──推薦《普林斯頓數學指南》

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本文所討論的現代數學發展歷史主要是指在20世紀中發展起來的基礎數學的歷史。20世紀是數學飛速發展的世紀，數學知識出現了前所未有的爆炸。據粗略估計，全部數學的90 % 是在20世紀中創造的。如今的數學真正成為了人類知識領域中最博大精深的一個，其抽象與艱深的程度登峰造極，這對學習現代數學的人們來說形成了巨大的挑戰。

中國的基礎數學專業學生在學習現代基礎（純粹）數學時，接觸的基本上都是高度抽象和形式化的邏輯推理體系?？贪謇淠摹岸x-定理-證明-推論”四步曲格式容易使他們感到困惑，不知道如此抽象與復雜的理論是為了什么，它們到底要解決什么問題？為什么要學習與研究它們？

弄清楚教材中眾多的概念和定理的證明，這只是第一步。對于學習者來說，最大的困難還在于如何正確理解和全面把握現代數學。J. L. Casti曾說：“在數學中，要講述真理是極其困難的，數學理論的形式化的陳述并沒有講清全部的真理。數學理論的真理更象是當我們在聽一些專家所做的漫不經心的隨口評述時，我們去捕捉專家評述的動因后才會感觸到的體味，當我們最終搞清楚典型的例子時，或是當我們發現了隱藏在表面化諸問題之后的實質問題時，我們才品嘗到數學之真。哲學家和精神分析學要解釋，為什么我們的數學家習慣于系統地擦去我們走過的足跡?？茖W家們總是不理解地看待數學家的這種怪異的習慣，而這種習慣自畢達哥拉斯以來直至今天幾乎沒有改變?！盵1]

H. Bass這樣分析其中的原因：“數學有一個本性的趨向——利用抽象和一般化——由此而將廣泛領域中的素材加以綜合與提煉，形成簡單而又統一的概念與方法，去處理各種各樣復雜的情況。這個過程有時被稱為‘壓縮’，有意思的是，這種很有效的知識形成過程卻對進行教學的數學家來說是一個障礙，他在這時必須擔當起‘解開壓縮’的角色，這樣才能讓那些自主研究學習能力不強的學生來逐漸理解數學。”[2]講授現代基礎數學的教材往往是在相應分支學科內已經成為經典的研究專著的一個簡編。雖然在這些被公認為是必讀的專著中具有一些最基本的成果和少量適用于基礎課教學的啟發性材料，但從總體上看，這些專著的主要目的還是為了清理該分支學科發展初期難免的混沌狀態，完整精確地建立已有各結果之間的邏輯聯系，并盡可能精煉地得到最一般的結果。這樣做對該分支學科以后進一步的研究與發展來說是十分必要的，也是由數學的本質特性所決定的。但是，和許多兩難的問題一樣，這個提煉與抽象的“壓縮”過程同時也切斷了與以往工作的聯系，即擦去了“走過的痕跡”。最后定型的概念和成熟的方法一般來說不能反映數學思想發展的實際進程，它們必定會給初學者造成理解上的極大困難。Bass所說的“解開壓縮”實際上就是按照數學發展的順序來講授現代數學，也就是將數學思想逐步演進的歷史過程與數學嚴格的邏輯推理過程有機地結合起來，補上必要的被舍棄的中間過程，使學生理解精煉抽象的概念與定理背后的真正內涵。

這種被稱為“歷史途徑法” [3]的教學方法不是簡單地在傳統的只講邏輯推理的課程中堆砌一些數學史料和數學家的生平故事來調節數學的枯燥敘述，而是直接在歷史的框架中來講授數學課程的內容，從而更容易抓住現代數學的本質內容。數學教育的研究已經證實數學歷史的發展過程與學習者個人認識理解數學的心理程序有極明顯的相似之處[4]，因此歷史途徑法對于數學（尤其是現代基礎數學）的教學有極大的幫助。為學生考慮，歷史途徑法一般都用歷史上曾經出現過的原始數學問題來引入教學的主題，采用具體簡單的素材作鋪墊，從中引導出抽象的數學概念與命題，并且運用前人具有啟發性的有趣樸素想法來解決一些相對簡單的問題，這樣可以揭示出抽象的數學概念與方法的實際內涵，并且使初學者不受紛繁復雜的表面邏輯現象的干擾。由于我們已經了解了數學后來的發展過程，所以可以選取對以后的發展來說是至關重要的思想和方法，也就是用歷史發展線索在大量復雜的知識體系中找出基本的概念與方法，并且將具體的歷史演進過程與學科嚴密的邏輯推理體系巧妙地結合起來，由淺入深地合理編排有關教學內容。H. M. Edwards說：“為了得到真正有用的想法，我們假想我們的前人從問題出發，沒有經過迂回曲折的探索過程，而是合情合理地直接找到了解決的方法。在這里我想著重強調的是：雖然這種直線式的思考過程顯得十分粗糙，并帶有一定程度的虛構成分，但是暫時不會有什么麻煩，不必顧慮重重?！盵5]在此過程中我們還可以采用今天的簡潔記號和更簡單的基本概念來表述歷史上數學家們取得的基本成果。（包括記號演變在內的數學真正的歷史其實是非常復雜的，所以嚴格說來，歷史途徑法所涉及的“歷史”只能是一種簡化的歷史，雖然與真實的歷史有一段距離，但卻是教學所需要的。）

在現代數學中，許多重要的基本概念和方法都是經過了多次反復抽象和推廣而得到的，所以它們在本質上是互相聯系的，顯示了高度的統一性。只有通過讓學生不斷地積累經驗和進行反思，最好是能夠親自觀察和體驗抽象與拓廣的過程，才能使他們悟出表面上完全不同的題材其實是在討論同一件事，只不過是抽象的層次和抽象的方向不同。歷史途徑法在教學過程中部分地還原了數學創造的過程，讓學生在學習較高層次的理論前先經歷較低層次的抽象過程。這樣才能讓學生領悟所學知識的真正內涵，并且把握數學以后發展的方向（例如相鄰分支學科之間的交叉與融合）。當然這時候一些重要結論的導出和定理的證明并不是用現代最快捷的方式得到的，定理的結論也經常不是最一般的情形?？赡苓€要適當淡化課程理論體系的完整性，增加一些相鄰學科的內容，舍棄一些次要的或技巧性比較強的內容。很多時候從表面上看好象沒有用到歷史材料，也不出現數學家的姓名，但是只要是從一般數學發現和學生認知學習的規律出發，來想象和還原數學發現的過程，并先在一些具體的相對比較簡單的場合中總結規律，得到命題，然后再進行適當的推廣，這同樣也可以理解為是在“廣義”地使用歷史途徑法。這一方面是因為數學發展的一個本質特征是，不斷地從個別的具體材料抽象出一般的概念和適用面更廣的方法。許多在一般（或高維）的情形成立的結論都是先從特殊（或低維）的情形得到的。另一方面，很多教學內容的創始者及相關的歷史材料也是很難找到的，特別是一些常規的教學內容和小的知識點就更是如此。這時，只能對歷史上數學知識的發現過程作出一些合理的推測。

歷史途徑法的目標是要努力達到嚴格推理的形式化與直觀啟發的非形式化之間的平衡。這樣就對教師和教材的編著者提出了相當高的要求，需要具備深刻的洞察力和付出艱苦的努力（容易發現他們中有不少是有很深造詣的數學家）。有的時候，很難把具有復雜邏輯結構的學科基礎知識完全納入到歷史發展的框架中來加以演繹推導，而只能部分地采用歷史途徑法。此外，與許多數學家喜歡的提綱摯領式的簡練寫作風格相反，用歷史途徑法寫的教科書會抓住重點和關鍵的內容，用較長的篇幅不厭其煩地展開必要的細節敘述。

從國外已經出版的數十本用歷史途徑法寫的現代基礎數學教材的反映看，歷史途徑法非常有利于學生學習抽象的現代基礎數學，它可以揭開現代數學的神秘面紗，降低學習的難度，使學生產生繼續學習和研究的興趣。和中學講的初等數學以及大學本科講的近代數學相比，歷史途徑法對于現代基礎數學的教學幫助更大，甚至可能是不可或缺的。

由美國普林斯頓大學出版社在2008年出版的《普林斯頓數學指南》[6]（The Princeton Companion to Mathematics ，以下簡稱《指南》）是一本幫助現代數學初學者的綜合普及類工具書，篇幅達一千頁。它不同于一般的百科辭典的地方是：盡量用通俗淺顯的語言和歷史途徑法來深入淺出地解釋現代數學的基本思想，而不是面面俱到，并且適當降低準確性。《指南》總共包含有“（一）引言”、“（二）現代數學的起源”、“（三）數學概念”、“（四）數學的分支”、“（五）定理與問題”、“（六）數學家”、“（七）數學的影響”和“（八）看法與建議”等八個部分。其中第一部分和第八部分是用平易的語言向學生介紹現代數學大致包含的內容、研究數學所要達到的目標以及對于學習的建議，第二和第六部分簡要介紹了數學發展的歷史以及重要數學家的生平，第七部分比較全面地介紹了數學對自然科學和社會科學的各種應用和影響。而介紹現代數學各主要分支的第四部分是整本《指南》最重要的部分，第三和第五部分則是進一步解釋第四部分所涉及的一些現代數學最基本概念和最重要定理的具體內容。

雖然《指南》不是一本嚴格意義上的教科書，但是它在其第四部分介紹現代數學的主要分支學科時，按照20世紀數學歷史發展的主要線索，力求通俗地介紹現代數學各主要分支學科所要解決的問題和一些有代表性的成果。為此《指南》盡量減少使用高深的專業術語，并且選取對解決研究生專業基礎課教學難點有幫助的歷史素材和至關重要的思想方法，努力還原被擦去的“走過的痕跡”。由于沒有象教科書那樣有比較嚴密的理論體系限制，《指南》可以更充分地利用歷史途徑法來深入淺出地解釋現代數學主流學科中一些最基本成果的內涵。在這方面，《指南》的第四部分有點象前蘇聯著名數學家為普及數學知識而撰寫的名著《數學——它的內容、方法和意義》[7]，只不過前者是講現代數學，后者主要是講18與19世紀的近代數學。相比較而言，《指南》講解現代數學的難度自然更大。此外在《指南》的第四部分極其有限的兩百頁左右的篇幅內（不包括介紹應用數學和計算數學），只能對現代基礎數學各主要學科中極少的基本內容運用歷史途徑法來進行解說。

在現代基礎數學眾多的大大小小各種分支學科中，《指南》著重強調了數論、代數幾何、拓撲、表示論等分支學科的重要性，這是特別值得我們注意的。根據20世紀數學發展的主要潮流（尤其是最近幾十年的情況）和在未來的發展前途，該書認為目前現代基礎數學的分支學科主要有代數數論、解析數論、代數幾何、算術（代數）幾何、代數拓撲、微分拓撲、參模空間、表示論、調和分析、偏微分方程和算子代數等十幾門主流的分支學科。這與目前我們對現代基礎數學分支學科的劃分與強調有不小的差異。我們比較重視實變函數論、泛函分析、抽象代數、整體微分幾何以及偏微分方程等經典學科。但是另一方面，對數論、代數幾何以及拓撲等主要學科，我們缺乏必要的關注與投入。例如目前在國內數百所設置基礎數學專業的高校中，開設代數幾何課程的學校數不超過個位數，而迄今為止國內學者寫的代數幾何中文教材只有一本[8]。

如果我們將代數數論與解析數論合稱為“數論”，將代數幾何、算術（代數）幾何與參?？臻g合稱為“代數幾何”，將代數拓撲與微分拓撲合稱為“拓撲”，將表示論與調和分析合稱為“表示論”，將偏微分方程與算子代數合稱為“分析”，那么《指南》實際上就認為在目前現代基礎數學所包含的幾十個分支學科中，最主要的分支學科是數論、代數幾何、拓撲、表示論和分析等五個比較大的學科?！吨改稀穼τ诂F代基礎數學主要分支的這種強調的重要意義在于：它能幫助我們從浩如煙海的數學文獻中辨別出基礎數學未來進一步發展的主要方向。從20世紀數學發展的歷史我們可以看到數論、代數幾何、拓撲、表示論以及分析這五個主要學科已經成為整個現代數學的核心部分，聯系著基礎數學的各個分支，顯示了強大的生命力。

下面就以數論、代數幾何以及拓撲這三個主要學科為例分別對《指南》第四部分的內容及其與20世紀數學發展之間的緊密聯系作一些簡要的分析與說明。

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數論

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不少人以為數論基本上就是研究整數的初等數論，這是一個很大的誤解。實際上，經過高斯、庫默爾、狄利克雷、黎曼、戴德金和希爾伯特等人的努力，19世紀的數論就已經突破初等數論的范圍而產生了代數數論和解析數論的基本理論。到了20世紀，數論與抽象代數、代數幾何、多復變、調和分析、表示論和自守形式等學科相互促進，發展成了蔚為大觀的現代數論[9]。在自身發展的同時，數論也觸發了現代數學中的許多重要進展，從而在現代數學的發展中起到了領頭羊作用?，F代數論包括了類域論、局部域理論、函數域理論、韋依定理、模形式理論、代數簇的算術理論、近代分圓域理論、費馬大定理、朗蘭茲猜想、以及Arakelov幾何等理論。

《指南》按照數論發展的歷史途徑，從古典的二次無理數逼近問題逐步引入二次代數整數環的概念，然后直接討論其至關重要的唯一分解問題（因為試圖證明費馬大定理而導致人們關注這一重要問題）。為了弄清楚影響唯一分解性質的“障礙”，《指南》用具體的計算例子介紹了高斯的重要發現：即可以用二元二次型來度量二次代數整數環是否具備唯一分解的性質，以及如果不具備的話在何種 “程度”上具備。然后再開始引入戴德金非?；镜摹袄硐搿备拍?#xff0c;將二元二次型所涉及的繁瑣計算逐步轉化為理想的運算，并且能非常自然地形成理想類群和理想類數這兩個更抽象的概念，以便用來衡量唯一分解性質?！吨改稀吩敿毥榻B的另一個衡量唯一分解性質的工具是經典的橢圓模函數，它在某些代數整數上的取值也是代數整數，這就引出了克羅內克希望的將某些他感興趣的代數數表示成某些解析函數的值的“青春之夢”。這個夢想的范圍后來不斷擴大，伴隨著代數幾何與群表示論的加入，最終導致產生了龐大的朗蘭茲猜想。

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代數幾何

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依I.R.Shafarevich的觀點[10]，代數幾何在20世紀現代數學的發展歷史中占據著一個中心的位置。這是因為在20世紀基礎數學各主要分支學科的發展過程中，代數幾何所起的推動作用最大，抽象代數、代數拓撲與微分拓撲、整體微分幾何以及分析中許多重要的理論都是因代數幾何的需要而提出的，所以說代數幾何是20世紀數學統一化的一個主要源動力。在大多數20世紀基礎數學重大進步（例如獲得菲爾茨獎和沃爾夫獎的工作）的背后，總能看到代數幾何的影子。代數幾何與數論、拓撲、抽象代數、多復變函數、復幾何、代數群以及表示論等學科有著極密切的聯系（常常交織在一起密不可分），只有對這些相關學科都有所涉足，才能對代數幾何有比較深入的了解。因此代數幾何也可以看成是一門綜合性的學科，這是代數幾何比較難學的主要原因。

代數幾何最早起源于在17和18世紀牛頓和Bezout等人關于平面代數曲線的研究工作。到了19世紀上半葉射影幾何登場后，才開始出現關于曲線和曲面的初步的代數幾何理論。然后黎曼在研究阿貝爾積分理論的過程中提出了內蘊的黎曼面概念和代數函數的理論，打開了通向現代代數幾何的大門。在這之后，分析學派、幾何學派和代數學派分別用他們自己的語言進一步發展了這門不同尋常的學科。一直要等到20世紀的中葉，當整體微分幾何、多復變函數、抽象代數、以及拓撲學得到充分的發展后，A. Grothendieck才有可能在這幾個學派工作的基礎上，用更精確的代數與拓撲工具、更先進的幾何思想將經典的代數簇理論推廣成適用面更廣的“概形”理論，從而將代數幾何打造成了一個極其完美的理論體系，促進了20世紀下半葉代數幾何的大發展[11]。

代數幾何的歷史可以幫助我們學習與理解高度抽象的代數幾何。I.R.Shafarevich在其用歷史途徑法編寫的名著《基礎代數幾何》[10]中說：“類似于（生物個體發育重演該物種整體進化過程的）生物發生律，學生在重復經歷了代數幾何歷史演變的大致過程后，將會更清楚地掌握該學科的邏輯體系?！?《指南》依照代數幾何發展的歷史途徑，先從古老的多項式談起（該書作者甚至認為不妨可以簡單地將代數幾何看成是“用多項式研究幾何、用幾何的想法研究多項式”的學科）。多項式雖然是一種非常特殊的初等函數，但是它的零點集卻可以用來代表大多數的流形，因此多項式非常有用，特別是從中體現出來的代數與幾何相互作用的方式，具有普遍的意義。《指南》用直觀和具體的簡單例子解釋了最基本的Bezout定理、零點定理、以及相交重數、維數和奇點分解等基本概念。對于抽象的概形概念，《指南》也是從最經典的初看上去與幾何毫無關系的（丟番圖）不定方程入手，用一種簡單的比喻方法解釋了如何將代數簇的幾何研究轉化為對相關坐標環的代數研究（例如不可約簇對應于整環）。代數研究的好處是可以將有關結果進一步推廣到更一般的情形，目標是實現人們長久以來希望的將代數幾何與代數數論統一起來的夢想?！吨改稀愤M一步指出：由于不是每個環都可以成為代數簇的坐標環，那么為什么不能發明一種廣義的幾何對象，使得每一個環都可以成為這種廣義幾何對象的“坐標環”呢？而這種新的幾何對象就是著名的概形。在概形上，可以用精細的純代數的方法來研究各種抽象的“幾何性質”，這樣就為解決一大批重要的經典問題開辟了道路。

這種將問題“幾何化”的強有力方法也用在了許多幾何與拓撲對象的分類問題中，此時所構造的概形就是參?？臻g。參?？臻g的思想方法是試圖從整體的視角來研究某種數學對象。傳統的方法是先通過某些特定的幾何結構的計算（例如度量）來獲取拓撲不變量，然后再設法證明這種計算與所選取的幾何結構無關。而參?？臻g的新方法是同時對所有的這種類型的幾何結構進行計算（例如某種積分），如果能證明收斂性，則所獲得的結果自然就不依賴于特定的幾何結構。微分拓撲中Donaldson理論、Seiberg-Witten理論、以及Gromov-Witten理論，還有現代數論中費馬大定理的證明過程等，都要用到參模空間的這種思想方法。當然對于復雜的參?？臻g概念，《指南》不會直接給出其抽象的定義，而是從討論射影平面上過原點的全體直線組成的最簡單的參模空間開始，將其歸結為一個線叢，這樣就可以用示性類來找出有關的拓撲不變量。接下來用比較多的篇幅重點介紹了曲線的參模問題，這也是歷史上的原始問題。先用一種比較簡單的取商空間的比較粗略的方式給出了橢圓曲線的參模空間的概念，這個空間中的每一個點都對應了一條橢圓曲線。然后再從內蘊的黎曼面的角度來仔細地給出曲線的參?？臻g，因為此時每一條曲線對應了一個黎曼面。特別地，虧格為1的曲線對應了橢圓曲線，而后者可以表示成復環面。接著再將復環面與上半復平面上的點聯系起來，從而得到了橢圓曲線的參?？臻g?！吨改稀愤€進一步介紹了虧格為g曲線的參?？臻g的構造方法。為簡易起見，以上所有關于參模空間的討論均不涉及概形的概念。?????????????????????????????????????????

拓撲

拓撲學主要研究在連續變形下關于幾何形狀的不變性質。它曾被J. Dieudonné 譽為現代數學的“女王”。這主要是因為拓撲學的思想方法已經滲透到了現代數學的各個分支學科中，無論是數論、抽象代數和代數幾何，還是微分方程與幾何分析。但是不少代數拓撲學的教材都受到“單純同調-奇異同調-同倫”這一理論框架的束縛，不能很好地解釋代數拓撲的想法來源于何處，其作用又是什么。實際上，拓撲學的基本思想來源于復變函數論（尤其是黎曼面）和經典代數幾何，而在現代數學中之所以要大量使用抽象的拓撲學方法的主要原因是由于研究高維抽象幾何空間整體問題的需要。值得我們注意的是《指南》還將整體微分幾何和幾何分析也納入到了微分拓撲的范圍中，這說明用整體微分幾何（包括復幾何）與偏微分方程的方法研究微分流形上的整體幾何性質，其最后的目標指向了微分拓撲。由此我們也可以將拓撲學看成是更抽象的現代意義上的幾何學。????

《指南》按照拓撲學發展的歷史途徑，先解釋了19世紀末以“三體問題”為代表的一批經典的數學物理問題因為無法求出精確解，只能轉而考慮定性的拓撲解。然后極為清楚地通俗介紹了連通性、相交數、基本群、高維的同倫群、同調群、上同調群、上同調環、向量叢、示性類以及K-理論等基本概念。例如在講上同調環時，用歷史上著名的Hopf纖維叢來說明上同調環的用處，也就是用來解決經典的計算球面同倫群的問題。在講解微分拓撲的部分，《指南》重點介紹了微分拓撲中非常重要的微分流形的分類問題。先講比較簡單的0維、1維和2維流形。而對于比較復雜的3維流形，《指南》仔細解釋了Thurston的工作，即用八種幾何結構來對3維流形進行分類。接下來簡單介紹了Freedman、Donaldson和Witten等人關于4維流形的著名工作，以及高于4維的流形的狀況。最后《指南》還簡要講解了Hamilton和Perelman如何利用偏微分方程和黎曼幾何的工具成功解決龐加萊猜想問題的大致過程。

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參考文獻

[1]J. L. Casti，不變量理論的兩個轉折點，數學譯林,2001，第4期.

[2] 齊民友.從微積分的發展看微積分的教學（續三），高等數學研究,2004,第5期.

[3] 陳躍，從歷史角度講大學數學，數學教育學報，2008，第4期.

[4] 趙瑤瑤，張小明，關于歷史相似性理論的討論，數學教育學報，2008，第4期.

[5] H. M. Edwards , Fermat’s Last Theorem — A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory.? Springer-Verlag ,New York ,1977.

[6] T. Gowers (ed.) ,? The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.

[7] [蘇] A. 亞歷山大洛夫, 數學——它的內容、方法和意義（三卷），科學出版社，1988.

[8] 李克正，代數幾何初步，科學出版社，2004.

[9]馮克勤，代數數論簡史，湖南教育出版社，2002.

[10] I. R. Shafarevich , Basic Algebraic Geometry 1, Springer-Verlag, 1994. (世界圖書出版公司1998年重印)

[11] J. Dieudonné , History of Algebraic Geometry ，Wadsworth，California，1985.

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作者：陳躍

(上海師范大學數學系,?上海, 200234)

來源：《數學通報》2011年第50卷? 第5期

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總結

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