指標(biāo)賦權(quán)與綜合評價方法

• 一、主觀賦權(quán)
• • 1、AHP層次分析法
• 二、客觀賦權(quán)
• • 1、主成分分析
  • 2、熵權(quán)法
• 三、組合賦權(quán)法
• 四、綜合評價
• • 1、Topsis
  • 2、數(shù)據(jù)包絡(luò)法
• 五、GRA灰色關(guān)聯(lián)度分析

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一、主觀賦權(quán)

1、AHP層次分析法

（1）模型簡介
層次分析法是一種解決多目標(biāo)的復(fù)雜問題的定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。該方法將定量分析與定性分析結(jié)合起來，用決策者的經(jīng)驗判斷各衡量目標(biāo)之間能否實現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)之間的相對重要程度，并合理地給出每個決策方案的每個標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)數(shù)，利用權(quán)數(shù)求出各方案的優(yōu)劣次序，比較有效地應(yīng)用于那些難以用定量方法解決的問題。

（2）步驟

• 建立層次結(jié)構(gòu)模型
• 構(gòu)造判斷矩陣

標(biāo)度含義

1	同等重要性
3	稍微重要
5	明顯重要
7	非常重要
9	極端重要
2，4，6，8	上述兩相鄰判斷的中值
倒數(shù)	如果A與B相比如果標(biāo)度為3，則B與A相比為1/3

• 層次單排序及一致性檢驗
  
  首先需要進行一致性指標(biāo)CI的計算$$CI=\frac{{\lambda }_{max}?n}{n?I}$$當(dāng)CI=0時，判斷矩陣具有完全一致性。-n越大，CI越大，則判斷矩陣的一致性就越差。為了檢驗判斷矩陣是否具有滿意的一致性，需要將CI與平均隨機一致性指標(biāo)RI進行比較。

矩陣階數(shù)123456789

RI	0	0	0.58	0.96	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45

若判斷矩陣$CR=\frac{CI}{RI}<0.10$時，則此判斷矩陣具有滿意的一致性，否則需要對判斷矩陣進行調(diào)整。

• 層次總排序及一致性檢驗
  

（3）具體算法
判斷矩陣進行一致性檢驗并通過后，計算各指標(biāo)的權(quán)重。
權(quán)重計算方法有三種：算術(shù)平均法、幾何平均法、特征值法。

（4）模型優(yōu)缺點

優(yōu)點
層次分析法定性問題進行定量分析的一種簡便靈活，而且實用的一種多準(zhǔn)則決策方法。把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維進行決策，用該方法可以將定量與定性結(jié)合起來。模型中利用層次分析法求得的權(quán)重，綜合各個指標(biāo)得出結(jié)論，這樣做可以避免一定的誤差。

缺點
主觀因素對判斷矩陣的影響很大，當(dāng)決策者的判斷過多地受其主觀偏好的影響時，結(jié)果不夠客觀。

（5）參考資料
層次分析法（AHP）詳細步驟
數(shù)學(xué)建模十大算法——層次分析法
網(wǎng)絡(luò)分析法ANP
AHP、ANP、熵值法

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二、客觀賦權(quán)

1、主成分分析

（1）簡介
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），是一種統(tǒng)計方法。通過正交變換將一組可能存在相關(guān)性的變量轉(zhuǎn)換為一組線性不相關(guān)的變量，轉(zhuǎn)換后的這組變量叫主成分。

（2）基本原理
主成分分析法是一種降維的統(tǒng)計方法，它借助于一個正交變換，將其分量相關(guān)的原隨機向量轉(zhuǎn)化成其分量不相關(guān)的新隨機向量，這在代數(shù)上表現(xiàn)為將原隨機向量的協(xié)方差陣變換成對角形陣，在幾何上表現(xiàn)為將原坐標(biāo)系變換成新的正交坐標(biāo)系，使之指向樣本點散布最開的p個正交方向，然后對多維變量系統(tǒng)進行降維處理，使之能以一個較高的精度轉(zhuǎn)換成低維變量系統(tǒng)，再通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)膬r值函數(shù)，進一步把低維系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成一維系統(tǒng)。

主成分分析的原理是設(shè)法將原來變量重新組合成一組新的相互無關(guān)的幾個綜合變量，同時根據(jù)實際需要從中可以取出幾個較少的總和變量盡可能多地反映原來變量的信息的統(tǒng)計方法叫做主成分分析或稱主分量分析，也是數(shù)學(xué)上處理降維的一種方法。主成分分析是設(shè)法將原來眾多具有一定相關(guān)性（比如P個指標(biāo)），重新組合成一組新的互相無關(guān)的綜合指標(biāo)來代替原來的指標(biāo)。通常數(shù)學(xué)上的處理就是將原來P個指標(biāo)作線性組合，作為新的綜合指標(biāo)。最經(jīng)典的做法就是用F1（選取的第一個線性組合，即第一個綜合指標(biāo)）的方差來表達，即Va（rF1）越大，表示F1包含的信息越多。因此在所有的線性組合中選取的F1應(yīng)該是方差最大的，故稱F1為第一主成分。如果第一主成分不足以代表原來P個指標(biāo)的信息，再考慮選取F2即選第二個線性組合，為了有效地反映原來信息，F1已有的信息就不需要再出現(xiàn)再F2中，用數(shù)學(xué)語言表達就是要求Cov（F1,F2）=0，則稱F2為第二主成分，依此類推可以構(gòu)造出第三、第四，……，第P個主成分。

（3）步驟

• 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化
  
• 計算相關(guān)系數(shù)矩陣
  
• 計算相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和特征向量
• 選擇p個主成分，計算綜合評價值
  
• 計算主成分載荷
  

（4）優(yōu)缺點
優(yōu)點

• 使得數(shù)據(jù)集更易使用
• 降低算法的計算開銷
• 去除噪聲
• 使得結(jié)果容易理解
• 完全無參數(shù)限制

缺點

• 如果用戶對觀測對象有一定的先驗知識，掌握了數(shù)據(jù)的一些特征，卻無法通過參數(shù)化等方法對處理過程進行干預(yù)，可能會得不到預(yù)期的效果，效率也不高
• 特征值分解有一些局限性，比如變換的矩陣必須是方陣
• 在非高斯分布情況下，PCA方法得出的主元可能并不是最優(yōu)的

（5）參考資料
數(shù)學(xué)建模之主成分分析
主成分分析介紹（matlab實現(xiàn)）
主成分分析法（spss實現(xiàn)）

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2、熵權(quán)法

（1）簡介
在信息論中，熵是對不確定性的一種度量。不確定性越大，熵就越大，包含的信息量越大；不確定性越小，熵就越小，包含的信息量就越小。

根據(jù)熵的特性，可以通過計算熵值來判斷一個事件的隨機性及無序程度，也可以用熵值來判斷某個指標(biāo)的離散程度，指標(biāo)的離散程度越大，該指標(biāo)對綜合評價的影響（權(quán)重）越大。比如樣本數(shù)據(jù)在某指標(biāo)下取值都相等，則該指標(biāo)對總體評價的影響為0，權(quán)值為0。

熵權(quán)法是一種客觀賦權(quán)法，因為它僅依賴于數(shù)據(jù)本身的離散性。

（2）計算步驟

（3）參考資料
熵權(quán)法確定權(quán)重

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三、組合賦權(quán)法

（1）簡介

在對指標(biāo)進行權(quán)重分配時，應(yīng)考慮指標(biāo)數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在統(tǒng)計規(guī)律和權(quán)威值。給出了合理的決策指標(biāo)賦權(quán)方法，即采用主觀賦權(quán)法和客觀賦權(quán)法相結(jié)合的組合賦權(quán)方法，以彌補單一賦權(quán)帶來的不足。將兩種賦權(quán)方法相結(jié)合的加權(quán)方法稱為組合賦權(quán)法。

（2）具體算法
離差平方和最小的最優(yōu)組合賦權(quán)法計算組合權(quán)重

（3）參考資料
多屬性決策中的一種最優(yōu)組合賦權(quán)方法研究（文獻）
綜合主、客觀權(quán)重信息的最優(yōu)組合賦權(quán)方法（文獻）
組合賦權(quán)如何確定主客觀權(quán)重分配（重要）

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四、綜合評價

1、Topsis

（1）簡介
C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出 TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)。TOPSIS 法是一種常用的組內(nèi)綜合評價方法，能充分利用原始數(shù)據(jù)的信息，其結(jié)果能精確地反映各評價方案之間的差距。基本過程為先將原始數(shù)據(jù)矩陣統(tǒng)一指標(biāo)類型（一般正向化處理） 得到正向化的矩陣，再對正向化的矩陣進行標(biāo)準(zhǔn)化處理以消除各指標(biāo)量綱的影響，并找到有限方案中的最優(yōu)方案和最劣方案，然后分別計算各評價對象與最優(yōu)方案和最劣方案間的距離，獲得各評價對象與最優(yōu)方案的相對接近程度，以此作為評價優(yōu)劣的依據(jù)。該方法對數(shù)據(jù)分布及樣本含量沒有嚴格限制，數(shù)據(jù)計算簡單易行。

（2）具體實現(xiàn)方法
1、如果有多個指標(biāo)且不全是極大型指標(biāo)，則進行指標(biāo)正向化
（1）中間型指標(biāo)——>極大型指標(biāo)
$X_i$是一組中間型指標(biāo)序列，且最佳的數(shù)值為$X_{best}$，那么正向化的公式為$$M=max|X_i?X_{best}|$$
（2）區(qū)間型指標(biāo)——>極大型指標(biāo)
$X_i$是一組中間型指標(biāo)序列，且最佳的區(qū)間為$[a,b]$，那么正向化的公式為$$M=maxa?min{X}_i,max{X}_i?b$$

2、對正向化矩陣進行標(biāo)準(zhǔn)化，目的是消除不同指標(biāo)量綱的影響

3、計算得分
假設(shè)有n個要評價的對象，m個評價指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣
（1）定義最大值
（2）定義最小值
（3）定義第i(i=1,2,…,n)個評價對象與最大值的距離
（4）定義第i(i=1,2,…,n)個評價對象與最小值的距離

因此，可以計算得出第i(i=1,2,…,n)個評價對象未歸一化的得分：

很明顯，當(dāng)01，且越大越小，即越接近最大值

4、歸一化評分

（3）案例
題目：評價表1中20條河流的水質(zhì)情況
已知：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；細菌總數(shù)越少越好；植物性營養(yǎng)物量介于10—20之間最佳，超過20或低于10均不好
解題思路：
1、將各項指標(biāo)正向化
PH值（中間型轉(zhuǎn)極大型）、細菌總數(shù)（極小型轉(zhuǎn)極大型）、植物性營養(yǎng)物量（區(qū)間型轉(zhuǎn)極大型）
2、正向化后的矩陣進行標(biāo)準(zhǔn)化
3、進行打分（20個評價對象（河流），4個評價指標(biāo)（含氧量、PH值、細菌總數(shù)、植物性營養(yǎng)物量））
4、分數(shù)歸一化
5、分析評分，得分最高的河流水質(zhì)最好,得到表2、圖1所示結(jié)果

（4）學(xué)習(xí)參考資料
評價類模型——TOPSIS法（優(yōu)劣解距離法）學(xué)習(xí)一
評價類模型——TOPSIS法（優(yōu)劣解距離法）學(xué)習(xí)二

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2、數(shù)據(jù)包絡(luò)法

（1）方法簡介
績效評估是評估組織或個人如何以較少的資源獲得較多的產(chǎn)出結(jié)果的多屬性評估，也稱之為成本效益分析。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是 A.Charnes, W.W.Copper 和 E.Rhodes 在 1978 年提出的評價多指標(biāo)輸入輸出，衡量系統(tǒng)有效性的方法。將屬性劃分為投入項、產(chǎn)出項（成本型、效益型指標(biāo)），不預(yù)先設(shè)定權(quán)重，只關(guān)心總產(chǎn)出與總投入，以其比率作為相對效率。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析有多種模式，主要為：CCR 模式，BBC 模式、交叉模式、A&P 模式。

（2）步驟
1、構(gòu)建決策單元
要點：確定“投入”和“產(chǎn)出”

2、建立DEA效率評估模型（CCR模式）
決策單元k的效益評價指數(shù)為：

從投入資源的角度來看，在當(dāng)前產(chǎn)出的水準(zhǔn)下，比較投入資源的使用情況，以此作為效益評價的依據(jù)，這種模式稱為“投入導(dǎo)向模式”。但這種模型不是傳統(tǒng)的線性規(guī)劃模型, 難以求最優(yōu)解, 因此將其線性化后, 取對偶模型，為如下模型（評價決策單元k效益的CCR模式線性規(guī)化模型）：

為加速模型求解及分析產(chǎn)能效應(yīng)，為上述方程引入松弛變量,?。其中 稱為差額變數(shù)，表示該決策單元為達到 “DEA 有效” 應(yīng)減少的投入量,稱為超額變數(shù)，代表為達到 “DEA 有效” 應(yīng)增加的產(chǎn)出量。引入非阿基米德數(shù) ε (non-Archimedean constant) CCR 模式線性規(guī)劃模型化為：

3、分層序列法求解
使用分層序列法進行求解。第一階段求解OEk的最小值，在第二階段求解兩項和的最大值，即

（3）優(yōu)缺點

優(yōu)點
同時考慮多項的投入與產(chǎn)出屬性，來評估決策單位和方案的相對效率，不依賴于人為選擇權(quán)重，對于決策問題中不可度量糅合的屬性具有天然的優(yōu)勢。對測量單位的改變不敏感，具有較強的魯棒性。模型依賴于線性規(guī)劃問題的基本算法，求解速度快。

缺點
評估結(jié)果是相對效率而非絕對效率，因此效率為 1 只能說明在當(dāng)前資源下不同方案同等有效，并不代表沒有改進之處，模型不依賴于權(quán)重的選擇，將所有的投入、產(chǎn)出資源認為同等重要，一定程度上損失模型的可靠性。

（4）參考資料
方法詳細介紹
DEA（數(shù)據(jù)包絡(luò)分析）介紹（python實現(xiàn)）
RSR（秩和比綜合評價法）介紹（python實現(xiàn)）
一個案例（lingo實現(xiàn)）

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五、GRA灰色關(guān)聯(lián)度分析

（1）簡介
灰色關(guān)聯(lián)度分析（Grey Relation Analysis，GRA），是一種多因素統(tǒng)計分析的方法。簡單來講，就是在一個灰色系統(tǒng)中，我們想要了解其中某個我們所關(guān)注的某個項目受其他的因素影響的相對強弱，再直白一點，就是說：我們假設(shè)以及知道某一個指標(biāo)可能是與其他的某幾個因素相關(guān)的，那么我們想知道這個指標(biāo)與其他哪個因素相對來說更有關(guān)系，而哪個因素相對關(guān)系弱一點，依次類推，把這些因素排個序，得到一個分析結(jié)果，我們就可以知道我們關(guān)注的這個指標(biāo)，與因素中的哪些更相關(guān)。

（2）具體算法
1、確定母序列
母序列即參考序列，這里要找到子序列和參考序列的關(guān)聯(lián)程度。

2、歸一化（無量綱化）
減少數(shù)據(jù)的絕對數(shù)值的差異，將它們統(tǒng)一到近似的范圍內(nèi)，然后重點關(guān)注其變化和趨勢。主要方法有初值化和均值化。

初值化：把這一個序列的數(shù)據(jù)統(tǒng)一除以最開始的值，由于同一個因素的序列的量級差別不大，所以通過除以初值就能將這些值都整理到1這個量級附近。

均值化：把這個序列的數(shù)據(jù)除以均值，由于數(shù)量級大的序列均值比較大，所以除掉以后就能歸一化到1的量級附近。

3、計算灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)

對公示的簡單理解：
當(dāng)ρ取0的時候，該式分子表示所有因素的維度中，與參考序列距離最近的維度上的距離；分母相當(dāng)于歸一化。
當(dāng)ρ不取0的時候，相當(dāng)于分子分母同時增加相同的數(shù)（實際上是添加溶質(zhì)的溶液的問題）。
總之，ρ是控制灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)區(qū)分度的一個系數(shù)，ρ取值從0到1，ρ越小，區(qū)分度越大，一般取0.5較為合適。而灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)取值落在0到1之間。

4、計算關(guān)聯(lián)系數(shù)均值，形成關(guān)聯(lián)序

（3）算法總結(jié)
GRA算法本質(zhì)上來講就是提供了一種度量兩個向量之間距離的方法，對于有時間性的因子，向量可以看成一條時間曲線，而GRA算法就是度量兩條曲線的形態(tài)和走勢是否相近。為了避免其他干擾，凸出形態(tài)特征的影響，GRA先做了歸一化，將所有向量矯正到同一個尺度和位置，然后計算每個點的距離。最后，通過min min 和max max 的矯正，使得最終輸出的結(jié)果落在0到1之間，從而符合系數(shù)的一般定義。rho調(diào)節(jié)不同關(guān)聯(lián)系數(shù)之間的差異，換句話說，就是輸出的分布，使其可以變得更加稀疏或者緊密。以數(shù)學(xué)角度要言之，該算法即度量已歸一化的子向量與母向量的每一維度的l1-norm距離的倒數(shù)之和，并將其映射到0～1區(qū)間內(nèi)，作為子母向量的關(guān)聯(lián)性之度量的一種策略。

（4）算法優(yōu)缺點
1、優(yōu)點
此方法的優(yōu)點在于思路明晰，可以在很大程度上減少由于信息不對稱帶來的損失，并且對數(shù)據(jù)要求較低，工作量較少。
2、缺點
其主要缺點在于要求需要對各項指標(biāo)的最優(yōu)值進行現(xiàn)行確定，主觀性過強，同時部分指標(biāo)最優(yōu)值難以確定。

（5）參考文獻
灰色關(guān)聯(lián)度分析原理詳解（matlab）
灰色關(guān)聯(lián)分析的理論及應(yīng)用（這個詳細 matlab、python）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的指标赋权与评价类方法总结的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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