1

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。這句話，大概不會(huì)有什么反對(duì)的意見(jiàn)。誰(shuí)都知道，數(shù)學(xué)能夠啟迪、培養(yǎng)、發(fā)展人的思維。雖然也有其他學(xué)科或其他方式可以培養(yǎng)人的思維，但在深度、廣度、系統(tǒng)性等方面，是無(wú)法與數(shù)學(xué)相比的。

然而，在實(shí)際運(yùn)作時(shí)，卻有一些人忽視這一點(diǎn)，他們只看重?cái)?shù)學(xué)是一門實(shí)用性的科學(xué)。提到式的恒等變形，他們會(huì)問(wèn)：這有什么用?提到不等式的證明，他們更搖頭表示懷疑：沒(méi)有用的東西，學(xué)它干什么?

在這些人看來(lái)，小學(xué)的四則運(yùn)算日常生活少不得，當(dāng)然是有用的，要學(xué)。目前初中的內(nèi)容約有二分之一還有些用處(其中幾何證明都是絕對(duì)無(wú)用的)。高中內(nèi)容，大部分是為了應(yīng)試，都應(yīng)當(dāng)取消，只有一小部分可以保留。

這種觀點(diǎn)，由來(lái)已久。早在60年代，即已出現(xiàn)輕理論、重實(shí)用，過(guò)分強(qiáng)調(diào)理論必須聯(lián)系實(shí)際的思潮。在文化大革命中，更發(fā)展到頂峰。當(dāng)時(shí)有的地方，中學(xué)數(shù)學(xué)課已經(jīng)被取消掉，少得可憐的一點(diǎn)數(shù)學(xué)內(nèi)容納入一門叫做“工業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)”的課里面。

僅將數(shù)學(xué)當(dāng)作實(shí)用科學(xué)就是不懂得培養(yǎng)思維能力正是數(shù)學(xué)的一大功用，即使只談實(shí)用性，也決不可忽略思維能力的培養(yǎng)。

明朝的徐光啟先生(1562—1633)，見(jiàn)解就很高明。他在萬(wàn)歷三十五年(公元1607年)與利瑪竇合譯了歐幾里得的《幾何原本》。在譯本卷首的《幾何原本雜議》中，徐先生指出：“人具上資而意理疏莽，即上資無(wú)用；人具中材而心思縝密，即中材有用；能通幾何之學(xué)，縝密甚矣，故率天下之人而歸于實(shí)用者，是或其所由之道也。”

最近我見(jiàn)到一篇文章《數(shù)學(xué)與文學(xué)》，作者是一位在人文科學(xué)方面卓有成就的朱正先生(著有《魯迅?jìng)髀浴?1956年)、《魯迅回憶正談》(1979年)、《小書生大時(shí)代》(1999年)、《辮子、小腳及其他》(1999年)等書)。朱先生對(duì)數(shù)學(xué)的作用認(rèn)識(shí)非常深刻，他說(shuō)：“我在學(xué)術(shù)研究方面所做的工作，憑仗的也就是當(dāng)年數(shù)學(xué)‘體操’所訓(xùn)練出來(lái)的思維能力。我的一本《1957年的夏季：從百家爭(zhēng)鳴到兩家爭(zhēng)鳴》，程干帆先生看了，許我為漢學(xué)家，說(shuō)那本書深得段戴錢王之妙，卻不知道其實(shí)是得益于數(shù)學(xué)的。”(朱正著《字紙簍》，120-121頁(yè)，廣東人民出版社，2000年出版)。

即使一個(gè)人“從事的幾乎是同數(shù)學(xué)沒(méi)有什么關(guān)系的職業(yè)，原來(lái)學(xué)的代數(shù)幾何三角中的定理定律幾乎全忘記了”(朱正先生語(yǔ)，同上120頁(yè))，然而數(shù)學(xué)對(duì)思維的訓(xùn)練還是有用的，這才是數(shù)學(xué)的最廣泛的“實(shí)用性”，這才是我們要學(xué)數(shù)學(xué)的主要原因。

2

我國(guó)古代曾有過(guò)四大發(fā)明，在數(shù)學(xué)方面也有很多成就，并出現(xiàn)了《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》等重要著作，但后來(lái)我國(guó)的自然科學(xué)卻停滯了，遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于西方。這當(dāng)然有很多的原因(特別是政府的腐敗)，但其中有一點(diǎn)是很重要的，即過(guò)于強(qiáng)調(diào)實(shí)用，而缺乏理性的思維。

希臘人比古代的中國(guó)、埃及、巴比倫前進(jìn)了一大步，他們“具有重理知的特性，概括并簡(jiǎn)化各種科學(xué)原則，希望由此求出這些科學(xué)的道理”，“柏拉圖堅(jiān)持研究幾何學(xué)，并不是為了幾何學(xué)的實(shí)際用途，而是想發(fā)展思想的抽象力，并訓(xùn)練心智使之能正確而活潑地思考。柏拉圖把思想的抽象力和正確的思考能力應(yīng)用在倫理與政治上，結(jié)果奠定了西方社會(huì)哲學(xué)的基礎(chǔ)；亞里士多德把它們應(yīng)用在研究具體事物的真實(shí)性上，結(jié)果奠定了物質(zhì)科學(xué)的基礎(chǔ)。”

“自然科學(xué)之能發(fā)展到目前的階段，首先歸功于希臘人對(duì)大自然的觀念以及對(duì)有系統(tǒng)的智力訓(xùn)練的愛(ài)好，中問(wèn)經(jīng)過(guò)文藝復(fù)興、宗教革命、法國(guó)革命，后來(lái)又受到工業(yè)革命的大刺激。工業(yè)革命使工具的技術(shù)逐漸改進(jìn)。西歐在自然科學(xué)的后期發(fā)展中，從未忽視科學(xué)的實(shí)際用途。不斷的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明更進(jìn)一步刺激了科學(xué)研究。理論科學(xué)和應(yīng)用科學(xué)齊頭并進(jìn)，而相輔相成。”

應(yīng)當(dāng)承認(rèn)我國(guó)在理論思維方面不及希臘與西歐。數(shù)學(xué)方面，這樣的例子很多。我們古代很早就知道了勾3股4弦5，但沒(méi)有證明一般的勾股定理(即畢達(dá)哥拉斯定理)，也沒(méi)有找出勾股數(shù)(滿足 的整數(shù)組 ，， 的一般規(guī)律。這些都是由希臘人完成的。我國(guó)古代很早就知道 是奇質(zhì)數(shù) 的倍數(shù)，但建立起費(fèi)馬小定理的卻是法國(guó)人費(fèi)馬(Fermat，1601—1665)。

曾在北京大學(xué)任過(guò)十多年校長(zhǎng)的蔣夢(mèng)麟先生(1886—1964)，在他的名著《西潮》中早就說(shuō)到這一點(diǎn)，他說(shuō)：

“在中國(guó)，發(fā)明常止于直接的實(shí)際用途。我們不像希臘人那樣在原理原則上探討：也不像現(xiàn)代歐洲人那樣設(shè)法從個(gè)別的發(fā)現(xiàn)中歸納出普遍的定律。現(xiàn)代歐洲人的這種習(xí)慣是從古希臘繼承而來(lái)的，不過(guò)較諸希臘時(shí)代要進(jìn)步而已。中國(guó)人一旦達(dá)到一件新的發(fā)明的實(shí)用目的，就會(huì)馬上止步不前：因此中國(guó)科學(xué)的發(fā)展是孤立無(wú)援的，也沒(méi)有科學(xué)思想作為導(dǎo)向明燈。科學(xué)發(fā)展在中國(guó)停滯不進(jìn)，就因?yàn)槲覀兲貙?shí)際”(《西潮》第七部：現(xiàn)代世界中的中國(guó)。本節(jié)的引文均出自該處，不一一列舉)。

他又說(shuō)：“我們中國(guó)人最感興趣的是實(shí)用東西。......，如果有人拿東西給美國(guó)人看，他們多半會(huì)說(shuō)：‘這很有趣呀！’；碰到同樣情形時(shí)，中國(guó)人的反應(yīng)卻多半是：‘這有什么用處?’......，我們中國(guó)對(duì)一種東西的用途，比對(duì)這種東西的本身更感興趣。”

時(shí)至今日，情況當(dāng)然與蔣夢(mèng)麟先生的時(shí)代有了很大的不同。但忽視理論、太重實(shí)際的傾向仍然值得注意。因此，在我們考慮中學(xué)數(shù)學(xué)教材、大綱或是課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，不能僅考慮實(shí)用性，不能簡(jiǎn)單地羅列數(shù)學(xué)知識(shí)，而更應(yīng)當(dāng)考慮需要培養(yǎng)哪些思維品質(zhì)，如何去進(jìn)行思維的訓(xùn)練，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)的特點(diǎn)。

3

數(shù)學(xué)有眾多的分支，在中小學(xué)階段涉及到的有算術(shù)(理論)、代數(shù)、幾何、三角、解析幾何、函數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)等等。各個(gè)分支在數(shù)學(xué)中都有一定的地位和作用，它們的思維方式各有特點(diǎn)，不盡相同，彼此之間并無(wú)高下之分，而是相輔相成，組成一個(gè)整體。不宜過(guò)分強(qiáng)調(diào)其中的某一個(gè)，而忽略其它，對(duì)各種思維方式在什么時(shí)候引入最為適宜也應(yīng)當(dāng)深入研究。這里對(duì)幾個(gè)問(wèn)題談?wù)勎覀兊南敕ā?/p>

3.1 算術(shù)與代數(shù)

在小學(xué)階段(即九年義務(wù)教育的前五、六年)，用算術(shù)方法解應(yīng)用題是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的一個(gè)傳統(tǒng)內(nèi)容，解題方法多種多樣，極富巧思，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的思維。例如“和差問(wèn)題”：

“大、小二數(shù)的和是18，差是4，求大數(shù)與小數(shù)各是多少？”

算術(shù)的方法可以先將小數(shù)加上4，使小數(shù)變成與大數(shù)相等，從而大數(shù)=(18+4)÷2=11

也可以先將大數(shù)減去4，使大數(shù)變成與小數(shù)相等，從而小數(shù)=(18-4)÷2=7

甚至還可以先求平均數(shù)：18÷2=9 再加上(或減去)2(=4÷2)，便得大數(shù)(或小數(shù))。

用代數(shù)的方法，通過(guò)設(shè)未知數(shù)、列方程(組)解應(yīng)用題，方法統(tǒng)一簡(jiǎn)單，其優(yōu)點(diǎn)是顯然的，但能否就肯定代數(shù)方法高于算術(shù)方法，甚至取消算術(shù)解法而統(tǒng)統(tǒng)代之以代數(shù)方法呢？恐怕不能。就思維的品質(zhì)來(lái)說(shuō)，統(tǒng)一性與多樣性，各有千秋，不相軒輊。統(tǒng)一、簡(jiǎn)單固然好，“百花齊放”也不壞，從教育的觀點(diǎn)看來(lái)，理解統(tǒng)一方法的優(yōu)點(diǎn)需要一定的基礎(chǔ)，低年級(jí)尚難做到這一點(diǎn)，而算術(shù)解法多變，易培養(yǎng)他們的興趣，比冷冰冰地“設(shè) ，列方程”有“人情味”，有美學(xué)價(jià)值，這是極為重要的。因此過(guò)早地在小學(xué)引入方程，效果可能是西望長(zhǎng)安不見(jiàn)家(佳)，反倒容易使思維簡(jiǎn)單化，甚至僵化，而且要引入方程，就不能不講方程的解法，從而需要了解方程的性質(zhì)，式的變形，更要引入負(fù)數(shù)的概念，容易破壞系統(tǒng)性，自亂章法。

3.2 平面幾何的地位與所占比重

平面幾何原來(lái)在中學(xué)數(shù)學(xué)占有相當(dāng)大的比重，它的地位是歷史上形成的。幾何學(xué)有很完整的公理體系，又有優(yōu)美的圖形，推理較有規(guī)律可以遵循，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是有好處的。完全取消幾何，“打倒歐幾里得”當(dāng)然不對(duì)，但隨著歷史的發(fā)展，幾何學(xué)已經(jīng)不能在中小學(xué)獨(dú)占一大塊地盤。應(yīng)當(dāng)減少幾何的課時(shí)，已經(jīng)成為共識(shí)。但怎樣縮減方法為合理?用什么來(lái)代替幾何?

文革前，初中幾何主要講全等形與平行線，高一講相似形與比例線段，當(dāng)時(shí)不升高中的人，雖然少學(xué)了一些幾何內(nèi)容，但已經(jīng)基本上掌握了幾何的推理方法。因此，可以采取類似的做法，即對(duì)幾何內(nèi)容采用兩種要求，一部分內(nèi)容，如三角形全等，需要學(xué)生很好掌握，能解決有關(guān)的習(xí)題，包括較難的習(xí)題：其余內(nèi)容，則只需了解，不花或少花功夫去做題。了解的內(nèi)容不應(yīng)太少。現(xiàn)在連"傍心"是什么，學(xué)生都不知道，這是不恰當(dāng)?shù)摹０倪@一名稱介紹給學(xué)生并不增加負(fù)擔(dān)，反而可以體現(xiàn)幾何學(xué)的優(yōu)美。再如三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)也應(yīng)當(dāng)介紹，不應(yīng)刪去。

幾何課時(shí)減少后，用什么來(lái)代替幾何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力呢?首先，應(yīng)當(dāng)指出代數(shù)、三角或者算術(shù)，都有培養(yǎng)推理能力的作用，并不比幾何遜色，需要進(jìn)一步開(kāi)發(fā)。其次，可以考慮增加其它內(nèi)容。六十年代莫紹揆先生曾提議用數(shù)理邏輯來(lái)代替幾何，這是一種好想法，或許更可行的是用組合數(shù)學(xué)來(lái)代替幾何，因?yàn)榻M合數(shù)學(xué)的很多內(nèi)容有趣味，易為學(xué)生接受，而且靈活多變化，對(duì)培養(yǎng)思維能力極為有益，比如“抽屜原理”，在小學(xué)低年級(jí)就可以引入。像“三只襪子，兩種顏色，其中必有兩只同色”，小朋友都能理解。還可以采用“圓周式”的講授，在小學(xué)、初中、高中都有抽屜原理，但內(nèi)容逐步加深，再如“奇偶分析”，“圖論初步”，不但有趣，而且也很有用(無(wú)論在實(shí)用，還是在思維方面)。

3.3 “函數(shù)為綱”與離散數(shù)學(xué)

函數(shù)為綱，是一個(gè)不很明確的口號(hào)，在眾多的數(shù)學(xué)內(nèi)容中，突出函數(shù)既無(wú)必要，也沒(méi)有太好的借口。相反地，隨著計(jì)算機(jī)等的發(fā)展。離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容反倒應(yīng)當(dāng)增加，國(guó)外已有人認(rèn)為大學(xué)(尤其一年級(jí))I沒(méi)有必要非學(xué)微積分，或許大學(xué)一年級(jí)學(xué)離散數(shù)學(xué)更合適一些。中小學(xué)也應(yīng)引入這方面的內(nèi)容，包括上面所說(shuō)的組合數(shù)學(xué)，初等數(shù)論等等。初等數(shù)論(算術(shù))講數(shù)的性質(zhì)，可以結(jié)合代數(shù)進(jìn)行，如

這個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)式，初中學(xué)生人人知道，然而將它理解為“每一個(gè)奇數(shù)可以表示成平方差”的恐怕寥寥無(wú)幾。再如

即表明勾股數(shù)有無(wú)窮多組。這些，都可以提高學(xué)生的興趣與思維能力。

3.4 引入新內(nèi)容要考慮能否提高學(xué)生思維能力

有人主張?jiān)黾右恍┙y(tǒng)計(jì)、建模等等內(nèi)容，并以美國(guó)小學(xué)生調(diào)查冰激凌的口味，測(cè)定自己脈搏等等為例，我們看不出這些做法對(duì)培養(yǎng)思維能力有什么好處。有些內(nèi)容僅僅是羅列一些名詞與公式(法則)，不如統(tǒng)統(tǒng)去掉以節(jié)省課時(shí)。因?yàn)樗季S能力是要花很多時(shí)間、花大力氣去培養(yǎng)的，而那些套公式的事，待用到時(shí)再學(xué)也為時(shí)不晚。

我們并不反對(duì)讓學(xué)生動(dòng)手，但動(dòng)手能力主要依靠理化生物等實(shí)驗(yàn)科學(xué)來(lái)培養(yǎng)，而數(shù)學(xué)應(yīng)側(cè)重培養(yǎng)“動(dòng)腦”，培養(yǎng)智慧。

“磨刀不誤砍柴工”。數(shù)學(xué)能使人變得聰明，就好像磨刀，使刀變得銳利，學(xué)知識(shí)就好像砍柴，刀磨好了，砍柴不難。

再如微積分，有人主張不用極限理論，我們覺(jué)得取消了極限理論，等于取消了微積分的核心，剩下部分味同雞肋，對(duì)思維的培養(yǎng)沒(méi)有多大意思。講微積分就應(yīng)當(dāng)講極限思想，只不過(guò)應(yīng)當(dāng)采用學(xué)生易于接受的方式，不一定非用 語(yǔ)言。比如可以先講無(wú)窮小量的求和(一個(gè)典型的例題是拋物線 、 軸、直線 所圍的面積，從中引出 ,,, 在 無(wú)限增加時(shí)，極限分別為 0，0，0，1)。先講積分再講微分，也就是一種可以考慮的方案。

不一定追求形式上的新，原有的內(nèi)容也可以用新的觀點(diǎn)去考察，特別應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步挖掘它們?cè)谂囵B(yǎng)思維方面的作用，比如前面所說(shuō)的和差問(wèn)題，可以結(jié)合計(jì)算機(jī)，采用嘗試法，編好程序，經(jīng)過(guò)幾次嘗試，調(diào)整得出結(jié)果。

編輯?∑Gemini

來(lái)源：數(shù)學(xué)通報(bào)2001年第6 期

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總結(jié)

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