線性代數(shù)學(xué)的中國(guó)根源

Joseph F. Grcar

Roger Hart, The Chinese Roots of Linear Algebra, Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, 2011, xi+286 pp., ISBN 978-0-8018-0765-9.

在數(shù)學(xué)史上一個(gè)重現(xiàn)的主題是成果的文化背景。無(wú)論相信與否，社會(huì)背景是有爭(zhēng)議的。一方面，背景一定是重要的，因?yàn)閿?shù)學(xué)基于人類(lèi)的經(jīng)驗(yàn)；另一方面，社會(huì)無(wú)法左右數(shù)學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)是純粹的思想，后一個(gè)觀點(diǎn)經(jīng)專(zhuān)家通過(guò)他們的著作了解過(guò)去而得到加強(qiáng)，把著名想法的“遺產(chǎn)”歸因于過(guò)去，但用最新的術(shù)語(yǔ)表達(dá)，使這些想法顯得是一成不變的。Roger Hart的《線性代數(shù)學(xué)的中國(guó)根源（The Chinese Roots of Linear Algebra）》將引起生動(dòng)的討論。因?yàn)樵S多關(guān)于數(shù)學(xué)遺產(chǎn)的書(shū)籍幾乎沒(méi)有提到中國(guó)。

在古代中國(guó)進(jìn)行的幾種計(jì)算，在整個(gè)19世紀(jì)的東亞被繼續(xù)使用。這些計(jì)算在歷史研究中有描述，偶爾在數(shù)學(xué)教科書(shū)中會(huì)提到它們。一些古代的計(jì)算與今天的那些計(jì)算類(lèi)似，包括美國(guó)在講授微積分之前的代數(shù)學(xué)教科書(shū)中的“Gauss（高斯）消去法”。在不同的文明中的這種相似性產(chǎn)生這樣的問(wèn)題，它們是否分享了一個(gè)不變的數(shù)學(xué)概念，以及這個(gè)概念可能是什么，它在一種文明中的發(fā)展涉及符號(hào)代數(shù)學(xué)，而在另一種文明中則沒(méi)有涉及。

這些古代的計(jì)算用被稱(chēng)為算籌（算盤(pán)是相對(duì)較近的發(fā)明）的工具進(jìn)行，算籌是短棒，它們按（一定次序）排列以表示十進(jìn)制記號(hào)中正整數(shù)和負(fù)整數(shù)的數(shù)字。復(fù)雜的計(jì)算通過(guò)把算籌放在一張記數(shù)“板”或“表”的方格中進(jìn)行。古代的這種表沒(méi)有遺留下來(lái)，但人們可以推測(cè)，它們是任何平的表面，也許上面覆蓋著一塊畫(huà)有方格的布。從字面上來(lái)說(shuō)，記數(shù)表是古代用于手算的“數(shù)據(jù)表（spreadsheet）”，在計(jì)算進(jìn)行中數(shù)可以進(jìn)入數(shù)據(jù)表并被改變。

對(duì)于來(lái)自古代中國(guó)的數(shù)學(xué)遺存，最全面的是《九章算術(shù)》，在大約2000年前它由無(wú)名氏匯集而成。如同許多古代的文本那樣，《九章算術(shù)》曾從殘缺不全的抄本重新匯集過(guò)，這些抄本是在被認(rèn)為的原始文本之后很久形成的。一些重構(gòu)（reconstruction）可以在其英、法文的譯本中讀到。該書(shū)9章（《九章算術(shù)》中用的是卷；為了與“九章”的“章”對(duì)應(yīng)，在此譯為“章”——譯注）中的每一章通過(guò)示范性的例子處理一個(gè)不同類(lèi)型的計(jì)算，書(shū)中的大多數(shù)單元是就事論事，沒(méi)有指出其中所用的知識(shí)。（其他文本描述管理和天文用的數(shù)學(xué)）在衍生的著作中，《九章算術(shù)》中的問(wèn)題通過(guò)解釋得到補(bǔ)充。最早的這些“評(píng)注”為劉徽所寫(xiě)，大約在《九章算術(shù)》成書(shū)后200年。

Roger Hart的書(shū)集中于《九章算術(shù)》的第8章，這些內(nèi)容可以用現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的語(yǔ)言解釋為聯(lián)立線性方程組的一些問(wèn)題。Hart的觀點(diǎn)之一就是：第8章是“民間高手”的結(jié)果，這些結(jié)果是被“有志文人”記錄后呈現(xiàn)給宮廷的。在別處對(duì)于更近的時(shí)期也有這樣的看法。如果我們對(duì)古代中國(guó)的學(xué)術(shù)發(fā)展能夠有更多的了解，那將是很有趣的。這在我們的社會(huì)中也有相似之處。今天，在美國(guó)“年輕數(shù)學(xué)家事業(yè)的關(guān)鍵任務(wù)”正在獲得中央政府認(rèn)可。此外，在沒(méi)有電子計(jì)算機(jī)的時(shí)代，計(jì)算是由無(wú)名的計(jì)算員進(jìn)行的，而現(xiàn)在。計(jì)算機(jī)程序員的工作亦處于類(lèi)似的默默無(wú)聞的狀態(tài)。

《九章算術(shù)》中第8章的線性計(jì)算描述如下，為了避免迂回的陳述，注意適用于全文的說(shuō)明：這是用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)解釋古代數(shù)學(xué)。在一個(gè)計(jì)算表中，通過(guò)在豎直的列中放置每個(gè)方程的各個(gè)數(shù)來(lái)表示有 個(gè)未知量的個(gè)線性方程的組：，對(duì)于

列旋轉(zhuǎn)90度給出行（按中國(guó)古代為書(shū)寫(xiě)習(xí)慣，從右數(shù)第列放置第個(gè)方程的各個(gè)數(shù)，再把表逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度—校注），成為現(xiàn)代的表，對(duì)于，

古代的計(jì)算通過(guò)該表 左乘矩陣

得到第二張表 ，它的第一列對(duì)角線 下的元素為0。我將使用統(tǒng)一的記號(hào) 表示第 張表中的元素。經(jīng)過(guò) 次這樣的步驟，帶表的計(jì)數(shù)板呈代數(shù)學(xué)家所說(shuō)的“行階梯”形，而數(shù)值分析學(xué)家稱(chēng)為“上三角的”:

轉(zhuǎn)回到符號(hào)代數(shù)學(xué)，表的這一形式對(duì)應(yīng)于未知量可以逆序計(jì)算的遞推公式:

對(duì)于

“Gauss消去法”是以與古代中國(guó)相同的視覺(jué)方式出現(xiàn)在現(xiàn)代講授微積分之前的代數(shù)學(xué)教科書(shū)中的，這是值得注意的。在歐洲發(fā)現(xiàn)的最早的例子是Joan Borrel在1560年的書(shū)，這已在很晚之后。他通過(guò)相同的約化過(guò)程保持整數(shù)，然后在一個(gè)現(xiàn)在被稱(chēng)為“回代（back substitution）”的過(guò)程中他使用遞歸求未知量，他用這些過(guò)程解3個(gè)未知數(shù)的3個(gè)方程只管計(jì)算看起來(lái)像我們所做的，但“方程”的概念在Borrel寫(xiě)書(shū)時(shí)并沒(méi)有完全形成。對(duì)于4個(gè)未知數(shù)的4個(gè)方程，Borrel以符號(hào)消去開(kāi)始，但他接著轉(zhuǎn)到用語(yǔ)言論證且沒(méi)有完成消去過(guò)程。

由于回代假定符號(hào)代數(shù)學(xué)，Hart提出古代記數(shù)表計(jì)算的結(jié)論被誤解了。他相信，把表弄成對(duì)角形繼續(xù)了相同類(lèi)型的約化過(guò)程，并帶有保持整數(shù)的益處，即使解中有分?jǐn)?shù)，列從右到左可以使對(duì)角線之上為0，余下的數(shù)的大小可以用除法加以調(diào)節(jié)。在一個(gè)例子（常常展示的《九章算術(shù)》第8章的問(wèn)題1）中，第一次后向步驟相當(dāng)于左乘矩陣

這就產(chǎn)生了下一張表 ，它第 3 列的非對(duì)角線的元素都為0。Hart 表明除法保持整數(shù)。在 次這樣的后向步驟之后，這些方程被做成對(duì)角線形式，以 在對(duì)角線上重復(fù):

Hart 關(guān)于延緩使用分?jǐn)?shù)的觀點(diǎn)很引人注目。至于除法的計(jì)算是否如他所假設(shè)的那樣，似乎依賴(lài)于《九章筫術(shù)》中僅有的幾個(gè)完整例子了。

在第 8 章的問(wèn)題中，有幾個(gè)其表具有如下所示的特殊形式，對(duì)于 ，

這里和是指示矩陣（indicated matrix）和列向量。在《九章算術(shù)》中，這些問(wèn)題有3-5個(gè)方程，第9章的例子有更多的方程。如果在約化階段用整數(shù)以直截了當(dāng)?shù)姆绞饺プ?#xff0c;那么，最終行階梯矩陣對(duì)角線上元素的形式是。一個(gè)這樣的問(wèn)題——“水井問(wèn)題”，其中作為未知數(shù)，給出未知數(shù)的數(shù)目多于方程的數(shù)目。這個(gè)例子經(jīng)常被引用，表示《九章算術(shù)》的作者（們）理解不定方程問(wèn)題。Hart則唱反調(diào)：他認(rèn)為第8章只是斷定了。綜觀現(xiàn)存的文獻(xiàn)，顯示其不確定性可能直到17世紀(jì)才被明顯處理。

Hart進(jìn)一步提出，特殊問(wèn)題的“行列式風(fēng)格”的解法通過(guò)Gottfried Wilhelm Leibniz（萊布尼茨）可能影響了歐洲人對(duì)行列式，更廣一些，對(duì)線性代數(shù)學(xué)的工作。這就留待將來(lái)在Leibniz的數(shù)學(xué)作品中尋找中國(guó)的影響，無(wú)論怎樣，Leibniz對(duì)Gauss消去法并無(wú)貢獻(xiàn)，而不用行列式的Gauss消去法出現(xiàn)在一些歐洲數(shù)學(xué)家（如Borrel）的工作中，lsaac Newton（牛頓）為了指導(dǎo)符號(hào)代數(shù)學(xué)，開(kāi)始創(chuàng)造消去方程式的傳統(tǒng)，這在18世紀(jì)末的一部標(biāo)準(zhǔn)的教科書(shū)中達(dá)到高峰，這個(gè)程式即是講授微積分之前的代數(shù)學(xué)教科書(shū)中的“Gauss消去法”。

總之，《線性代數(shù)學(xué)的中國(guó)根源》記錄了《九章算術(shù)》中古代中國(guó)的線性問(wèn)題，并提供了關(guān)于它們解法的新見(jiàn)解。剩下的是要研究《九章算術(shù)》的第8章是否影響了現(xiàn)代線性代數(shù)學(xué)。《九章算術(shù)》是一個(gè)“根源”嗎？或者它們是分割開(kāi)來(lái)地發(fā)展，無(wú)論如何，難道它們不是我們數(shù)學(xué)遺產(chǎn)的一部分嗎？Roger Hart引起爭(zhēng)議的著作值得每一所學(xué)院和大學(xué)收藏。本文作者自己的研究，以及他對(duì)其他學(xué)術(shù)著作的評(píng)估，將是無(wú)數(shù)學(xué)期論文的起點(diǎn)。除此之外，書(shū)名的特定論題使閱讀引人入勝。

附錄

也許應(yīng)當(dāng)提到，用整數(shù)消元可以完成的最好的方法是Chiò方法。對(duì)有行（用第1個(gè)下標(biāo)表示）及相同或更多列（用第2個(gè)下標(biāo)表示）的一個(gè)表約化為行階梯形，可以用相繼的表（用上標(biāo)表示）中元素變化的一個(gè)公式來(lái)表示：

,對(duì)于

這里需要選擇 。(注意 的情形把 0 引進(jìn)列中.) 在 《九章算術(shù)》中 ，Gauss 消去法的常見(jiàn)形式取 ，而 Chiò 取 , 對(duì) 取為 1 . 對(duì) Chiò 的選擇，可以證明: (1) 表中的元素保持整數(shù), (2) 對(duì) 作為初始表中元素的多項(xiàng)式的次數(shù)是 ，這是對(duì)任何計(jì)算所能期望的最小的值，以及 (3) 對(duì)初始表，元 素 是階為 的前主子式。

對(duì)于行列式的計(jì)算，許多作者，包括 Charles Dodgson (道奇森) (Lewis Carroll)重 新發(fā)明了 Chiò 的方法. 這個(gè)方法也歸之于 Bareiss，他的新貢獻(xiàn)加速了高階行列式的過(guò)程。Chiò 的方法當(dāng)然適用于整區(qū) (integral domains) 中的消元，在交換代數(shù)學(xué)和復(fù)雜性理論中可見(jiàn)到這種方式。

如果允許除外遍歷，則第張表是對(duì)角的，這一約化相對(duì)于Gauss消去法被稱(chēng)為Gauss-Jordan（若爾當(dāng)）消去法。與通過(guò)向后約化為行階梯形相比，為得到對(duì)角形，Jordan消去法需要更多的算術(shù)運(yùn)算。

（趙振江譯 陸柱家校）

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來(lái)源：《數(shù)學(xué)譯林》，編輯：nhyilin

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—THE END—

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總結(jié)

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