此前在另外一篇文章嘗試給對傅立葉級數、傅立葉變換進行過稍微直觀點的解釋。本文會對公式進行細節的、代數上的解釋。

1 對周期函數進行分解的猜想

拉格朗日等數學家發現某些周期函數可以由三角函數的和來表示，比如下圖中，黑色的斜線就是周期為??的函數，而紅色的曲線是三角函數之和，可以看出兩者確實近似：

而另外一位數學家：

讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉男爵（1768 －1830）猜測任意周期函數都可以寫成三角函數之和。

2 分解的思路

假設??是周期為??的函數，傅里葉男爵會怎么構造三角函數的和，使之等于?？

2.1 常數項

對于??這樣的常數函數：

根據周期函數的定義，常數函數是周期函數，周期為任意實數。

所以，分解里面得有一個常數項。

2.2 通過??進行分解

首先，??是周期函數，進行合理的加減組合，結果可以是周期函數。

其次，它們的微分和積分都很簡單。

然后，??是奇函數，即：

從圖像上也可以看出，??關于原點對稱，是奇函數：

而奇函數與奇函數加減只能得到奇函數，即：

其中，??表示奇函數。

而??是偶函數，即：

從圖像上也可以看出，??關于??軸對稱，是偶函數：

同樣的，偶函數與偶函數加減只能得到偶函數，即：

其中，??表示偶函數。

但是任意函數可以分解和奇偶函數之和：

所以同時需要??。

2.3 保證組合出來周期為?

之前說了，??是周期為??的函數，我們怎么保證組合出來的函數周期依然為??呢？

比如下面這個函數的周期為??：

很顯然，??的周期也是??：

?的周期也是??，雖然最小周期是??：

很顯然，??的周期都是??：

更一般的，如果??的周期為??，那么：

這些函數的周期都為??。

將這些函數進行加減，就保證了得到的函數的周期也為??。

2.4 調整振幅

現在我們有一堆周期為??的函數了，比如說?：

通過調整振幅可以讓它們慢慢接近目標函數，比如??看起來處處都比目標函數低一些：

把它的振幅增加一倍：

?有的地方超出去了，從周期為??的函數中選擇一個，減去一點：

調整振幅，加加減減，我們可以慢慢接近目標函數：

2.5 小結

綜上，構造出來的三角函數之和大概類似下面的樣子：

這樣就符合之前的分析：

• 有常數項

• 奇函數和偶函數可以組合出任意函數

• 周期為?

• 調整振幅，逼近原函數

之前的分析還比較簡單，后面開始有點難度了。即怎么確定這三個系數：

3??的另外一種表示方法

直接不好確定，要迂回一下，先稍微介紹一下什么是：??？

3.1?

看到復數也不要怕，根據之前的文章如何通俗易懂地解釋歐拉公式，看到類似于??這種就應該想到復平面上的一個夾角為??的向量：

那么當??不再是常數，而是代表時間的變量??的時候：

隨著時間??的流逝，從0開始增長，這個向量就會旋轉起來，??秒會旋轉一圈，也就是?：

3.2 通過??表示?

根據歐拉公式，有：

所以，在時間??軸上，把??向量的虛部（也就是縱坐標）記錄下來，得到的就是?：

代數上用??表示虛部：

在時間??軸上，把??向量的虛部記錄下來，得到的就是??：

如果在時間??軸上，把??的實部（橫坐標）記錄下來，得到的就是??的曲線：

代數上用??表示實部：

在??的圖像中，可以觀察到旋轉的頻率，所以稱為頻域；而在??中可以看到流逝的時間，所以稱為時域：

4 通過頻域來求系數

4.1 函數是線性組合

假設有這么個函數：

是一個??的函數：

如果轉到頻域去，那么它們是下面這個復數函數的虛部：

先看看??，其中??是常數，很顯然這是兩個向量之和：

現在讓它們動起來，把??變成流逝的時間??，那么就變成了旋轉的向量和：

很顯然，如果把虛部記錄下來，就得到??：

4.2 函數向量

前面畫了一大堆圖，就想說明一個觀點，??是向量，并且是旋轉的向量。

而根據歐拉公式，有：

從圖像上看：

所以??也是向量。

?稱為函數向量，并且函數向量的點積是這么定義的：

其中，??是函數向量，??是??的周期。

關于函數向量，關于函數向量的點積，更嚴格的討論可以參考無限維的希爾伯特空間。

4.3??是線性組合

雖然比較倉促，讓我們先接受??是函數向量，那么它們的線性組合得到的也是函數向量：

根據剛才的點積的定義有：

根據點積的代數和幾何意義（關于點積的幾何意義可以參考這篇文章），?說明了，這兩個函數向量正交、線性無關，是正交基。

如果寫成這樣：

可以理解為??在正交基??下的坐標為??。

4.4 如何求正交基的坐標

我們來看個例子，假設：

其中?

通過點積：

可知這兩個向量正交，是正交基。圖示如下：

?在基??下的坐標為??，其中在基??下的坐標可以通過點積這么來算（對于正交基才可以這么做）：

4.5 如何求??基下的坐標

對于：

其中，??是向量，??是正交基，周期??。

所以是正交基，那么根據剛才的分析，可以這么求坐標??上的坐標：

4.6 更一般的

對于我們之前的假設，其中??周期為??：

可以改寫為這樣：

也就是說向量??是以下正交基的線性組合：

是的，??也是基。

那么可以得到：

?也可以通過點積來表示，最終我們得到：

其中：

5 傅立葉級數的另外一種表現形式

根據歐拉公式：

我們可以推出：

根據上式，我們可以寫出傅立葉級數的另外一種形式：

其中：

解讀一下：

對于復數函數，定義的點積為：

其中，??為復數函數，??是??的共軛，所以??的代數表達式中有一個負號。

順便說一下，這樣定義點積是為了保證：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的如何理解傅立叶级数、傅立叶变换公式？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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