http://www.icourses.cn 南開大學《抽象代數(shù)》

$\text{§4.6?可解群和冪零群}$

$考慮擴張N\to G\to G/N,什么時候G/N是循環(huán)群，更一般的是交換群。$

$若H,K都是G的子群，我們稱$
$[H,K]=?\{[h,k]|h\in H,k\in K\}?$
$為H,K的換位子群.$
$注記4.6.2.1)換位子群的定義中的“生成”是否可以去掉？或者[g_1,h_1][g_2,h_2]是$
$否為換位子？$
$2)[g,h{]}^{?1}=[g,h].$

$4)若\alpha \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}G,則\alpha [g,h]=[\alpha (g),\alpha (h)].$
$5)N?G,G/N是Abel群當且僅當N?G^{(1)}.$

$Ore(1952)證明了A_n情形。$
$例4.6.4.?I_2\in SL(2,\mathbb{R})不是換位子。$
$引理4.6.5.設(shè)H,K是G的子群。則$
$1)[H,K]=\{1\}當且僅當H?C_G(K)當且僅當K?C_G(H).$
$2)[H,K]?K當且僅當H?N_G(K).$
$3)H?G,K?G,則[H,K]?G且[H,K]?H\cap K.特別地[H,H]?G,[G,G]?G.$
$4)H_1<H,K_1<K,則[H_1,K_1]?[H,K].$
$例4.6.6.G=S_n,G^{(1)}.$
$定義4.6.7.導(dǎo)出列:G^{(0)}=G,G^{(k+1)}=[G^{(k)},G^{(k)}],k\ge 0.$
$降中心列:G^1=G,G^{k+1}=[G,G^k],k\ge 1,(為什么叫降中心列?)$
$升中心列:C_0(G)=\{1\},C_{k+1}(G)={\pi }_k^{?1}(C(G/C_k(G))),k\ge 0.這里{\pi }_k:G\to G/C_k(G).$
$例4.6.8.G=S_3,A_3$
$G=S_4?A_4?K_4??(12)(34)??\{1\}.$
$G=S_n,n\ge 5,$
$p?群$
$定義4.6.9.群G中的子群序列$
$G=G_1?G_2???G_t?G_{t+1}=\{1\}$

$若在上述序列中G_i?G,則稱此序列為正規(guī)序列。$
$定義4.6.10.可解群:存在k,使得G^{(k)}=\{1\}.$
$冪零群:存在k,使得G^k=\{1\}.$
$???:群在k,使得C_k(G)=G.(p?群).$
$注記4.6.11.$
1)Abel群冪零。
2)冪零群可解，冪零群的中心不是平凡的。
3)可解群和Abel群的來歷。
4)Burnside猜想:1902,奇數(shù)階群都是可解的。
Feit-Thompson定理。Feit-Thompson猜想。
5)M.Aschbacher and S. Smith,The classification of quasithin groups I,II pp1221.




$定理4.6.15.設(shè)G是群，則下列條件等價:$
$1)G是可解群；$
$2)存在G的正規(guī)序列G=G_1?G_2???G_{t+1}=\{1\}使得G_i/G_{i+1}為Abel群;$
$3)存在G的次正規(guī)序列G=G_1^{\prime }?G_2^{\prime }???G_{s+1}^{\prime }=\{1\}使得G_i/G_{i+1}為Abel群;$

證：3)$?$ 4)考慮長度最長的滿足3)的次正規(guī)序列?；蛘邚腉的極大真正規(guī)子群開始。



$注記4.6.17.次正規(guī)序列對冪零群不適用。$
$定理4.6.18.是G是群，則下列條件等價:$
$1)G是冪零群;$
$2)存在G的正規(guī)序列G=G_1?G_2???G_{t+1}=\{1\}使得[G,G_i]?G_{i+1};$
$3)存在G的正規(guī)序列G=G_1?G_2???G_{t+1}=\{1\}使得G_i/G_{i+1}?C(G/G_{i+1});$
$4)存在k,使得C_k(G)=G.$
$證:3)?4)$
$4)?1)G/C_{k?1}是Abel群$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数 04.06可解群和幂零群的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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