可以構(gòu)成平面五重晶格鋪砌的五種凸形磚

每當(dāng)宗傳明開始“閉關(guān)”，謝絕一切會(huì)議、邀約時(shí)，熟悉他的人就能大致猜出，他又要“憋大招”了。

數(shù)學(xué)研究以抽象聞名，外行往往難以理解。但是，有些外行看起來自然簡(jiǎn)單的問題，卻同樣能讓世界上最聰明的大腦感到束手無策。例如，什么形狀的瓷磚能夠無縫隙地鋪滿整個(gè)平面，就是這樣一個(gè)問題。

近日，《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通報(bào)》（Notices of the American Mathematical Society）在2020年第五期上以“重點(diǎn)論文”形式發(fā)表了天津大學(xué)長(zhǎng)江特聘教授宗傳明的一項(xiàng)研究成果，對(duì)數(shù)學(xué)中的經(jīng)典鋪砌問題他給出了一系列完整的答案。

世紀(jì)難題

早在古希臘時(shí)期，亞里士多德和阿基米德等先哲就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些鋪砌構(gòu)圖；1619年，開普勒對(duì)阿基米德鋪砌取得了完整的分類；1885年，俄國(guó)科學(xué)家費(fèi)德洛夫系統(tǒng)地研究了最有規(guī)律的鋪砌，也奠定了晶體學(xué)理論的基石。

然而，時(shí)間到了1916年前后，當(dāng)?shù)聡?guó)數(shù)學(xué)家比伯巴赫首次提出平面全等鋪砌體的分類問題之后，數(shù)學(xué)家前進(jìn)的腳步卻似乎慢了下來。

“這樣一個(gè)貌似簡(jiǎn)單的幾何問題難倒了許多杰出的數(shù)學(xué)家。”宗傳明說，“比伯巴赫問題的研究歷程異常復(fù)雜曲折，在過去的一個(gè)世紀(jì)中，它曾至少3次被錯(cuò)誤地宣布徹底解決。”

在尋找平面全等鋪砌體的過程中，不僅有數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)專家的系統(tǒng)研究，一些業(yè)余愛好者也做出了驚人的貢獻(xiàn)。例如，1978年，僅有高中數(shù)學(xué)水平的賴斯夫人就發(fā)現(xiàn)了其中的四種，為此美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)特意用賴斯夫人發(fā)現(xiàn)的一種五邊形地板磚鋪砌他們?nèi)A盛頓總部走廊的一部分。

歷經(jīng)一個(gè)世紀(jì)，除三角形和四邊形外，人們共發(fā)現(xiàn)了3類六邊形和15類五邊形全等鋪砌體。最后一種五邊形鋪砌體是在2016年被3位歐美數(shù)學(xué)家借助計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)的。

“毫無進(jìn)展的6年”之后

數(shù)學(xué)家總喜歡給自己出難題。從上世紀(jì)30年代開始，富特文格勒, 哈堯什和羅賓森等杰出數(shù)學(xué)家開始研究多重鋪砌問題，并取得了一系列重要成果。通過自然疊加，單重鋪砌可以產(chǎn)生任意重?cái)?shù)的鋪砌。但是，數(shù)學(xué)家想知道的是，除去費(fèi)德洛夫所發(fā)現(xiàn)的四邊形和六邊形外，還有哪些幾何形狀可以通過平移構(gòu)成二重、三重或多重鋪砌？

這引起了宗傳明的興趣。2006年，他在劍橋大學(xué)出版社出版了一本專著，專門介紹了上述三人的成果，并開始組織研究生每周一次定期學(xué)習(xí)研討他們的相關(guān)工作，試圖在分類問題上取得突破。

然而，6年過去了，他們?cè)谶@個(gè)問題上毫無進(jìn)展。

2012年，三位歐美學(xué)者發(fā)現(xiàn)了一個(gè)可以構(gòu)成七重晶格鋪砌的八邊形。這一結(jié)果再次激起了宗傳明團(tuán)隊(duì)的研究熱情。“我們重新設(shè)計(jì)了研究方案。一方面，我的研究生利用計(jì)算機(jī)尋找更好的多重鋪砌實(shí)例；另一方面，我利用多年來在堆積理論所積累的成果與思想方法，集中研究較低重?cái)?shù)的晶格鋪砌。”

歷經(jīng)多年的辛勤耕耘，特別是多次的失敗后，2017年前后，宗傳明和他的學(xué)生終于迎來了意想不到的收獲。首先，他們證明，除去費(fèi)德洛夫所發(fā)現(xiàn)的兩種多邊形外，任何其它形狀的凸形磚都不可能構(gòu)成二重，三重或四重的晶格鋪砌；進(jìn)而，他們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)能構(gòu)成五重晶格鋪砌的十邊形；而通過逐步實(shí)現(xiàn)預(yù)先設(shè)計(jì)的研究方案，宗傳明獨(dú)立證明，有且僅有五種凸形磚可以構(gòu)成平面的五重晶格鋪砌，它們是平行四邊形、中心對(duì)稱的六邊形、兩類特殊的八邊形和一類非常特殊的十邊形。

“我們將這些結(jié)果先后發(fā)布在科學(xué)預(yù)印本網(wǎng)站arXiv上。在接下來的幾天里，我收到了多位歐美同行的祝賀。”宗傳明坦言，國(guó)外同行的高度關(guān)注，既讓他們感受到收獲的喜悅，也感受到巨大的競(jìng)爭(zhēng)壓力。

他決定再努力一把，把這個(gè)故事講完。

“像做藝術(shù)品一樣做數(shù)學(xué)研究”

非歐幾何得到證實(shí)，羅巴切夫斯基死后被正名

到了1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》

“多重晶格鋪砌是多重平移鋪砌最重要的一類，也是最特殊的一類，但是一個(gè)完美的理論應(yīng)該包括所有多重平移鋪砌。”在認(rèn)真分析了解決一般平移多重鋪砌問題所面臨的關(guān)鍵困難之后，宗傳明意識(shí)到，要徹底解決這樣一個(gè)歷史悠久的基本問題，沒有出奇制勝的新思想是不可能的。

經(jīng)過反復(fù)推敲，他設(shè)計(jì)了一套系統(tǒng)的研究方案，在每個(gè)鋪砌頂點(diǎn)引入了一個(gè)組合計(jì)數(shù)公式。接下來，他組織課題組分塊實(shí)施這一方案。

這期間，宗傳明婉拒了所有的會(huì)議，評(píng)審，報(bào)告等活動(dòng)，集中精力實(shí)現(xiàn)他的研究計(jì)劃。

2018年，宗傳明和他的博士研究生楊琪終于實(shí)現(xiàn)了他的證明方案。他們發(fā)現(xiàn)并證明，除去費(fèi)德洛夫所發(fā)現(xiàn)的兩種多邊形外，任何形狀的凸形磚都不可能構(gòu)成二重，三重或四重的平移鋪砌；五重平移鋪砌一定是五重晶格鋪砌，也只有平行四邊形，中心對(duì)稱的六邊形，兩類特殊的八邊形和一類非常特殊的十邊形能夠?qū)崿F(xiàn)。而后，宗傳明又完整刻畫了能構(gòu)成六重格鋪砌的所有鋪磚，它們是平行四邊形，中心對(duì)稱的六邊形，一類特殊的八邊形和兩類非常特殊的十邊形。

2020年五月，這一系列成果在《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通報(bào)》上刊登。這是近5年來該雜志發(fā)表的唯一一篇國(guó)內(nèi)學(xué)者的“重點(diǎn)論文”。論文發(fā)表以來受到了柏林大學(xué)校長(zhǎng)齊格勒，美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)前副主席摩根等十多位著名歐美學(xué)者的祝賀和稱贊。前不久，中國(guó)科學(xué)院院士、中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)田剛在他的《數(shù)學(xué)內(nèi)外》講座中也專門提到了這項(xiàng)工作。

“數(shù)學(xué)研究有時(shí)就像是創(chuàng)作藝術(shù)品，我們總是希望能夠完成一件永恒的作品，就像達(dá)·芬奇和米開朗基羅的杰作那樣。我們這項(xiàng)成果遠(yuǎn)達(dá)不到屹立于世界數(shù)學(xué)之林的高度，但它是一項(xiàng)完整的基本成果，是宏偉的數(shù)學(xué)殿堂中一塊小小的鋪地磚。”

正如宗傳明所說的那樣，有些東西是永恒的。在優(yōu)美的數(shù)學(xué)成果背后，那些數(shù)學(xué)家立志、奮斗、失敗、癡迷、頓悟的故事，相信也同樣會(huì)為后人所傳頌。

編輯?∑Gemini

來源：中國(guó)科學(xué)報(bào)

DOI: https://doi.org/10.1090/noti2075

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總結(jié)

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