目錄

• 一、問題
• 二、Clarke模型
• 三、Jakes模型
• 四、Jakes模型的MATLAB仿真
• 五、Jakes模型的Simulink仿真
• 六、總結(jié)

一、問題

最近為了完成老師布置的作業(yè)，就通過博客這種方式來記錄一下自己的解決問題的過程，問題如下：

(1) 無線信道中的多普勒譜有一種經(jīng)典譜(classic spectrum)，請(qǐng)解釋產(chǎn)生這種譜形狀的機(jī)理；
(2) 請(qǐng)用Simulink或者m語言，產(chǎn)生一條單徑瑞利信道，其多普勒譜為經(jīng)典譜，其中移動(dòng)速率為120km/h。并請(qǐng)描述：自己用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的經(jīng)典譜是正確的依據(jù)。

? ? ? ?通過閱讀與分析知網(wǎng)以及CSDN的相關(guān)文獻(xiàn)后，對(duì)于多普勒經(jīng)典譜的產(chǎn)生原理，我利用Clarke理論模型，來推導(dǎo)出瑞利信道的經(jīng)典譜的功率譜密度，解決第一問，下面是Clarke理論模型的推導(dǎo)過程。

二、Clarke模型

1）計(jì)算平面波的通頻帶發(fā)射信號(hào)$\tilde{x}\left(t\right)$

? ? ? ?Clarke模型假設(shè)有N個(gè)具有任意相位的平面波，每個(gè)平面波以任意的方向到達(dá)移動(dòng)臺(tái)，且所有平面波的平均功率相同。設(shè)移動(dòng)臺(tái)的速度為$v$，平面波沿$x?y$ 平面上的水平方向到達(dá)，平面波與移動(dòng)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)方向之間的夾角即到達(dá)角度（Angle of Arrival，AoA）為$\theta$，如圖2.1所示。

圖2.1: 移動(dòng)臺(tái)與平面波的到達(dá)角度的示意圖

其中設(shè)平面波的基帶發(fā)射信號(hào)為$x\left(t\right)$，載波的波長為$\lambda$，載波頻率為$f_c$，則通頻帶的發(fā)射信號(hào)$\tilde{x}\left(t\right)$為
$$\tilde{x}\left(t\right)=\text{Re}\left[x\left(t\right)e^{j2\pi f_{c}t}\right]\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

2）計(jì)算移動(dòng)臺(tái)的基帶接收信號(hào)$y\left(t\right)$

? ? ? ?由于移動(dòng)臺(tái)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)移動(dòng)臺(tái)的平面波都會(huì)經(jīng)歷多普勒頻移，且每條傳播路徑的多普勒頻移都不同。設(shè)移動(dòng)臺(tái)位于有$I$條傳播路徑的散射信道，則通頻帶接收信號(hào)$\tilde{y}\left(t\right)$可表示為
$$\begin{gathered} \tilde{y}\left(t\right)=\text{Re}\left[\sum _{i=1}^I{C}_i{e}^{j2\pi \left(f_c+f_i\right)\left(t?{\tau }_i\right)}x\left(t?{\tau }_i\right)\right] \\ =\text{Re}\left[y\left(t\right)e^{j2\pi f_{c}t}\right]\text{\hspace{1em}(2.2)} \end{gathered}$$

其中$C_i,f_i,{\tau }_i$分別表示第$i$條傳播路徑的信道增益、多普勒頻移、時(shí)延。
? ? ? ?而移動(dòng)臺(tái)的基帶接收信號(hào)$y\left(t\right)$可表示為
$$y\left(t\right)=\sum _{i=1}^I{C}_i{e}^{?j{?}_i\left(t\right)}x\left(t?{\tau }_i\right)\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

其中${?}_i\left(t\right)=2\pi \left\{\left(f_c+f_i\right){\tau }_i?f_i{t}_i\right\}$。
? ? ? ?第$i$條傳播路徑的多普勒頻移可表示為$f_i=f_m\cos {\theta }_i=\frac{v}{\lambda }\cos {\theta }_i$，其中$f_m,{\theta }_i$分別表示最大多普勒頻移、第$i$條傳播路徑的到達(dá)角度。第$i$條傳播路徑的到達(dá)角度服從$\left[?\pi ,\pi \right]$的均勻分布。

3）利用脈沖響應(yīng)表示通頻帶接收信號(hào)$\tilde{y}\left(t\right)$

? ? ? ? 基帶信道可建模為線性時(shí)變?yōu)V波器，當(dāng)路徑的時(shí)延差遠(yuǎn)小于采樣周期$T_s$時(shí)，路徑時(shí)延${\tau }_i$
可近似為$\hat{\tau }$，則該濾波器的復(fù)基帶脈沖響應(yīng)為
$$h\left(t,\tau \right)=\sum _{i=1}^I{C}_i{e}^{?j{?}_i\left(t\right)}\delta \left(t?{\tau }_i\right)\approx h\left(t\right)\delta \left(t?\hat{\tau }\right)\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

其中$h\left(t\right)={\sum }_{i=1}^I{C}_i{e}^{?j{?}_i\left(t\right)}$。
? ? ? ? 假設(shè)基帶發(fā)射信號(hào)$x\left(t\right)=1$，將脈沖響應(yīng)代入式(2.2)，則通頻帶接收信號(hào)可進(jìn)一步表示為
$$\begin{gathered} \tilde{y}\left(t\right)=\text{Re}\left[y\left(t\right)e^{j2\pi f_{c}t}\right]=\text{Re}\left[\left\{h_I\left(t\right)+j{h}_Q\left(t\right)\right\}{e}^{j2\pi f_{c}t}\right] \\ =h_I\left(t\right)\cos 2\pi f_{c}t?h_Q\left(t\right)\sin 2\pi f_{c}t\text{\hspace{1em}(2.5)} \end{gathered}$$

其中$h_I\left(t\right)$和$h_Q\left(t\right)$分別為$h\left(t\right)$的同相分量和正交分量，可分別表示為
$$h_I\left(t\right)=\sum _{i=1}^I{C}_i\cos {?}_i\left(t\right)\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

$$h_Q\left(t\right)=?\sum _{i=1}^I{C}_i\sin {?}_i\left(t\right)\text{\hspace{1em}(2.7)}$$
由中心極限定理可得，當(dāng)傳播路徑數(shù)$I$足夠大時(shí)，同相分量和正交分量可近似為高斯隨機(jī)變量，因此接收信號(hào)的幅度$\left|\tilde{y}\left(t\right)\right|=\sqrt{h_I^2\left(t\right)+h_Q^2\left(t\right)}$服從瑞利分布。

4）計(jì)算瑞利信道的功率譜密度

? ? ? ?由于自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，對(duì)通頻帶接收信號(hào)$\tilde{y}\left(t\right)$的自相關(guān)函數(shù)做傅里葉變換，由此得到瑞利衰落的功率譜密度（PSD） 為
$$S_{\bar{y}\bar{y}}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{{\Omega }_p}{4\pi f_m}\frac{1}{\sqrt{1?{\left(\frac{f?f_c}{f_m}\right)}^2}},\left|f?f_c\right|\le f_m\\ 0,\text{其他}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

其中${\Omega }_p=E\left\{h_I^2\left(t\right)\right\}+E\left\{h_Q^2\left(t\right)\right\}={\sum }_{i=1}^I{C}_i^2$，式(2.8)即為經(jīng)典多普勒譜的功率譜密度。

三、Jakes模型

? ? ? ?根據(jù)Clarke理論模型對(duì)瑞利衰落的推導(dǎo)，可得接收信號(hào)的幅度服從瑞利分布，且其同相分量與正交分量都是服從高斯分布的隨機(jī)變量，而相位是服從$\left[?\pi ,\pi \right]$的均勻分布。
? ? ? ?因此Jakes模型采用復(fù)正弦波合成的方法，根據(jù)中心極限定理，當(dāng)正弦波的數(shù)量足夠多時(shí)，經(jīng)過疊加后得到的接收信號(hào)的幅度近似服從瑞利分布，由此產(chǎn)生了具有經(jīng)典譜的單徑瑞利信道，在物理上近似實(shí)現(xiàn)了Clarke理論模型。下面是Jakes模型的具體步驟。

1）設(shè)置經(jīng)過多普勒頻移的平面波

? ? ? ?設(shè)有N個(gè)平面波，定義$N_0=\left(\frac{N}{2}?1\right)/2$，其中限定$N/2$為一個(gè)奇數(shù)。設(shè)經(jīng)過最大多普勒頻移$f_m$的平面波的頻率為${\omega }_d=2\pi f_m$，初始相位為${?}_N$。
? ? ? ?設(shè)$N_0$個(gè)經(jīng)過多普勒頻移的平面波，其中每一個(gè)平面波的到達(dá)角度為${\theta }_n=\frac{2\pi n}{N}$，頻率為${\omega }_n={\omega }_d\cos {\theta }_n$，初始相位為${?}_n,n=1,2,?,N_0$。為了使瑞利衰落的相位服從均勻分布，初始相位可設(shè)置為
$$\begin{gathered} {?}_N=0 \\ {?}_n=\frac{\pi n}{N_0+1},n=1,2,?,N_0\text{\hspace{1em}(2.9)} \end{gathered}$$

2）合成復(fù)正弦波
? ? ? ?將上述的$N_0$個(gè)經(jīng)過多普勒頻移的平面波的復(fù)振蕩器的輸出求和，然后與經(jīng)過最大多普勒頻移$f_m$
的平面波的復(fù)振蕩器的輸出相加，如圖3.1所示。在復(fù)振蕩器的總和中，實(shí)部$h_I\left(t\right)$和虛部$h_Q\left(t\right)$分別表示為
$$\begin{gathered} h_I\left(t\right)=2\sum _{n=1}^{N_0}\left(\cos {?}_n\cos {\omega }_{n}t\right)+\sqrt{2}\cos {?}_N\cos {\omega }_{d}t \\ =\left[\cos {?}_1\cos {?}_n?\cos {?}_{N_0}\cos {?}_N\right]??\begin{array}{l}2\cos {\omega }_{1}t\\ 2\cos {\omega }_{2}t\\ ?\\ 2\cos {\omega }_{N_0}t\\ \sqrt{2}\cos {\omega }_{N}t\end{array}?\text{\hspace{1em}(2.10)} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} h_Q\left(t\right)=2\sum _{n=1}^{N_0}\left(\sin {?}_n\cos {\omega }_{n}t\right)+\sqrt{2}\sin {?}_N\cos {\omega }_{d}t \\ =\left[\sin {?}_1\sin {?}_n?\sin {?}_{N_0}\sin {?}_N\right]??\begin{array}{l}2\cos {\omega }_{1}t\\ 2\cos {\omega }_{2}t\\ ?\\ 2\cos {\omega }_{N_0}t\\ \sqrt{2}\cos {\omega }_{N}t\end{array}?\text{\hspace{1em}(2.11)} \end{gathered}$$

圖3.1: Jakes仿真模型的復(fù)正弦波合成過程
因此Jakes仿真模型的復(fù)輸出可以表示為
$$h\left(t\right)=\frac{E_0}{\sqrt{2N_0+1}}\left\{h_I\left(t\right)+j{h}_Q\left(t\right)\right\}\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

其中$E_0$為衰落信號(hào)的平均幅度。由中心極限定理可得，為了使經(jīng)過疊加后得到的接收信號(hào)的幅度近似服從瑞利分布，當(dāng)經(jīng)過多普勒頻移的平面波的數(shù)量必須足夠多，一般取$N_0=8$。

四、Jakes模型的MATLAB仿真

? ? ? ?為了完成第二問的仿真任務(wù)，我通過MATLAB仿真軟件對(duì)Jakes模型進(jìn)行了仿真。根據(jù)題設(shè)的移動(dòng)速率$v=120km/h$的條件，由最大多普勒頻移$f_m$公式可得
$$f_m=\frac{v}{\lambda }=\frac{v{f}_c}{c}\text{\hspace{1em}(2.13)}$$

其中$c=3\times 10^{8}m/s$為光速，$f_c$為載波頻率。對(duì)于載波頻率$f_c$我設(shè)置為2GHz，代入式(2.13)可得最大多普勒頻移$f_m=222.2Hz$，將數(shù)據(jù)代入Jakes仿真模型中，可得MATLAB輸出的Jakes模型的幅度在時(shí)域的特點(diǎn)、幅度與相位的分布、經(jīng)典模型與仿真模型的自相關(guān)函數(shù)、多普勒譜如下圖所示。

圖4.1: Jakes模型的幅度在時(shí)域的特點(diǎn) ? ? ? ?由時(shí)域圖可得，Jakes模型的幅度隨著時(shí)間的增加會(huì)發(fā)生衰減。

圖4.2: 幅度與相位的分布 ? ? ? ?由分布圖可得，在Jakes模型中接收信號(hào)的幅度基本服從瑞利分布，相位則近似服從均勻分布。

圖4.3: 經(jīng)典模型與仿真模型的自相關(guān)函數(shù)、多普勒譜

? ? ? ?這里的經(jīng)典模型采用第一類0階貝塞爾函數(shù)的方式得到經(jīng)典模型的自相關(guān)函數(shù)，然后對(duì)自相關(guān)函數(shù)做傅里葉變換得到經(jīng)典模型的功率譜密度，從MATLAB仿真出的經(jīng)典譜與經(jīng)典模型的經(jīng)典譜的圖形對(duì)比以及自相關(guān)函數(shù)的對(duì)比圖可以看出，計(jì)算機(jī)仿真產(chǎn)生的經(jīng)典譜與理論推導(dǎo)的經(jīng)典譜差別不大，仿真與經(jīng)典的自相關(guān)函數(shù)仍差距不大，同時(shí)我使用均方根誤差RMSE進(jìn)一步對(duì)兩個(gè)圖形的多普勒譜的幅度數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比，RMSE的公式如下：
$$RMSE=\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{t=1}^N{\left(observe{d}_t?predicte{d}_t\right)}^2}$$

經(jīng)過MATLAB仿真后輸出的RMSE約為3.3902，可得仿真數(shù)據(jù)的精確度較高。

五、Jakes模型的Simulink仿真

? ? ? ?為了更進(jìn)一步地仿真單徑瑞利信道，本次我也采用了Simulink做出了如下圖所示的仿真框圖。

圖5.1: 單徑瑞利信道的仿真框圖

為了更快地仿真完，設(shè)置采樣頻率為100kHz，仿真時(shí)間為20s。然后設(shè)置最大多普勒頻移$f_m=222.2Hz$。注意在單徑瑞利信道模塊中開啟多普勒頻譜的可視化，最后連接好頻譜分析儀，運(yùn)行Simulink后，得到如下結(jié)果。

圖5.2: 實(shí)際樣本與理論多普勒譜的對(duì)比圖

由對(duì)比圖可得，實(shí)際測(cè)量的樣本接近于理論多普勒譜（經(jīng)典譜）。然后觀察頻譜分析儀得到的結(jié)果。

圖5.3: 頻譜分析儀得到的頻譜圖

由頻譜圖可得，兩個(gè)峰值對(duì)應(yīng)的頻率約為205Hz、-205Hz，其絕對(duì)值接近于設(shè)置的最大多普勒頻移$f_m=222.2Hz$。綜上，可以判斷出我用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的經(jīng)典譜是正確的。

六、總結(jié)

? ? ? ?感謝大家能閱讀到這里！這是我時(shí)隔一年多又一次開始動(dòng)筆寫技術(shù)博客了，哈哈感覺還是生疏了，對(duì)于Markdown的有些格式問題弄了挺久的，自己也查閱了很多不懂知識(shí)，參考了很多資料，感謝前輩們的幫助！自己還是寫得不太好，還請(qǐng)讀者們多多指教，不過真的感覺寫博客還是很有趣的！如果這篇博客能夠幫助到大家，我自己就很開心了！
? ? ? ?這次通過寫老師布置的作業(yè)，學(xué)會(huì)了在網(wǎng)上查找資料，然后閱讀分析，消化吸收相關(guān)的內(nèi)容，基本上Clarke理論模型、Jakes仿真模型搞懂了，然后也溫習(xí)了一遍MATLAB，寫了寫仿真代碼，用輕薄本跑了跑程序，哈哈每跑一次風(fēng)扇都要轉(zhuǎn)起來！也熟悉了Simulink的使用，希望自己之后能繼續(xù)加油。雄關(guān)漫道真如鐵，而今邁步從頭越！

這里是本文的參考文獻(xiàn)：
[1]:matlab實(shí)現(xiàn)單徑瑞利信道仿真中經(jīng)典多普勒譜（Clarke模型、Jakes模型）
[2]:MIMO-OFDM無線通信技術(shù)及MATLAB實(shí)現(xiàn)
[3]:均方誤差(MSE)和均方根誤差(RMSE)和平均絕對(duì)誤差(MAE)
[4]:瑞利信道建模 matlab程序原理到實(shí)現(xiàn)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的瑞利信道的多普勒谱的原理与MATLAB仿真的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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