抽象代數(shù)學(xué)習(xí)筆記二《群：群的例子》

學(xué)習(xí)筆記參考：《近世代數(shù)初步》第2版 高等教育出版社——石生明編著
注：本篇筆記根據(jù)博主個(gè)人數(shù)學(xué)的掌握情況整理

課后習(xí)題
1、平面取定坐標(biāo)系 $Oxy$ ，則平面仿射（點(diǎn)）變換 $\phi :(x,y{)}^T?(x^{\prime },y^{\prime }{)}^T$ （這里 $T$ 表示矩陣的轉(zhuǎn)置，$(x,y{)}^T$ 是一列的矩陣，即列向量）可寫為：$$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=a_{11}x+a_{12}y+b_1\\ y^{\prime }=a_{21}x+a_{22}y+b_2\end{array}$$ 其中行列式：$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=0$$ 證明平面上全體仿射變換對(duì)于變換的乘法成一個(gè)群，稱為平面的仿射變換群。
2、平面上取定直角坐標(biāo)系 $Oxy$ ，任意平面正交（點(diǎn)）變換 $\phi :(x,y{)}^T?(x^{\prime },y^{\prime }{)}^T$ 可寫為：$$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=a_{11}x+a_{12}y+b_1\\ y^{\prime }=a_{21}x+a_{22}y+b_2\end{array}$$ 其中矩陣：$$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$$ 是正交矩陣。用這種表示式證明平面上全體正交變換對(duì)于變換的乘法成為一個(gè)群，它是平面的正交變換群。
3、設(shè) $G$ 是一個(gè)幺半群。若 $G$ 的每個(gè)元 $a$ 有右逆元，即有 $b\in G$ ，使 $ab=e$ ，則 $G$ 是一個(gè)群。
4、設(shè) $G$ 是一個(gè)群。若 $?$ $a,b\in G$ 皆有 $(ab{)}^2=a^2{b}^2$ ，則 $G$ 是交換群。
5、設(shè) $G$ 是非空的有限集合，$G$ 上的乘法滿足：$?$ $a,b,c\in G$ 有：
（1）$(ab)c=a(bc)$
（2）$ab=ac?b=c$
（3）$ac=bc?a=b$
則 $G$ 是群。
6、證明任一個(gè)群 $G$ 不能是兩個(gè)不等于 $G$ 的子群的并集。
7、令：$$\rho =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 6& 5& 4& 3& 2& 1\end{array}\right)$$ $$\sigma =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 3& 1& 5& 6& 4\end{array}\right)$$ $$\tau =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 6& 2& 1& 3& 5& 4\end{array}\right)$$ 計(jì)算 $\rho \sigma$，$\sigma \tau$，$\tau \rho$，${\sigma }^{?1}$，$\sigma \rho {\sigma }^{?1}$。
8、設(shè)：$$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ?& n\\ \sigma (1)& \sigma (2)& ?& \sigma (n)\end{array}\right)$$ $$\tau =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ?& n\\ \tau (1)& \tau (2)& ?& \tau (n)\end{array}\right)$$ 問：$$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}\tau (1)& \tau (2)& ?& \tau (n)\\ ?& ?& ?& ?\end{array}\right)$$ $${\tau }^{?1}=\left(\begin{array}{cccc}?& ?& ?& ?\\ i_1& i_2& ?& i_n\end{array}\right)$$ $$\tau \sigma {\tau }^{?1}=\left(\begin{array}{cccc}\sigma (1)& \sigma (2)& ?& \sigma (n)\\ ?& ?& ?& ?\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ?& n\\ \sigma (1)& \sigma (2)& ?& \sigma (n)\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}?& ?& ?& ?\\ 1& 2& ?& n\end{array}\right)=?$$ 9、確定置換$$\sigma =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& ?& n?1& n\\ n& n?1& ?& 2& 1\end{array}\right)$$ 的奇偶性。
10、把 $(147)(7810)(3109)(942)(356)$ 分解成不相交的輪換的乘積。

參考答案如下：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数学习笔记二《群：群的例子》的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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