破洞牛仔裤中的几何学：简单理解万有覆叠问题
對于特定寬度的幾何形狀，我們是否可以找到一個面積最小的能覆蓋所有可能形狀的特定形狀？這個名為「萬有覆疊」問題的答案還不為人所知。但通過高中幾何，我們可以離它更近一步。
「嘿，我的牛仔褲破洞了。你能幫我補一補嗎？」你的朋友正發消息向你尋求幫助，他知道你的針線活做得很不錯。
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「沒問題，那很簡單。」你回復說，「這些洞有多大？」
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「它們形狀都很奇怪，但寬度都不超過一英寸。我待會兒就到，請做好準備！」
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你在你的針線包中拿出一些圓形補丁，每個都是直徑 1 英寸。「這個應該能行。」你這樣想。但真是如此嗎？直徑為 1 英寸的圓形補丁真的可以覆蓋任何方向上都最大為 1 英寸的任何洞嗎？
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你在你的針線包中看到了另一塊補丁——一個邊長為 1 英寸的等邊三角形。你觀察到這個三角形中任何兩個點之間的距離都不超過 1 英寸，所以你朋友的牛仔褲上的洞可能是這個形狀的。但當你想用一個圓形補丁來覆蓋它時，你發現這個圓形補丁只能遮住三角形的兩個頂點，第三個頂點則伸在外面。
基本的幾何計算也能確認這一點：三角形的高為 √3/2 英寸，大于圓的半徑 1/2 英寸。因此，這個圓無法完全遮蓋這個三角形，而這個三角形也無法遮蓋這個圓。因為一個洞可以是其中任何一種形狀，所以這就意味著這兩種補丁無法應對你朋友牛仔褲上每一種可能性的破洞。
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為了確保可用，你可以直接使用一個非常大的補丁，但你可不想浪費寶貴的布料。那么問題來了：如果要遮蓋一個寬度最大為 1 英寸的洞，所需的最小補丁應該是怎樣的？其實這也是當今的數學家們正在探索的一個問題：他們已經找了最小面積的通用覆蓋形狀 100 多年。他們還沒有找到答案，但近期的研究結果已經讓我們離這一理想形狀更近了一步。
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這個問題被稱為萬有覆疊問題（universal covering problem），最早由數學家昂利·勒貝格（Henri Lebesgue）于 1914 年寫給其朋友數學家久拉·帕爾（Julius Pál）的一封信中提出。該問題可以用多種不同的方式表述，但其核心概念是直徑為 1 的一個區域：這是平面上的一個點集，其中任何兩個點之間的距離都不超過 1 個單位，就像我們的牛仔褲縫補問題中寬度不超過 1 英寸的破洞一樣。
如果一個點集可以放在另一個點集中，那么我們就說第二個點集能「覆疊」第一個，就像一個補丁能覆蓋一個洞。「萬有覆疊」是指能用一個區域覆蓋滿足某個條件的形狀（就像直徑為 1 的所有形狀）的整體集合。勒貝格的萬有覆疊問題問的是如何找到能做到這一點的最小凸區域。（「凸」的大概意思是覆蓋形狀沒有凹陷，「最小」則是指面積最小。）
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你可能很驚訝，這個看似如此簡單的問題竟然 100 多年了還未得到解決。這個問題為什么這么困難？部分原因是我們難以完全確定直徑為 1 的所有形狀。正如我們之前所見到的那樣，對于我們難以完全想象的事物，要證明相關的定理是極其困難的。
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在覆蓋直徑為 1 的形狀方面，我們已經知道很多形狀都能完成這項任務，但我們所知的形狀都不是最小的。我們來簡單了解一下為什么數學家難以解決這個問題。
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首先，我們將直徑為 1 的區域記為 R。我們并不清楚 R 可能是什么樣子；我們只知道就像我們試圖覆疊的洞一樣，它的寬度永遠不超過 1 個單位。但既然其直徑為 1，那么我先定義兩個點 A 和 B，并使它們之間的距離為 1 個單位。
現在，假設 R 包含第三個點 C。那么 C 可能位于什么位置呢？它與 A 的距離不能超過 1，也就是說它肯定在以 A 為圓心的半徑為 1 的圓盤之內。你可以使用圓規畫出這個范圍。
同時，C 與 B 的距離也不能超過 1，所以其也位于以 B 為圓心的半徑為 1 的圓盤內。同樣可以繼續畫出。
這就意味著 C 點必然位于這兩個圓盤的重疊區域中。
這個論證不僅適用于點 C；而且適用于 R 中每個可能的點。因此 R 中的每個點都必然位于這兩個圓的交集之中。換句話說，這個區域能夠覆蓋直徑為 1 的每個可能區域 R，因此這是一個萬有覆疊區域。
但這個萬有覆疊區域并不是最小的。我們來將其修建一下。
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注意，這兩個圓的交集中有兩個同時包含 A 和 B 點的等邊三角形。每個三角形的高都為 √3/2。
因為 √3/2 > 1/2，所以我們可以在離 AB 線相距 1/2 的位置畫兩條平行線，如下所示：
我們先來看看下圖中用紅色標識的兩個區域。
因為這兩條平行線之間的距離為 1，所以直徑為 1 的區域不可能同時出現在兩個紅色區域中。所以我們其實不需要同時具備兩者就能得到一個通用覆疊區域。那么我們去掉其中一個。
我們原來的覆蓋區域（兩個圓的重疊區域）的面積為?，現在的新區域的面積則為?。從一個初級萬有覆疊區域開始，我們可以通過移除多余的部分來找到更小的區域。
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這實際上正是數學家找到當前的最小萬有覆疊區域的方法。使用更加先進的技術，我們可以一開始先找到其它簡單一些的形狀。舉個例子，可以證明 1×1 的正方形是一個萬有覆疊區域。對于勒貝格提出的這個難題，帕爾的回應是使用所謂的等寬曲線（curves of constant width）的性質——即使直徑為 1 的區域可能會伸出直徑為 1 的圓，但這個區域必然能夠擬合到與該圓相切的正六邊形中：
下面我們展示了帕爾給出的六邊形所覆蓋的幾種不同的直徑為 1 的形狀。其中中間那個形狀被稱為勒洛三角形（Reuleaux triangle），這是一個與我們上面構建的例子密切相關的等寬曲線。（在上面的例子中，我們可以用圓規以兩個圓的上面一個交點為圓形，以 1 為半徑畫出 A 和 B 點之間的圓弧，即可得到一個勒洛三角形。）
這個六邊形的面積為 √3/2≈ 0.866，比我們上面構建的區域小，也小于邊長為 1 的正方形的面積。但帕爾也證明我們并不需要整個六邊形。通過以下巧妙的證明，他發現這個六邊形的某些部分可以去除。
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首先，我們先將兩個帕爾六邊形重疊在一起。
并將其中一個繞中心旋轉 30 度。
這種操作能創造很多有意思的結果——比如這兩個六邊形的重疊區域是一個正十二邊形。但我們最感興趣的是紅色所示的六個小三角形。
每個紅色小三角形都位于原始六邊形中，又位于旋轉后的六邊形之外。因為每個六邊形的每對對邊之間的距離都是 1 個單位，所以位于兩個相對的紅色三角形中的點之間的距離必然都超過 1。正如之前的論述：因為直徑為 1 的區域不可能同時出現在兩個相對的三角形區域中，所以萬有覆疊區域無需同時具備它們。那么我們就可以移除其中一些。樂觀估計，我們可以移除其中三個：每一對去掉一個。但不幸的是，我們不能在移除三個三角形之后還能處理直徑為 1 的所有可能形狀。為什么呢？
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正六邊形可以在旋轉 60 度后與自身重合，也可以沿對稱線翻轉之后與自身重合，所以從每對相對的三角形中選出一個實際上只有兩種不同的方式：要么是連續選擇，要么是交替選擇。如下圖所示，其中加點的三角形是直徑為 1 的區域可能占據的三角形。
如果我們需要覆蓋的集合包含了三個連續的三角形（如左圖所示），那么其無法覆疊我們通過交錯方式去掉三個三角形的形狀（如右圖所示）。反過來也一樣，如果我們覆蓋的集合包含三個交錯的三角形，那么結果又無法覆疊有三個連續三角形的情況。因此，無論以哪種方式移除三個三角形，都會有一個直徑為 1 的形狀集合無法覆疊。也就是說，我們不能移除三個紅色三角形。
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但我們可以移除兩個。如果我們移除兩個既不相鄰也不相對的紅色三角形，則上述兩個有問題的集合都能被覆蓋。這也正是帕爾的做法。
帕爾從那個正六邊形切除了兩個三角形，得到了一個新形狀，并證明這個形狀能覆蓋所有直徑為 1 的區域。這個新的萬有覆疊區域的面積為?，略小于帕爾六邊形。
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削減還在繼續。數學家 Roland Sprague 和 H.C. Hansen 分別在 1936 和 1992 年都分別成功移除了更小的區域。幾年前，業余數學家 Philip Gibbs 受數學家 John Baez 的一篇博客文章的啟發，提出了一些新的可切除部分。他與 Baez 和另一位合作者一起將 Sprague 和 Hansen 的技術進行了歸納，實現了對形狀的進一步切割，為直徑為 1 的最小凸區域面積大小創造了新的世界最小記錄。很快 Gibbs 本人又進一步推進，成功切除了更多部分。
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好消息是我們不斷找到帕爾六邊形上新的可切除部分。壞消息是這些部分都非常小。Sprague 將區域面積減小了大約 0.001 平方單位，Hansen 則僅減小了 0.00000000004 平方單位。Gibbs 及其合作者在 Hansen 的基礎上又減小了大約 0.00002 平方單位，相比而言已經是相當大一塊了。
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面積還能繼續減小多少？2005 年，Peter Brass 和 Mehrbod Sharifi 已經證明萬有覆疊區域面積不可能低于 0.832 平方單位（http://www.cs.cmu.edu/~mehrbod/UC05.pdf），所以我們知道再切也不能切太多了。但如果你可以想出新的技術或新的起點，你也許還能讓我們進一步接近那個最小的萬有覆疊區域，把你自己也切進數學史中。只要記住一點，這個問題最難的部分是思考直徑為 1 的區域的無限多種可能的形狀。如果你也打算研究這個問題，一定要確保能夠覆蓋所有的可能性。
參考鏈接：
https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-can-cover-even-the-most-complex-holes-20200108/
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編輯?∑Gemini
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的破洞牛仔裤中的几何学：简单理解万有覆叠问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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