文章目錄

• 十六、平穩(wěn)序列的決定性
• • 1.非決定性平穩(wěn)序列
  • 2.平穩(wěn)序列的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)
  • 3.決定性平穩(wěn)序列舉例
  • 回顧總結(jié)

十六、平穩(wěn)序列的決定性

1.非決定性平穩(wěn)序列

上一篇文章中，討論了隨機(jī)變量的最佳線性預(yù)測(cè)，而時(shí)間序列是隨機(jī)變量構(gòu)成的序列，我們要考慮的是對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，而預(yù)測(cè)用到的歷史信息，就來(lái)源于時(shí)間序列的歷史觀測(cè)。

由于最佳線性預(yù)測(cè)源自歷史與未來(lái)的相關(guān)性，所以如果想對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，未來(lái)必須與過(guò)去存在一定程度的關(guān)聯(lián)，否則預(yù)測(cè)就沒(méi)有意義。但是，未來(lái)與過(guò)去存在的關(guān)聯(lián)程度可能是不一樣的，看以下幾個(gè)例子：

$\{X_t\}:X_t=X_{t?1}+t$；

$\{Y_t\}:Y_t={\epsilon }_t$；

$\{Z_t\}:Z_t=0.5Z_{t?1}+{\epsilon }_t$。

這三個(gè)例子代表的過(guò)去與未來(lái)的關(guān)聯(lián)程度是各不相同的，對(duì)于$\{X_t\}$，只要知道$X_{t?1}$的值就可以直接推出$X_t$，也就是說(shuō)$X_t=L(X_t|X_{t?1})$，這種情況下不存在預(yù)測(cè)誤差；對(duì)于$\{Y_t\}$，不論知道多少歷史信息$Y_{t?1},Y_{t?2},?$，對(duì)$Y_t$的預(yù)測(cè)都沒(méi)有任何幫助，$L(Y_t|Y_{t?1},?)=0$；而第三種情況稍微復(fù)雜一些，任意歷史信息對(duì)未來(lái)都會(huì)造成一定程度的影響（0.5是影響消退因子），但即便知道所有歷史信息，也不可能對(duì)未來(lái)作出精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，因?yàn)榇嬖谄铐?xiàng)${\epsilon }_t$。

鑒于這種區(qū)別，我們將平穩(wěn)序列分為兩種，一種是由歷史信息可以對(duì)未來(lái)作出精準(zhǔn)預(yù)測(cè)的，稱為決定性平穩(wěn)序列；另一種是由歷史信息不可能完全預(yù)測(cè)未來(lái)的，稱之為非決定性平穩(wěn)序列。

這種定義未免有點(diǎn)粗糙，以下假設(shè)平穩(wěn)序列是零均值的。我們現(xiàn)在假設(shè)我們能夠獲得所有$t$時(shí)刻前的歷史信息$X_t,X_{t?1},?$，記
$${\mathbf{X}}_{t,m}=(X_t,X_{t?1},?,X_{t?m+1}{)}_m,$$
這樣當(dāng)$m\to \infty$時(shí)就代表所有歷史信息。精準(zhǔn)預(yù)測(cè)意味著預(yù)測(cè)不存在誤差，也就是方差為0，如果$X_t$是決定性平穩(wěn)序列，那么就有
$$\underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{t+1}?L(X_{t+1}|{\mathbf{X}}_{t,m}){]}^2=0.$$
事實(shí)上，即使不是決定性平穩(wěn)序列，這個(gè)極限也是存在的，因?yàn)殡S著$m$的增大，這個(gè)均方誤差會(huì)回來(lái)越小（因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$m$越大蘊(yùn)含的信息越多，由最佳線性預(yù)測(cè)的性質(zhì)可以得到），也就是單調(diào)遞減有下界0。正因此，我們將這個(gè)極限定義為一步預(yù)測(cè)的均方誤差，這里的下標(biāo)就是預(yù)測(cè)步數(shù)：
$${\sigma }_1^2=\underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{t+1}?L(X_{t+1}|{\mathbf{X}}_{t,m}){]}^2.$$

一步預(yù)測(cè)的均方誤差：定義
$${\sigma }_{1,m}^2=\mathrm{E}[X_{t+1}?L(X_{t+1}|{\mathbf{X}}_{t,m}){]}^2,$$
這表示用$m$個(gè)歷史信息對(duì)下一個(gè)時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)的均方誤差。定義
$${\sigma }_1^2=\underset{m\to \infty }{\lim }{\sigma }_{1,m}^2,$$
這表示用全部歷史信息對(duì)下一個(gè)時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)的均方誤差，即一步預(yù)測(cè)的均方誤差。

平穩(wěn)序列的決定性：

如果${\sigma }_1^2=0$，就稱$\{X_t\}$是決定性平穩(wěn)序列；

如果${\sigma }_1^2>0$，就稱$\{X_t\}$是非決定性平穩(wěn)序列，${\sigma }_1^2$是一步預(yù)測(cè)的均方誤差。

這就是決定性平穩(wěn)序列的嚴(yán)格定義。注意到以上的符號(hào)表示${\sigma }_1^2,{\sigma }_{1,m}^2$都不含$t$，盡管在定義時(shí)使用了$t$，這也說(shuō)明${\sigma }_1^2,{\sigma }_{1,m}^2$的取值是與$t$無(wú)關(guān)的，這一點(diǎn)源自序列的平穩(wěn)性。

2.平穩(wěn)序列的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)

剛才我們定義了一步預(yù)測(cè)的均方誤差${\sigma }_1^2$，現(xiàn)在轉(zhuǎn)向$k$步預(yù)測(cè)，也就是$L(X_{t+k}|{\mathbf{X}}_{t,m})$，相應(yīng)地也可以定義$k$步預(yù)測(cè)的均方誤差${\sigma }_k^2$。

$k$步預(yù)測(cè)的均方誤差：定義
$${\sigma }_k^2=\underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{t+k}?L(X_{t+k}|{\mathbf{X}}_{t,m})]$$
為$k$步預(yù)測(cè)的均方誤差。

這樣，可以構(gòu)建一個(gè)新序列$\{{\sigma }_1^2,{\sigma }_1^2,?,{\sigma }_k^2,?\}$，可以驗(yàn)證${\sigma }_k^2$是關(guān)于$k$單調(diào)不減少的。直觀上想象，隨著預(yù)測(cè)距離的增大，我們能對(duì)遙遠(yuǎn)未來(lái)的把控就越小，所以預(yù)測(cè)的誤差肯定會(huì)越來(lái)越大，實(shí)際上也有
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_k^2=& \underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{t+k}?L(X_{t+k}|X_t,?,X_{t?m}){]}^2\\ =& \underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{t+k?1}?L(X_{t+k?1}|X_{t?1},?,X_{t?1?m}){]}^2\\ \ge & \underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{t+k?1}?L(X_{t+k?1}|X_t,?,X_{t?1?m}){]}^2\\ =& {\sigma }_{k?1}^2.\end{array}$$
但是${\sigma }_k^2$也不可能無(wú)限增大，因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">${\sigma }_{k,m}^2=\mathrm{E}[X_{t+k}?L(X_{t+k}|{\mathbf{X}}_{t,m}){]}^2\le \mathrm{E}{X}_{t+k}^2={\gamma }_0$，因此$\{{\sigma }_k^2\}$單調(diào)不減有上界，故極限存在，且極限的上界為${\gamma }_0$。

當(dāng)然，$k\to \infty$時(shí)如果${\sigma }_k^2={\gamma }_0$，這個(gè)預(yù)測(cè)跟不存在也沒(méi)有區(qū)別了，所以定義純非決定性平穩(wěn)序列。

純非決定性平穩(wěn)序列：如果對(duì)于平穩(wěn)序列，有
$$\underset{k\to \infty }{\lim }{\sigma }_k^2={\gamma }_0,$$
就稱$\{X_t\}$是純非決定性的。

剛才我們推知，如果${\sigma }_k^2\to {\gamma }_0$，這個(gè)預(yù)測(cè)與不存在無(wú)異，其實(shí)也可以證明：
$$\underset{k\to \infty }{\lim }\underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[L(X_{t+k}|X_t,X_{t?1},?,X_{t?m}){]}^2=0,$$
也就是$L(X_{t+k}|X_t,?,X_{t?m})$隨著$k$的增大均方收斂到0，這說(shuō)明對(duì)于非決定性平穩(wěn)序列，無(wú)法做長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。

3.決定性平穩(wěn)序列舉例

最簡(jiǎn)單的決定性平穩(wěn)序列，是$\{X_t\}:X_t=\xi$，這樣，從變量的一個(gè)觀測(cè)值就可以得到全部時(shí)間序列。這里，$\{X_t\}$的二階協(xié)方差矩陣為
$${\Gamma }_2=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }^2& {\sigma }^2\\ {\sigma }^2& {\sigma }^2\end{array}\right],|{\Gamma }_2|=0.$$
也就是說(shuō)，$\{X_t\}$的二階協(xié)方差矩陣不滿秩，正因此，只需要一個(gè)歷史信息就可以對(duì)未來(lái)作出精準(zhǔn)預(yù)測(cè)。能否對(duì)這個(gè)結(jié)論進(jìn)行推廣呢？事實(shí)上，如果平穩(wěn)序列$\{X_t\}$的$n+1$階自協(xié)方差矩陣退化，那么這個(gè)平穩(wěn)序列一定是決定性的，且可以由其前$n$個(gè)歷史信息完全預(yù)測(cè)。

這是因?yàn)?#xff0c;$n+1$階自協(xié)方差矩陣退化，意味著$X_1,?,X_{n+1}$必定線性相關(guān)；如果再加上${\Gamma }_n$滿秩的條件，就一定有$X_{n+1}$可以被$X_1,?,X_n$線性表示，這樣就有
$$\begin{gathered} L(X_{n+1}|X_1,?,X_n)=X_{n+1}, \\ \mathrm{E}[X_{n+1}?L(X_{n+1}|X_1,?,X_n){]}^2=0. \end{gathered}$$
由此推出離散譜序列也是決定性平穩(wěn)序列。設(shè)$\mathrm{E}({\xi }_j)=\mathrm{E}({\eta }_k)=0,\mathrm{E}({\xi }_j{\eta }_k)=0$，且$\mathrm{E}({\xi }_j^2)=\mathrm{E}({\eta }_k^2)={\sigma }_j^2$，對(duì)每一個(gè)確定的$j$定義簡(jiǎn)單譜序列
$$Z_j(t)={\xi }_j\cos (t{\lambda }_j)+{\eta }_j\sin (t{\lambda }_j),t\in \mathbb{Z}.$$
顯然$Z_j(t)$的每一次實(shí)現(xiàn)是一個(gè)周期函數(shù)，其周期$T=2\pi /{\lambda }_j$和振幅可以由歷史信息決定，實(shí)際上它的3階自協(xié)方差矩陣退化，所以$Z_j(t)$是決定性的。定義離散譜序列
$$Z_t=\sum _{j=1}^p{Z}_j(t),t\in {\mathbb{N}}^{+},$$
這時(shí)$Z_t$的自協(xié)方差矩陣也是$2p+1$階內(nèi)退化的（所以是決定性的），用到如下引理：

(1)簡(jiǎn)單離散譜序列：設(shè)$\mathrm{E}(\xi )=\mathrm{E}(\eta )=\mathrm{E}(\xi \eta )=0,\mathrm{E}({\xi }^2)=\mathrm{E}({\eta }^2)={\sigma }^2,{\lambda }_0\in (0,\pi ]$，$\{Z_t\}$的定義為
$$Z_t=\xi \cos (t{\lambda }_0)+\eta \sin (t{\lambda }_0),t\in \mathbb{N},$$
定義$A=\sqrt{{\xi }^2+{\eta }^2},\cos \theta =\xi /A,\sin \theta =\eta /A$，則
$$Z_t=A\cos (t{\lambda }_0?\theta ),t\in {\mathbb{N}}^{+}.$$
這樣$\mathrm{E}{Z}_t=0$，${\gamma }_k={\sigma }^2\cos (k{\lambda }_0)$，故$Z_t$是一個(gè)平穩(wěn)序列，稱為調(diào)和平穩(wěn)序列。并且，這個(gè)平穩(wěn)序列的譜函數(shù)是階梯函數(shù)，稱之為離散譜序列。

(2)多個(gè)頻率成分的離散譜序列：設(shè)${\xi }_j,{\eta }_k(j,k=1,2,?,p)$兩兩正交，滿足上面的條件，對(duì)于正整數(shù)$p$和${\lambda }_j\in (0,\pi ]$，定義時(shí)間序列
$$Z_t=\sum _{i=1}^p[{\xi }_j\cos (t{\lambda }_j)+{\eta }_j\sin (t{\lambda }_j)]=\sum _{j=1}^p{A}_j\cos (t{\lambda }_j?{\theta }_j),t\in {\mathbb{N}}^{+},$$
這里$A_j=\sqrt{{\xi }_j^2+{\eta }_j^2},\cos ({\theta }_j)={\xi }_j/A_j,\sin ({\theta }_j)={\eta }_j/A_j$，它的譜函數(shù)也是階梯函數(shù)。

(3)${\Gamma }_n$退化定理：設(shè)離散譜序列$\{X_t\}$如(2)中定義，如果它的譜函數(shù)$F(\lambda )$恰有$n$個(gè)跳躍點(diǎn)，則${\Gamma }_n$正定，${\Gamma }_{n+1}$退化；如果$F(\lambda )$有無(wú)窮多個(gè)跳躍點(diǎn)，則$?n\ge 1$，${\Gamma }_n$正定。

由此，如果${\Gamma }_n$退化，就認(rèn)為$\{X_n\}$是離散譜序列，具有周期性。

回顧總結(jié)

非決定性平穩(wěn)序列指的是將來(lái)信息不能由全部歷史信息所確定的平穩(wěn)序列，更具體的定義是
$${\sigma }_1^2=\underset{m\to \infty }{\lim }{\sigma }_{1,m}^2=\underset{m\to \infty }{\lim }\mathrm{E}[X_{n+1}?L(X_{n+1}|{\mathbf{X}}_{n,m}){]}^2=0.$$
否則，稱為決定性平穩(wěn)序列。

$\{{\sigma }_k^2\}$是單調(diào)不減有上界的數(shù)列，其上界是${\gamma }_0$，如果${\sigma }_k^2\to {\gamma }_0(k\to \infty )$，則稱平穩(wěn)序列是純非決定性平穩(wěn)序列。對(duì)于這種平穩(wěn)序列，進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)是不合適的。

如果平穩(wěn)序列的$n+1$階自協(xié)方差矩陣${\Gamma }_{n+1}$退化，則矩陣必是$n$步?jīng)Q定的。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【时间序列分析】16.平稳序列的决定性的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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