高等數學（第七版）同濟大學 習題3-8

題解中的C語言代碼采用的IDE：Visual Studio 2010

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$\begin{array}{rlr}& 1.試證明方程x^3?3x^2+6x?1=0在區間(0,1)內有唯一的實根，并用二分法求這個根的近似值，& \\ & & \\ & 使誤差不超過\mathrm{0.01.}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 設函數f(x)=x^3?3x^2+6x?1，f(x)在[0,1]上連續，且f(0)=?1<0，f(1)=3>0，& \\ & & \\ & 由零點定理可知至少存在一點\xi \in (0,1)，使f(\xi )=0，則方程在(0,1)內至少有一個實根。& \\ & & \\ & 因f^{\prime }(x)=3x^2?6x+6=3(x?1{)}^2+3>0，所以函數f(x)在[0,1]上單調增加，即方程f(x)=0，& \\ & & \\ & 在(0,1)內最多有一個實根。所以，方程x^3?3x^2+6x?1=0在區間(0,1)內有唯一的實根。& \\ & & \\ & 二分法求近似值：& \\ & & \\ & {\xi }_1=0.5，f({\xi }_1)=1.375>0，故a_1=0，b_1=0.5；& \\ & & \\ & {\xi }_2=0.25，f({\xi }_2)=0.328>0，故a_2=0，b_2=0.25；& \\ & & \\ & {\xi }_3=0.125，f({\xi }_3)=?0.295<0，故a_3=0.125，b_3=0.25；& \\ & & \\ & {\xi }_4=0.188，f({\xi }_4)=0.026>0，故a_4=0.125，b_4=0.188；& \\ & & \\ & {\xi }_5=0.157，f({\xi }_5)=?0.132<0，故a_5=0.157，b_5=0.188；& \\ & & \\ & {\xi }_6=0.173，f({\xi }_6)=?0.052<0，故a_6=0.173，b_6=0.188；& \\ & & \\ & {\xi }_7=0.18，f({\xi }_7)=?0.013<0，故a_7=0.18，b_7=0.188；& \\ & & \\ & {\xi }_8=0.184，f({\xi }_8)=0.007>0，故a_8=0.18，b_8=0.184；& \\ & & \\ & {\xi }_9=0.182，f({\xi }_9)=?0.003<0，故a_9=0.182，b_9=0.184；& \\ & & \\ & {\xi }_{10}=0.183，f({\xi }_{1}0)=0.002>0，故a_{10}=0.182，b_{10}=0.183；& \\ & & \\ & {\xi }_{11}=0.183，f({\xi }_{1}1)=0.002>0& \\ & & \\ & 使誤差不超過0.01的根的近似值為\xi =\mathrm{0.183.}& \end{array}$
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代碼塊：

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h>int main() {float xi, a, b;a=0;b=1;float fx;for(int i=0; i<12; i++){xi=(a+b)/2;fx=pow(xi, 3)-3*pow(xi, 2)+6*xi-1;printf("xi=%2.3f fx=%2.3f a=%2.3f b=%2.3f\n", xi, fx, a, b);if(fx>0){a=a;b=xi;}else if(fx<0){a=xi;b=b;}}system("pause");return 0; }

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$\begin{array}{rlr}& 2.試證明方程x^5+5x+1=0在區間(?1,0)內有唯一的實根，并用切線法求這個根的近似值，& \\ & & \\ & 使誤差不超過\mathrm{0.01.}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 設函數f(x)=x^5+5x+1，f(x)在[?1,0]上連續，且f(?1)=?5<0，f(0)=1>0，& \\ & & \\ & 由零點定理可知至少存在一點\xi \in (?1,0)，使f(\xi )=0，則方程在區間(?1,0)內至少有一實根。& \\ & & \\ & 因為f^{\prime }(x)=5x^4+5>0，所以f(x)在[?1,0]上單調增加，即方程f(x)=0，& \\ & & \\ & 在(?1,0)內最多有一個實根，所以，方程x^5+5x+1=0在區間(?1,0)內有唯一的實根。& \\ & & \\ & 切線法求近似值：& \\ & & \\ & f^{\prime \prime }(x)=20x^3，f^{\prime \prime }(?1)=?20<0，取x_0=?1，用公式x_n=x_{n?1}?\frac{f(x_{n?1})}{f^{\prime }(x_{n?1})}得& \\ & & \\ & x_1=x_0?\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}=?0.5& \\ & & \\ & x_2=x_1?\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)}\approx ?0.21& \\ & & \\ & x_3=x_2?\frac{f(x_2)}{f^{\prime }(x_2)}\approx ?0.2& \\ & & \\ & x_4=x_3?\frac{f(x_3)}{f^{\prime }(x_3)}\approx ?0.2& \\ & & \\ & 使誤差不超過0.01的根的近似值為\xi =?\mathrm{0.2.}& \end{array}$
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代碼塊：

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h>int main() {float x, xn;xn=-1;float fx, fx1;for(int i=0; i<4; i++){fx=pow(xn, 5)+5*xn+1;fx1=5*pow(xn, 4)+5;x=xn-fx/fx1;printf("x=%3.2f\n", x);xn=x;}system("pause");return 0; }

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$\begin{array}{rlr}& 3.用割線法求方程x^3+3x?1=0的近似根，使誤差不超過\mathrm{0.01.}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 設函數f(x)=x^3+3x?1，f(x)在[0,1]上連續，且f(0)=?1<0，f(1)=3>0，& \\ & & \\ & 由零點定理可知至少存在一點\xi \in (0,1)，使f(\xi )=0，因f^{\prime }(x)=3x^2+3>0，& \\ & & \\ & 所以f(x)在[0,1]上單調增加，方程在(0,1)內有唯一實根。& \\ & & \\ & 割線法求近似值：& \\ & & \\ & f^{\prime \prime }(x)=6x，f^{\prime \prime }(1)=6>0，取x_0=1，x_1=0.8，利用公式x_{n+1}=x_n?\frac{x_n?x_{n?1}}{f(x_n)?f(x_{n?1})}?f(x_n)得& \\ & & \\ & x_2=x_1?\frac{x_1?x_0}{f(x_1)?f(x_0)}?f(x_1)\approx 0.449& \\ & & \\ & x_3=x_2?\frac{x_2?x_1}{f(x_2)?f(x_1)}?f(x_2)\approx 0.345& \\ & & \\ & x_4=x_3?\frac{x_3?x_2}{f(x_3)?f(x_2)}?f(x_3)\approx 0.323& \\ & & \\ & x_5=x_4?\frac{x_4?x_3}{f(x_4)?f(x_3)}?f(x_4)\approx 0.322& \\ & & \\ & 取0.32作為根的近似值，其誤差小于\mathrm{0.01.}& \end{array}$
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代碼塊：

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h>int main() {float xn0, xn1, r;xn0=1.0;xn1=0.8;float fx0, fx1;for(int i=0; i<6; i++){fx0=pow(xn0, 3)+3*xn0-1;fx1=pow(xn1, 3)+3*xn1-1;r=xn1-(xn1-xn0)/(fx1-fx0)*fx1;printf("r=%2.3f\n", r);xn0=xn1;xn1=r;}system("pause");return 0; }

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$\begin{array}{rlr}& 4.求方程xlgx=1的近似根，使誤差不超過\mathrm{0.01.}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 設函數f(x)=xlgx?1，f(x)在[1,3]上連續，且f(1)=?1<0，f(3)=3lg3?1>0，& \\ & & \\ & 由零點定理可知至少存在一點\xi \in (1,3)，使f(\xi )=0，方程在區間(1,3)內至少有一實根，& \\ & & \\ & 因為f^{\prime }(x)=lgx+x?\frac{1}{xln10}=lgx+\frac{1}{ln10}>0(x\ge 1)，所以函數在[1,3]上單調增加，方程f(x)=0，& \\ & & \\ & 即xlgx=1在(1,3)內最多有一個實根，所以方程xlgx=1在(1,3)內有唯一的實根。& \\ & & \\ & 二分法求根的近似值：& \\ & & \\ & {\xi }_1=2，f({\xi }_1)=?0.395<0，故a_1=2，b_1=3；& \\ & & \\ & {\xi }_2=2.5，f({\xi }_2)=?0.005<0，故a_2=2.5，b_2=3；& \\ & & \\ & {\xi }_3=2.75，f({\xi }_3)=0.208>0，故a_3=2.5，b_3=2.75；& \\ & & \\ & {\xi }_4=2.63，f({\xi }_4)=0.1>0，故a_4=2.5，b_4=2.63；& \\ & & \\ & {\xi }_5=2.57，f({\xi }_5)=0.047>0，故a_5=2.5，b_5=2.57；& \\ & & \\ & {\xi }_6=2.53，f({\xi }_6)=0.021>0，故a_6=2.5，b_6=2.53；& \\ & & \\ & {\xi }_7=2.52，f({\xi }_7)=0.008>0，故a_7=2.5，b_7=2.52；& \\ & & \\ & {\xi }_8=2.51，f({\xi }_8)=0.001>0，故a_8=2.5，b_8=2.51；& \\ & & \\ & {\xi }_9=2.51，f({\xi }_9)=0.001>0& \\ & & \\ & 所以誤差不超過0.01的根的近似值為\xi =\mathrm{2.51.}& \end{array}$
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代碼塊：

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h>int main() {float xi, a, b;a=1;b=3;float fx;for(int i=0; i<10; i++){xi=(a+b)/2;fx=xi*log10(xi)-1;printf("xi=%2.2f fx=%2.3f a=%2.2f b=%2.2f\n", xi, fx, a, b);if(fx>0){a=a;b=xi;}else if(fx<0){a=xi;b=b;}}system("pause");return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学（第七版）同济大学 习题3-8 个人解答的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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