無論在外在的物質世界里，還是在內在的精神世界里，都不能沒有數學。最早悟出萬物背后都有數的法則在起作用的，是生活在公元前6世紀的古希臘數學家和哲學家畢達哥拉斯；而他及其學派無論在代數上還是幾何上都有很多貢獻。其中舉世聞名的“完美數”(perfect number，又稱“完全數”和“完滿數”)就是他們首先發現的。

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完美數優美而稀少，如同璀璨明珠

所謂完美數，就是“除其本身以外全部因數之和等于本身”的數。例如，前兩個完美數分別是：6，28。畢達哥拉斯曾說：“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不過，有人認為或許印度人和希伯來人早就知道完美數的存在了。有些《圣經》注釋家認為6和28是上帝創造世界時所用的基本數字；他們指出，創造世界花了6天，28天則是月亮繞地球一周的天數。這使得完美數充滿了神秘的色彩，所以有些書籍稱之為“上帝之數”。法國數學家和哲學家笛卡爾曾公開預言：“能找出完美數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完美人亦非易事。”可見這種數既優美又稀少。

由于完美數有許多有趣的性質和無與倫比的魅力，2500多年來一直吸引著眾多的數學家和業余數學愛好者對它進行探究。迄今為止，人類僅發現 47 個完美數，而且都是偶完美數。至于偶完美數是否無窮和有沒有奇完美數，至今沒有定論；這已成為數學中的著名難題。

古希臘數學家歐幾里得在名著《幾何原本》中證明了素數有無窮多個，并論述完美數時提出：如果2^p-1是素數(其中指數p也是素數)，則2^p-1(2^p-1)是完美數。瑞士數學家和物理學家歐拉證明所有的偶完美數都有這種形式。因此，人們只要找到2^p-1型素數，就可以發現偶完美數了。

數學界將2^p-1型素數稱為“梅森素數”(Mersenne prime)，因為法國數學家和法蘭西科學院奠基人梅森在這方面的研究成果較為卓著。梅森素數貌似簡單，但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱巨的計算。

1772年，有“數學英雄”美名的歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2³¹-1(即2147483647)是第8個梅森素數。這個具有10位的素數，堪稱當時已知的最大素數。第8個偶完美數——2³⁰(2³¹-1)也由此而來。歐拉的頑強毅力與解題技巧令人贊嘆不已；法國大數學家拉普拉斯說的話，或許可以代表我們的心聲：“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。”

值得提出的是：在梅森素數的基礎研究方面，法國數學家魯卡斯和美國數學家雷默都做出了重要貢獻；以他們命名的“魯卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測梅森素數素性的最佳方法。此外，中國數學家和語言學家周海中給出了梅森素數分布的精確表達式，為人們尋找梅森素數提供了方便；這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。

為了激勵人們尋找梅森素數，設在美國的電子新領域基金會(EFF)曾向全世界宣布了為通過一個名為“因特網梅森素數大搜索”(GIMPS)項目來尋找梅森素數而設立的獎金。它規定向第一個找到超過1000萬位數的個人或機構頒發10萬美元。后面的獎金依次為：超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬美元。當然，絕大多數研究者參與該項目并不是為了金錢，而是出于興趣、榮譽感和探索精神。

美國加州大學洛杉磯分校的計算機專家史密斯通過參加GIMPS項目，于2008年8月23日找到了迄今已知的最大梅森素數2^43112609-1；該數也是目前已知的最大素數。這個素數有12978189位；如果用普通字號(4號)將它連續打下來，其長度可超過50公里！人類也因此發現了迄今已知的最大偶完美數——2^43112608(2^43112609-1)。史密斯的成就被著名的《時代》雜志評為“2008年度50項最佳發明”之一。前不久，他獲得了EFF頒布的10萬美元大獎。

目前，世界上有180多個國家和地區超過25萬人參加了GIMPS項目，并動用了近50萬臺計算機聯網來尋找新的梅森素數。該項目采取網格計算方式，利用大量普通計算機的閑置計算資源來獲得相當于超級計算機的運算能力。著名的《自然》雜志說：GIMPS項目不僅會進一步激發人們對梅森素數尋找的熱情，而且會引起人們對網格技術應用研究的高度重視。

梅森素數在當代具有重大的理論意義和豐富的實用價值。它是發現已知最大偶完美數的唯一途徑；其探究推動了“數學皇后”——數論的研究，促進了計算技術、密碼技術、網格技術、程序設計技術的發展以及快速傅立葉變換的應用；另外它還可用來測試計算機硬件運算是否正確。由于梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為：梅森素數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。

可以在此預言：完美數這顆數學寶庫中的璀璨明珠正以其獨特魅力，吸引著更多的有志者去探尋和研究。

—THE END—

編輯?∑Gemini

來源：劉志堅寫于紐約大學，轉自騰訊網

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的完美数：数学宝库中的一颗璀璨明珠的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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