这个数学问题，打一局台球就解决了
小時候的數(shù)學課上我們都學習過最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。而在娛樂數(shù)學中，數(shù)學臺球是一種利用幾何手段來確定兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法。這也是動態(tài)臺球領域中軌跡分析的一個簡單例子。
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數(shù)學臺球是我們平時在普通臺球桌上打球的一個理想化的產(chǎn)物。在數(shù)學臺球中，球會遵循和普通臺球一樣的規(guī)律彈跳，但是這時的球本身是沒有質量的，因而也不會有摩擦存在。同時桌邊和桌角也沒有球袋來吞球，這意味著球會在球桌的側邊無限次地彈來彈去，永不停息。
數(shù)學臺球的一個迷人之處，在于它提供給我們一種用于尋找兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的幾何手段。如下面這個圖所示這樣（球從左下角出發(fā)，經(jīng)多次反彈后到右下角停止），我們取自然數(shù)40和15，最后得到的最大公因數(shù)是5，最小公倍數(shù)則是120。那么這個結構的工作原理是什么呢？我們接下來就來看一看。
自然數(shù)40和15的最大公因數(shù)是5，最小公倍數(shù)是120
完整動畫可以戳這里
基礎知識
這里是一些基礎概念。設想給定兩個正整數(shù)a和b，兩者中的任何一個都不是另一個倍數(shù)（一個是另一個的倍數(shù)這種情況比較簡單，我們留給讀者自己證明）。對于臺球桌，我們采用一個長寬為a和b的矩形。我們從桌子的一角同側邊成45°把球擊出，臺球從桌子側邊彈來彈去，在這過程中速度不會減弱減小，并且根據(jù)反射定律，臺球每次到達一個側邊時都會以45°反射（這樣一來路徑只會向左或向右轉90°）。臺球的路徑就由這些線段組成。
我們可以斷定，在這樣一組路徑之后，球最終會擊中另一個角。而球擊中這個角落之前所經(jīng)過的路徑長度除以，就是a和b的最小公倍數(shù)；如果我們把臺球桌分解成一個一個單位方塊（即邊長為1的正方形），最小公倍數(shù)就等于臺球走過的路徑上單位方塊的數(shù)目。
我們同時還能斷定，整個路徑一定會出現(xiàn)相交點。在起點不遠處就會出現(xiàn)一個相交點。兩個給定自然數(shù)的最大公因數(shù)就等于從起點到最近的相交點的距離除以。它還等于從起點到第一個自交點的路徑穿過的單位方塊數(shù)。
鏡像的臺球
在鏡中觀察一個物體時，你會覺得這個物體就在鏡子后面。值得注意的是，這時有三個點是對齊的：標記位置的點、在鏡子上看到物體的反射點以及你“看到”的鏡中的虛點。為了證明我們上面的幾個推斷，我們將利用這個簡單的想法，把臺球桌的側邊看成鏡面。
我們把a和b的最小公倍數(shù)寫作??，它是同時是a和b的倍數(shù)的最小的自然數(shù)。再給出某些正整數(shù)m和n，我們可以把寫出?。舉個例子，對于和，然后我們可以寫出來
在這里m=3，n=2。
這里給定的兩個數(shù)字a和b，其中哪一個都不是另一個的倍數(shù)，我們先做一個邊長為??的正方形。它可以分解成??個長寬為a和b的長方形。顯然這是因為m個a相加，和n個b相加都等于??。因為??是a和b的最小公倍數(shù)，我們的正方形是用長寬為a和b的長方形能鋪滿的最小的正方形了。我們把這些長方形中左下角的記作R，右上角的記作S（如下圖所示）。
在這個例子中a=4，b=6，最小公倍數(shù)就是3x4=2x6=12，所以這個正方形的邊長是12，里面包含了3x2=6個長方形。
現(xiàn)在我們從左下角開始，到右上角結束，畫出這個正方形的對角線d。
從d中我們要畫一條曲折的路徑t，通過重復反射之后，它整個都落在長方形R中。路徑t就是數(shù)學臺球在長方形R內移動的路徑。
我們從右上角的S開始，沿同對角線d相交的側邊做一個鏡像，在我們這個例子中，這條側邊也是長方形S下方的長方形的側邊，我們把那個長方形記作S’。
沿S的底邊做一個鏡面反射，把部分對角線反射到下面的長方形中去
現(xiàn)在把S’沿與d交叉的邊再次反射（在我們的例子中，是沿S’的左邊，注意不是往上反射回S）。
把S’反射到左邊
一直這樣操作下去，不停把長方形沿與d交叉的側邊進行反射，直到最終到達左下角的長方形R里。這樣重復的反射之后，我們就由對角線d得到了曲折路徑t。
最后的反射就得到了在長方形R內部的路徑t。
路徑t就是從R的左下角射出的球在R的側邊成45°反射之后得到的路徑。從下圖可以更清楚地看到。（動畫可以戳這里）
為了證明確實如此，我們先回想一下，球每次和側邊撞擊之后，都會向左或者向右轉90°彎。可以看到路徑t確實是這樣。從下面的圖里也很好解釋這一點。
路徑t每次碰上R的側邊都會轉90°彎。
因為路徑t是S的不斷沿長方形的側邊反射得到的，t的終點也是S的右上角頂點不斷反射得到的，所以t的終點也是R的一個頂點。
路徑t的長度則是等于對角線d。因為任意正方形的對角線長度都等于邊長的倍（這一點來自于畢達哥拉斯定理），所以有：
是路徑t的長度。重新組合一下，我們有：
這就是我們想要證明的結論：球的路徑長度除以，就是a和b的最小公倍數(shù)。
對于我們所舉的例子而言，這個方法很完美，但是我們能保證它對任意值的a和b（它們彼此不是對方的倍數(shù)）都成立嗎？唯一可能出錯的地方在于，對角線d在正方形內部就經(jīng)過了一個長方形的某一個頂點，這樣的話，我們就無法確定哪一邊能反射到角上了。
我們接下來證明這一點是不可能發(fā)生的。我們很容易知道，對角線上的任何一點P都能確定一個正方形：只要垂直向下、水平向左畫直線與原正方形相交就可以了。
對角線上的任何一點都能確定一個正方形。
如果這樣一個點也正好是某一個長方形的頂點，那么我們這個小正方形就應該能夠被長寬為a和b的長方形鋪滿——但這是不可能的，正如我們之前所說，邊長為??的正方形已經(jīng)是能夠被鋪滿的最小正方形了。
我們已經(jīng)說明了??等于路徑t的長度除以，接下來我們來看看單位方塊。
路徑穿過的方塊
要數(shù)一下路徑t穿過的單位方塊（即邊長為1的正方形）的個數(shù)，我們要先把長方形R畫成坐標系統(tǒng)的形式。橫軸和縱軸如下圖所示，單位方塊的頂點的坐標都是整數(shù)。
長方形R和它構成的坐標系統(tǒng)。其中路徑t經(jīng)過的單位方塊的頂點的坐標用紅色標出。
很明顯如果t穿過了一個單位方塊，它同時會沿著其對角線運動。我們還可以看到，如果一個單位方塊的頂點落在了路徑t上，它的橫縱坐標加起來等于一個偶數(shù)。任何一個單位方塊都只有兩個這樣的頂點，它們位于一條對角線的兩端，所以，t只能經(jīng)過單位方塊的兩條對角線中的一條。
路徑t同時也不可能兩次經(jīng)過單位方塊的對角線，無論是兩次方向相同還是兩次方向相反。這一點我們留給讀者自己證明。讀者需要證明t的終點不同于它的起點。這樣的話，m和n中至少有一個是偶數(shù)，同時要注意t的終點是由S的右上角的頂點不斷反射而成的。
我們現(xiàn)在知道，路徑t不會穿過某個單位方塊超過一次，同時它總是沿著單位方塊的對角線方向。因為單位方塊的對角線長度是，t經(jīng)過的單位方塊的個數(shù)就是：
這和我們之前的推斷一致。
最大公因數(shù)
我們之前斷言說，a和b的最大公因數(shù)??是從起點到最近的自交點的距離除以，也等于從起點到第一個自交點的路徑穿過的單位方塊數(shù)。
我們先假設??，這樣的話a和b的最小公倍數(shù)等于二者的乘積?（這一點讀者可以自己證明）。根據(jù)我們之前的結果，那路徑穿過的單位方塊的個數(shù)也是??。因為長方形的長寬是a和b，那它內部就一共有??個單位方塊。而因為路徑不會穿過任何一個單位方塊超過一次，那么路徑就必須穿過了所有單位方塊。
在這個例子中a=3，b=8，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是24。
我們已經(jīng)知道，落在路徑t上的單位方塊的頂點的橫縱坐標相加都等于偶數(shù)。反過來，路徑t經(jīng)過了每一個單位方塊，意味著每一個坐標和為偶數(shù)的頂點都落在了t上。
這意味著(0,0)?、(0,2)?、(2,0)??和(2,2)這些點都在t上。而這只有當(1,1)是t的一個自交點時才成立。
因而(1,1)是t和自身相交得到的一個交點，它也是沿著t離(0,0)最近的點。(1,1)到(0,0)的距離是，除以就得到了1，即上面例子中a和b的最大公因數(shù)。從(0,0)到(1,1)沿t穿過的單位方塊的數(shù)目也是1。這就證明了在這個例子中我們的推斷。
如果??，我們可以通過一個因子??來重新調整整個坐標的標度：把a和b除以它們的最大公因數(shù)??，我們會得到兩個最大公因數(shù)為1的正整數(shù)。這時再重復上面的構造，然后再把橫縱坐標軸乘以??，把整個坐標系統(tǒng)放大。單位方塊就變成邊長為??的正方形。所有和具體長度值無關的幾何性質（比如路徑形狀，經(jīng)過的頂點等等）都不會受坐標縮放的影響。
在這個例子中a=9，b=24，最大公因數(shù)是3。除以3之后我們得到3和8，和我們舉的例子一樣。把前面的例子中的情況擴大3倍，就得到了新的圖像，單位方塊就變成了邊長9的正方形。
路徑第一段中離起點最近的自交點，距離起點的長度是??，從而?是等于從起點到第一個自交點的路徑穿過的單位方塊數(shù)。
原文鏈接：
https://plus.maths.org/content/arithmetic-billiards-0
https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_billiards
—THE END—
作者：Antonella Perucca
翻譯：Dannis
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的这个数学问题，打一局台球就解决了的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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