(fēng)是這樣的

• 一切電磁相關(guān)的現(xiàn)象均可被 Maxwell 電磁理論描述

• 一切引力相關(guān)的現(xiàn)象均可被 Einstein 引力理論描述

• 一切熱學(xué)相關(guān)的現(xiàn)象均可被 統(tǒng)計(jì)理論描述

…………

再接下來，我們還發(fā)現(xiàn)不同的理論之間還有一些相同之處。于是我們開始了進(jìn)一步的抽象，創(chuàng)造了所謂的 theory generator，或者說是一種通用的，用于生產(chǎn)理論的方法。典型的案例包括 Lagrange 動(dòng)力學(xué)，Hamiltonian 力學(xué)等等。這一階段的畫風(fēng)是這樣的

一切經(jīng)典理論均可由如下原理生成：

這里面??是作用量，??被稱為 Lagrangian。為了得到 Maxwell 電磁理論，你只需要?，為了得到廣義相對(duì)論，你只需要?。是的，你只要指定一個(gè) Lagrangian，然后上述原理就可以自動(dòng)給你生成一個(gè)理論。

這看上去好像用處不是非常大。事實(shí)上在牛頓那個(gè)年代之后不久，這種方法的雛形就已經(jīng)出現(xiàn)了。不過真正讓它煥發(fā)光彩的是 1918 年（正好100年前）的一件大事：著名數(shù)學(xué)物理學(xué)家 Emmy Noether 提出了 Noether 定理，這一定理利用上述原理證明了 Lagrangian 的對(duì)稱性可以導(dǎo)致守恒量。

這是非常強(qiáng)大的一條數(shù)學(xué)定理。要知道，物理學(xué)的對(duì)稱性幾乎就等同于普適性，而普適性是一套理論作為科學(xué)理論的底線級(jí)要求。所以，這條定理幾乎就是在說任何物理理論里均存在守恒量，并且只要你寫出 Lagrangian，我們就能用一套標(biāo)準(zhǔn)流程把這些守恒量找出來！

一個(gè)重要的例子就是能量。能量是與時(shí)間對(duì)稱性綁定的一個(gè)守恒量，或者換句話說，我們會(huì)把能量定義為與時(shí)間對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的那個(gè)守恒量。更具體一點(diǎn)，我們寫出一個(gè)具有時(shí)間對(duì)稱性的 Lagrangian，Noether 定理就能給出一個(gè)對(duì)應(yīng)的守恒量，而這個(gè)量就被定義為能量。自此，能量守恒便不再是所謂的經(jīng)驗(yàn)定律，而是一條有嚴(yán)格證明的定理。

除了上述的兩個(gè)經(jīng)典的 theory generator，現(xiàn)在我們熟知的量子力學(xué)（當(dāng)然你得把 Schroedinger 方程寫成??這樣的抽象形式），量子場(chǎng)論，以及曾經(jīng)火過兩回的弦理論，都是 theory generators。它們當(dāng)中都有類似于 Lagrangian 或 Hamiltonian 這一類的抽象的量，在給定這些量的情況下，就自動(dòng)生成理論。

總結(jié)來說，我們最早根據(jù)實(shí)驗(yàn)得到了一些定律，然后發(fā)現(xiàn)定律之間有共同點(diǎn)，于是把這些定律抽象成了理論，然后又發(fā)現(xiàn)理論之間也有共同點(diǎn)，于是又抽象成了 theory generator。反過來，給定 theory generator 里面所需要的量，它就會(huì)自動(dòng)給我們生成理論，將理論應(yīng)用于不同的情景，我們又可以獲得具體的一些定律。

其實(shí)現(xiàn)在 theory generators 的威力還遠(yuǎn)不止于此。不過這已經(jīng)涉及到目前最前沿的理論物理。

一般的 Lagrangian 是某個(gè)動(dòng)力學(xué)變量（比如粒子的位置??或者某個(gè)場(chǎng)??)以及它的導(dǎo)數(shù)（比如速度??或者場(chǎng)的梯度??）的函數(shù)。我們通常把含導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為動(dòng)能項(xiàng)，其余的稱為勢(shì)能項(xiàng)。

先來看動(dòng)能項(xiàng)。我們發(fā)現(xiàn)無(wú)論是哪一種理論，動(dòng)能項(xiàng)往往能夠被寫成一階導(dǎo)數(shù)的平方，比如通常經(jīng)典力學(xué)里的動(dòng)能項(xiàng)??就是速度的平方，再比如標(biāo)量場(chǎng)的動(dòng)能項(xiàng)??也是一階導(dǎo)數(shù)的平方。個(gè)別例子中有出現(xiàn)僅僅是一階導(dǎo)數(shù)，沒有平方，比如 Dirac 場(chǎng)的動(dòng)能項(xiàng)。不過無(wú)論如何，我們基本沒有見過動(dòng)能項(xiàng)中含有超過兩個(gè)求導(dǎo)算子的情況。這并不是偶然，因?yàn)槿绻麆?dòng)能項(xiàng)中含有超過兩個(gè)求導(dǎo)算子，就會(huì)造成一種被稱為?Ostrogradsky Instability?的現(xiàn)象。

具體來說，就是這樣的理論會(huì)允許物理系統(tǒng)可以有一直到負(fù)無(wú)窮的能量。為了理解這一點(diǎn)，我們需要 Hamiltonian。Hamiltonian 是 Lagrangian 經(jīng)過一個(gè)簡(jiǎn)單的變換生成的，它的主要作用是告訴你這個(gè)系統(tǒng)的能量可以取哪些值。舉個(gè)例子，一個(gè)經(jīng)典的自由粒子的 Hamiltonian 是??，其中??是動(dòng)量，??是質(zhì)量。動(dòng)量可以從??一直取到??，此時(shí) Hamiltonian 可以取??，也就告訴你自由粒子的能量一定是??的。

但是如果你的 Lagrangian 中含有超過兩個(gè)求導(dǎo)算子，那么我們可以證明，Hamiltonian 會(huì)出現(xiàn)如下的形式

其中??是某種動(dòng)量（術(shù)語(yǔ)上叫廣義動(dòng)量），??是某個(gè)坐標(biāo)。這個(gè)時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)如果??可以隨意在??中取值，那么 Hamiltonian 的范圍也是??。這就造成了一個(gè)嚴(yán)重的問題，如果能量沒有下界，那么這個(gè)系統(tǒng)（或者其中一部分）就會(huì)無(wú)止境地向能量較低的狀態(tài)去演化，從而造成強(qiáng)烈的不穩(wěn)定性，這是不可接受的。

因此，現(xiàn)在主流的基本理論都只含有兩個(gè)一下的求導(dǎo)算子。含超過兩個(gè)求導(dǎo)算子的理論其實(shí)也存在，比如用于解決某些特定問題的宇宙學(xué)模型。不過在這種情況下，我們會(huì)被迫引入一系列約束條件來消除 Ostrogradsky instability。如果你希望你的理論具有一定的普適性，這么做其實(shí)得不償失。不過針對(duì)某些特定問題有時(shí)候還是有點(diǎn)用。

再來看勢(shì)能項(xiàng)。勢(shì)能項(xiàng)只包含我們的動(dòng)力學(xué)變量（比如坐標(biāo)??或者某個(gè)場(chǎng)??），因此我們可以將其進(jìn)行展開（類似于微積分里面的 Taylor 展開）。展開之后具有冪級(jí)數(shù)的形式

每一個(gè)??之前都會(huì)有一個(gè)系數(shù)??，這個(gè)系數(shù)控制了對(duì)應(yīng)的相互作用的強(qiáng)度。比如，我們知道彈簧系統(tǒng)的勢(shì)能項(xiàng)是

這并不意味著其它的項(xiàng)前面的系數(shù)都是0，它們可能只是很小，從而使得相應(yīng)的相互作用很弱因而被忽略。

這個(gè)系數(shù)的量綱是一個(gè)很值得說道的東西。在這之前我們需要知道自然單位制，沒見過的同學(xué)看文末[1]。在量子場(chǎng)論中，這個(gè)系數(shù)并不是標(biāo)準(zhǔn)的“常數(shù)”，而是一個(gè)會(huì)隨系統(tǒng)能標(biāo)（可以是系統(tǒng)總能量，或者其中某個(gè)實(shí)體的能量）而變化的一個(gè)量。也就是說，相互作用的強(qiáng)度會(huì)隨著能標(biāo)而變化。

如果某個(gè)項(xiàng)的系數(shù)具有正的質(zhì)量量綱，比如標(biāo)量場(chǎng)論中，系數(shù)是??，質(zhì)量量綱是+2，那么它的強(qiáng)度會(huì)隨著能標(biāo)的下降而上升，這種項(xiàng)被稱為 relevant；反過來，如果系數(shù)具有負(fù)的質(zhì)量量綱，比如引力常量??，那么它的強(qiáng)度會(huì)隨著能標(biāo)的下降而下降，這種項(xiàng)被稱為 irrelevant。而沒有量綱的被稱為 marginal。

這個(gè)事情有什么用呢？通常情況下我們的能標(biāo)是較低的，至少我們目前還不能做到讓一個(gè)系統(tǒng)達(dá)到任意能標(biāo)。在較低能標(biāo)的情況下，所有 relevant 的項(xiàng)具有較高的強(qiáng)度，所有 irrelevant 的項(xiàng)具有較低的強(qiáng)度。因此我們只需要考慮 relevant 的項(xiàng)即可。

在場(chǎng)論中，Lagrangian 的量綱是+4，標(biāo)量場(chǎng)??是+1，因此??的項(xiàng)就是 marginal 了，?及以上就是 irrelevant 了。于是低能情況下我們只需要考慮至多3個(gè)項(xiàng)。這個(gè)結(jié)論對(duì)于很多理論均適用，也即 relevant 的項(xiàng)總是有限個(gè)，因此低能下只需要考慮有限個(gè)勢(shì)能項(xiàng)。

所以這是不是意味著我們通常是見不到這些 irrelevant 的項(xiàng)的作用呢？并不是。在高能標(biāo)下，一切都要倒過來，也即 relevant 項(xiàng)會(huì)很弱，而 irrelevant 項(xiàng)很強(qiáng)。要獲得高能標(biāo)，除了注入能量以外還可以注入質(zhì)量。所以在注入足夠多質(zhì)量以后，我們發(fā)現(xiàn)了 irrelevant 項(xiàng)的作用 —— 這就是引力。引力相互作用的系數(shù)是引力常量??，具有負(fù)的質(zhì)量量綱。

希望大家可以感受到現(xiàn)代理論物理工具的強(qiáng)大。通過 theory generators，我們可以高屋建瓴地做一些判斷，可以得到一些對(duì)許多理論都適用的結(jié)論。我們不需要知道Lagrangian 太多的細(xì)節(jié)，就可以根據(jù) Noether 定理斷言守恒量的存在。對(duì)于量子場(chǎng)論甚至弦理論這樣的 generators 也一樣。我們現(xiàn)在對(duì)弦理論依然知之甚少，不過已經(jīng)足以讓我們推測(cè)量子引力和量子糾纏很可能是一回事（所謂的 ER=EPR）。我們可以對(duì) Lagrangian 進(jìn)行細(xì)致的分析，從而判斷出怎樣的形式會(huì)帶來怎樣的結(jié)果。因此，對(duì)于現(xiàn)在的理論物理學(xué)家來說，與其說我們是在從現(xiàn)實(shí)中尋找規(guī)律從而創(chuàng)立理論，不如說我們?cè)趪L試設(shè)計(jì)一些理論。正如我們提到的，Lagrangian 不是可以隨便寫的，否則就要出問題。這些探索的經(jīng)驗(yàn)讓我們知道，這個(gè)自然界之所有有這些規(guī)律，這些規(guī)律之所以是這些形式，都是有更深層次的原因的。這也是為什么理論物理吸引了如此多的頂級(jí)智力為之工作。

[1] 在自然單位制下，??。也就是說，我們把長(zhǎng)度單位定義為光在1秒內(nèi)走過的距離，這樣光速的值就是1。這樣一來我們有??，也就是說從量綱角度上講，長(zhǎng)度和時(shí)間的量綱是一樣的。同理根據(jù)??我們有??。這個(gè)故事就是告訴你長(zhǎng)度，時(shí)間，質(zhì)量三個(gè)量綱，現(xiàn)在我們只需要一個(gè)，這里我們選質(zhì)量。

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編輯?∑Pluto

來源：算數(shù)學(xué)苑

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總結(jié)

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