线性代数学的中国根源
線性代數(shù)學(xué)的中國(guó)根源
Joseph F. Grcar
Roger Hart, The Chinese Roots of Linear Algebra, Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, 2011, xi+286 pp., ISBN 978-0-8018-0765-9.
在數(shù)學(xué)史上一個(gè)重現(xiàn)的主題是成果的文化背景。無(wú)論相信與否,社會(huì)背景是有爭(zhēng)議的。一方面,背景一定是重要的,因?yàn)閿?shù)學(xué)基于人類(lèi)的經(jīng)驗(yàn);另一方面,社會(huì)無(wú)法左右數(shù)學(xué),因?yàn)閿?shù)學(xué)是純粹的思想,后一個(gè)觀點(diǎn)經(jīng)專(zhuān)家通過(guò)他們的著作了解過(guò)去而得到加強(qiáng),把著名想法的“遺產(chǎn)”歸因于過(guò)去,但用最新的術(shù)語(yǔ)表達(dá),使這些想法顯得是一成不變的。Roger Hart的《線性代數(shù)學(xué)的中國(guó)根源(The Chinese Roots of Linear Algebra)》將引起生動(dòng)的討論。因?yàn)樵S多關(guān)于數(shù)學(xué)遺產(chǎn)的書(shū)籍幾乎沒(méi)有提到中國(guó)。
在古代中國(guó)進(jìn)行的幾種計(jì)算,在整個(gè)19世紀(jì)的東亞被繼續(xù)使用。這些計(jì)算在歷史研究中有描述,偶爾在數(shù)學(xué)教科書(shū)中會(huì)提到它們。一些古代的計(jì)算與今天的那些計(jì)算類(lèi)似,包括美國(guó)在講授微積分之前的代數(shù)學(xué)教科書(shū)中的“Gauss(高斯)消去法”。在不同的文明中的這種相似性產(chǎn)生這樣的問(wèn)題,它們是否分享了一個(gè)不變的數(shù)學(xué)概念,以及這個(gè)概念可能是什么,它在一種文明中的發(fā)展涉及符號(hào)代數(shù)學(xué),而在另一種文明中則沒(méi)有涉及。
這些古代的計(jì)算用被稱(chēng)為算籌(算盤(pán)是相對(duì)較近的發(fā)明)的工具進(jìn)行,算籌是短棒,它們按(一定次序)排列以表示十進(jìn)制記號(hào)中正整數(shù)和負(fù)整數(shù)的數(shù)字。復(fù)雜的計(jì)算通過(guò)把算籌放在一張記數(shù)“板”或“表”的方格中進(jìn)行。古代的這種表沒(méi)有遺留下來(lái),但人們可以推測(cè),它們是任何平的表面,也許上面覆蓋著一塊畫(huà)有方格的布。從字面上來(lái)說(shuō),記數(shù)表是古代用于手算的“數(shù)據(jù)表(spreadsheet)”,在計(jì)算進(jìn)行中數(shù)可以進(jìn)入數(shù)據(jù)表并被改變。
對(duì)于來(lái)自古代中國(guó)的數(shù)學(xué)遺存,最全面的是《九章算術(shù)》,在大約2000年前它由無(wú)名氏匯集而成。如同許多古代的文本那樣,《九章算術(shù)》曾從殘缺不全的抄本重新匯集過(guò),這些抄本是在被認(rèn)為的原始文本之后很久形成的。一些重構(gòu)(reconstruction)可以在其英、法文的譯本中讀到。該書(shū)9章(《九章算術(shù)》中用的是卷;為了與“九章”的“章”對(duì)應(yīng),在此譯為“章”——譯注)中的每一章通過(guò)示范性的例子處理一個(gè)不同類(lèi)型的計(jì)算,書(shū)中的大多數(shù)單元是就事論事,沒(méi)有指出其中所用的知識(shí)。(其他文本描述管理和天文用的數(shù)學(xué))在衍生的著作中,《九章算術(shù)》中的問(wèn)題通過(guò)解釋得到補(bǔ)充。最早的這些“評(píng)注”為劉徽所寫(xiě),大約在《九章算術(shù)》成書(shū)后200年。
Roger Hart的書(shū)集中于《九章算術(shù)》的第8章,這些內(nèi)容可以用現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的語(yǔ)言解釋為聯(lián)立線性方程組的一些問(wèn)題。Hart的觀點(diǎn)之一就是:第8章是“民間高手”的結(jié)果,這些結(jié)果是被“有志文人”記錄后呈現(xiàn)給宮廷的。在別處對(duì)于更近的時(shí)期也有這樣的看法。如果我們對(duì)古代中國(guó)的學(xué)術(shù)發(fā)展能夠有更多的了解,那將是很有趣的。這在我們的社會(huì)中也有相似之處。今天,在美國(guó)“年輕數(shù)學(xué)家事業(yè)的關(guān)鍵任務(wù)”正在獲得中央政府認(rèn)可。此外,在沒(méi)有電子計(jì)算機(jī)的時(shí)代,計(jì)算是由無(wú)名的計(jì)算員進(jìn)行的,而現(xiàn)在。計(jì)算機(jī)程序員的工作亦處于類(lèi)似的默默無(wú)聞的狀態(tài)。
《九章算術(shù)》中第8章的線性計(jì)算描述如下,為了避免迂回的陳述,注意適用于全文的說(shuō)明:這是用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)解釋古代數(shù)學(xué)。在一個(gè)計(jì)算表中,通過(guò)在豎直的列中放置每個(gè)方程的各個(gè)數(shù)來(lái)表示有 個(gè)未知量的個(gè)線性方程的組:,對(duì)于
列旋轉(zhuǎn)90度給出行(按中國(guó)古代為書(shū)寫(xiě)習(xí)慣,從右數(shù)第列放置第個(gè)方程的各個(gè)數(shù),再把表逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度—校注),成為現(xiàn)代的表,對(duì)于,
古代的計(jì)算通過(guò)該表 左乘矩陣
得到第二張表 ,它的第一列對(duì)角線 下的元素為0。我將使用統(tǒng)一的記號(hào) 表示第 張表中的元素。經(jīng)過(guò) 次這樣的步驟,帶表的計(jì)數(shù)板呈代數(shù)學(xué)家所說(shuō)的“行階梯”形,而數(shù)值分析學(xué)家稱(chēng)為“上三角的”:
轉(zhuǎn)回到符號(hào)代數(shù)學(xué),表的這一形式對(duì)應(yīng)于未知量可以逆序計(jì)算的遞推公式:
對(duì)于
“Gauss消去法”是以與古代中國(guó)相同的視覺(jué)方式出現(xiàn)在現(xiàn)代講授微積分之前的代數(shù)學(xué)教科書(shū)中的,這是值得注意的。在歐洲發(fā)現(xiàn)的最早的例子是Joan Borrel在1560年的書(shū),這已在很晚之后。他通過(guò)相同的約化過(guò)程保持整數(shù),然后在一個(gè)現(xiàn)在被稱(chēng)為“回代(back substitution)”的過(guò)程中他使用遞歸求未知量,他用這些過(guò)程解3個(gè)未知數(shù)的3個(gè)方程只管計(jì)算看起來(lái)像我們所做的,但“方程”的概念在Borrel寫(xiě)書(shū)時(shí)并沒(méi)有完全形成。對(duì)于4個(gè)未知數(shù)的4個(gè)方程,Borrel以符號(hào)消去開(kāi)始,但他接著轉(zhuǎn)到用語(yǔ)言論證且沒(méi)有完成消去過(guò)程。
由于回代假定符號(hào)代數(shù)學(xué),Hart提出古代記數(shù)表計(jì)算的結(jié)論被誤解了。他相信,把表弄成對(duì)角形繼續(xù)了相同類(lèi)型的約化過(guò)程,并帶有保持整數(shù)的益處,即使解中有分?jǐn)?shù),列從右到左可以使對(duì)角線之上為0,余下的數(shù)的大小可以用除法加以調(diào)節(jié)。在一個(gè)例子(常常展示的《九章算術(shù)》第8章的問(wèn)題1)中,第一次后向步驟相當(dāng)于左乘矩陣
這就產(chǎn)生了下一張表 ,它第 3 列的非對(duì)角線的元素都為0。Hart 表明除法保持整數(shù)。在 次這樣的后向步驟之后,這些方程被做成對(duì)角線形式,以 在對(duì)角線上重復(fù):
Hart 關(guān)于延緩使用分?jǐn)?shù)的觀點(diǎn)很引人注目。至于除法的計(jì)算是否如他所假設(shè)的那樣,似乎依賴(lài)于《九章筫術(shù)》中僅有的幾個(gè)完整例子了。
在第 8 章的問(wèn)題中,有幾個(gè)其表具有如下所示的特殊形式,對(duì)于 ,
這里和是指示矩陣(indicated matrix)和列向量。在《九章算術(shù)》中,這些問(wèn)題有3-5個(gè)方程,第9章的例子有更多的方程。如果在約化階段用整數(shù)以直截了當(dāng)?shù)姆绞饺プ?#xff0c;那么,最終行階梯矩陣對(duì)角線上元素的形式是。一個(gè)這樣的問(wèn)題——“水井問(wèn)題”,其中作為未知數(shù),給出未知數(shù)的數(shù)目多于方程的數(shù)目。這個(gè)例子經(jīng)常被引用,表示《九章算術(shù)》的作者(們)理解不定方程問(wèn)題。Hart則唱反調(diào):他認(rèn)為第8章只是斷定了。綜觀現(xiàn)存的文獻(xiàn),顯示其不確定性可能直到17世紀(jì)才被明顯處理。
Hart進(jìn)一步提出,特殊問(wèn)題的“行列式風(fēng)格”的解法通過(guò)Gottfried Wilhelm Leibniz(萊布尼茨)可能影響了歐洲人對(duì)行列式,更廣一些,對(duì)線性代數(shù)學(xué)的工作。這就留待將來(lái)在Leibniz的數(shù)學(xué)作品中尋找中國(guó)的影響,無(wú)論怎樣,Leibniz對(duì)Gauss消去法并無(wú)貢獻(xiàn),而不用行列式的Gauss消去法出現(xiàn)在一些歐洲數(shù)學(xué)家(如Borrel)的工作中,lsaac Newton(牛頓)為了指導(dǎo)符號(hào)代數(shù)學(xué),開(kāi)始創(chuàng)造消去方程式的傳統(tǒng),這在18世紀(jì)末的一部標(biāo)準(zhǔn)的教科書(shū)中達(dá)到高峰,這個(gè)程式即是講授微積分之前的代數(shù)學(xué)教科書(shū)中的“Gauss消去法”。
總之,《線性代數(shù)學(xué)的中國(guó)根源》記錄了《九章算術(shù)》中古代中國(guó)的線性問(wèn)題,并提供了關(guān)于它們解法的新見(jiàn)解。剩下的是要研究《九章算術(shù)》的第8章是否影響了現(xiàn)代線性代數(shù)學(xué)。《九章算術(shù)》是一個(gè)“根源”嗎?或者它們是分割開(kāi)來(lái)地發(fā)展,無(wú)論如何,難道它們不是我們數(shù)學(xué)遺產(chǎn)的一部分嗎?Roger Hart引起爭(zhēng)議的著作值得每一所學(xué)院和大學(xué)收藏。本文作者自己的研究,以及他對(duì)其他學(xué)術(shù)著作的評(píng)估,將是無(wú)數(shù)學(xué)期論文的起點(diǎn)。除此之外,書(shū)名的特定論題使閱讀引人入勝。
附錄
也許應(yīng)當(dāng)提到,用整數(shù)消元可以完成的最好的方法是Chiò方法。對(duì)有行(用第1個(gè)下標(biāo)表示)及相同或更多列(用第2個(gè)下標(biāo)表示)的一個(gè)表約化為行階梯形,可以用相繼的表(用上標(biāo)表示)中元素變化的一個(gè)公式來(lái)表示:
,對(duì)于
這里需要選擇 。(注意 的情形把 0 引進(jìn)列中.) 在 《九章算術(shù)》中 ,Gauss 消去法的常見(jiàn)形式取 ,而 Chiò 取 , 對(duì) 取為 1 . 對(duì) Chiò 的選擇,可以證明: (1) 表中的元素保持整數(shù), (2) 對(duì) 作為初始表中元素的多項(xiàng)式的次數(shù)是 ,這是對(duì)任何計(jì)算所能期望的最小的值,以及 (3) 對(duì)初始表,元 素 是階為 的前主子式。
對(duì)于行列式的計(jì)算,許多作者,包括 Charles Dodgson (道奇森) (Lewis Carroll)重 新發(fā)明了 Chiò 的方法. 這個(gè)方法也歸之于 Bareiss,他的新貢獻(xiàn)加速了高階行列式的過(guò)程。Chiò 的方法當(dāng)然適用于整區(qū) (integral domains) 中的消元,在交換代數(shù)學(xué)和復(fù)雜性理論中可見(jiàn)到這種方式。
如果允許除外遍歷,則第張表是對(duì)角的,這一約化相對(duì)于Gauss消去法被稱(chēng)為Gauss-Jordan(若爾當(dāng))消去法。與通過(guò)向后約化為行階梯形相比,為得到對(duì)角形,Jordan消去法需要更多的算術(shù)運(yùn)算。
(趙振江譯 陸柱家校)
—版權(quán)聲明—
來(lái)源:《數(shù)學(xué)譯林》,編輯:nhyilin
僅用于學(xué)術(shù)分享,版權(quán)屬于原作者。
若有侵權(quán),請(qǐng)聯(lián)系微信號(hào):Eternalhui或nhyilin刪除或修改!
—THE END—
文章推薦
?走近華為“天才少年”鐘釗:入職兩年兩度突破業(yè)界學(xué)界極限
?這對(duì)夫妻太牛了!雙雙考博成同門(mén)師兄妹,帶娃發(fā)SCI兩不誤
?丘成桐拉來(lái)一位大牛!又一位國(guó)際頂尖數(shù)學(xué)物理學(xué)家加盟清華
?一生只為兩件事,他的名字曾是中國(guó)高級(jí)機(jī)密!
?今年新增院士中,最年輕的是他
?2021年“最美科技工作者”李德仁院士:科學(xué)要為祖國(guó)服務(wù)
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的线性代数学的中国根源的全部?jī)?nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
- 上一篇: 旋转矩阵公式生成器_坐标变换(8)—复特
- 下一篇: 985博导:如果符合这几条,你可能不适合