目錄

• 一、問題
• 二、理論誤碼率推導過程
• 三、使用MATLAB繪制理論誤碼率曲線
• 四、總結

一、問題

? ? ? ?最近我繼續攻克老師布置的作業，也是通過博客來記錄一下自己的解決問題的過程，問題如下：

(1) 請推導出單徑瑞利信道中的BPSK相干解調的理論誤碼率性能，并畫出比特信噪比(EbN0)與誤碼率(SER)的關系曲線。

通過閱讀與理解CSDN、相關書籍的資料，我基本理解了題目的理論誤碼率推導過程，下面是對于單徑瑞利信道，采用BPSK調制以及相干解調的理論誤比特率推導過程。

二、理論誤碼率推導過程

1）表示發送信號
? ? ? ?我們設二進制相移鍵控BPSK中發射的兩個信號波形分別表示為$s_1\left(t\right)=g\left(t\right),s_2\left(t\right)=?g\left(t\right)$。其中$g\left(t\right)$是在一個符號間隔$T$內非零的任意實信號脈沖，脈沖能量為${\xi }_g$。這兩個發射信號是雙極性信號，可由能量表示為$s_1\left(t\right)=\sqrt{{\xi }_g},s_2\left(t\right)=?\sqrt{{\xi }_g}$。兩個信號點如圖2.1所示。

圖2.1: BPSK的兩個信號點

2）表示接收信號
? ? ? ?單徑瑞利信道可視為平坦慢衰落信道，平坦衰落的信道會使發送信號$s\left(t\right)$發生乘性失真，而慢衰落信道則可將乘性失真過程在至少一個符號間隔 $T$內看作為一個常數的過程。因此我們假設兩個信號是等概發送，若發送信號為$s_1\left(t\right)=g\left(t\right)$，則在一個符號間隔$T$內的等效低通接收信號為
$$r_1\left(t\right)=\alpha e^{?j?}{s}_1\left(t\right)+z\left(t\right)\left(0\le t\le T\right)\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

其中，$\alpha$為信號衰減，$?$是信號相移，$z\left(t\right)$為復高斯白噪聲過程。
? ? ? ?由于單徑瑞利信道為慢衰落信道，其信道衰落足夠慢，這樣會使得相移$?$能夠從接收信號中無誤差地估計出來。因此可以實現接收信號的理想相干檢測，即相干解調。于是對于BPSK調制，可用一個匹配濾波器來處理接收信號。

3）計算固定衰減條件的條件誤碼率
? ? ? ?對于慢衰落信道，即信號衰減$\alpha$固定，不隨時間發生改變。那么由匹配濾波器的解調器得到的接收信號為
$$r=\alpha s_1+n=\alpha \sqrt{{\xi }_g}+n\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

其中$n$表示均值為0，噪聲方差為${\sigma }_n^2=\frac{N_0}{2}$的加性高斯噪聲分量。我們可以根據判決變量來確定誤碼率。將接收信號$r$與閾值0比較。若$r>0$則判決接收信號為$s_1\left(t\right)$。若$r<0$則判決為$s_2\left(t\right)$。因此接收信號$r$判決為$s_1\left(t\right),s_2\left(t\right)$的概率密度函數分別為
$$p\left(r|s_1\right)=?\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}{e}^{?{\left(r?\alpha \sqrt{{\xi }_g}\right)}^2/N_0}\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

$$p\left(r|s_2\right)=?\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}{e}^{?{\left(r+\alpha \sqrt{{\xi }_g}\right)}^2/N_0}\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

兩個信號的判決的概率密度函數如圖2.2所示。

圖2.2: 判決的概率密度函數
? ? ? ?在發送信號為 $s_1\left(t\right)=g\left(t\right)$的條件下，錯誤概率為 $r<0$的概率，即
$$p\left(e|s_1\right)={\int }_{?\infty }^{0}p\left(r|s_1\right)dr=?\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}{\int }_{?\infty }^0\exp \left[?{\left(r?\alpha \sqrt{{\xi }_g}\right)}^2/N_0\right]dr=Q?\sqrt{\frac{2{\alpha }^2{\xi }_g}{N_0}}?$$

其中$Q\left(x\right)$為Q函數，是用來表示高斯分布的概率密度函數尾部曲線下的面積，定義為$Q\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_x^{\infty }{e}^{?t^2/2}dt,x\ge 0$。
? ? ? ?同樣假設發送信號為$s_2\left(t\right)=?g\left(t\right),r=?\alpha \sqrt{{\xi }_g}+n$，其$r>0$的錯誤概率也為$p\left(e|s_2\right)=Q\left(\sqrt{\frac{2{\alpha }^2{\xi }_g}{N_0}}\right)$。因為$s_1\left(t\right),s_2\left(t\right)$是等概發送的，由全概率公式可得平均錯誤概率為
$$P_2\left({\gamma }_b\right)=p\left(s_1\right)p\left(e|s_1\right)+p\left(s_2\right)p\left(e|s_2\right)=\frac{1}{2}p\left(e|s_1\right)+\frac{1}{2}p\left(e|s_2\right)=Q?\sqrt{\frac{2{\alpha }^2{\xi }_g}{N_0}}?=Q\left(\sqrt{2{\gamma }_b}\right)$$

其中${\gamma }_b=\frac{{\alpha }^2{\xi }_g}{N_0}$。上式$P_2\left({\gamma }_b\right)$即為條件誤比特率。

4）計算衰減變化的誤比特率
? ? ? ?上式得到的條件誤比特率$P_2\left({\gamma }_b\right)$的條件是信號衰減$\alpha$固定不變。為了得到信號衰減$\alpha$隨機變化的誤碼率，需要將條件誤比特率$P_2\left({\gamma }_b\right)$對${\gamma }_b$的概率密度函數求平均，即衰減變化的誤比特率為
$$P_2={\int }_0^{\infty }{P}_2\left({\gamma }_b\right)p\left({\gamma }_b\right)d{\gamma }_b\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

其中$p\left({\gamma }_b\right)$是$\alpha$為隨機變量${\gamma }_b$時的概率密度函數。因為作為隨機變量的信號衰減$\alpha$服從瑞利分布，所以${\alpha }^2$是自由度為2的${\chi }^2$分布，即${\alpha }^2\backsim {\chi }^2\left(2\right)$。因此，${\gamma }_b$也是${\chi }^2$分布，則其概率密度函數為
$$p\left({\gamma }_b\right)=\frac{1}{{\bar{\gamma }}_b}{e}^{?{\gamma }_b/{\bar{\gamma }}_b}\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

其中${\bar{\gamma }}_b$為平均信噪比，定義為${\bar{\gamma }}_b=\frac{{\xi }_g}{N_0}E\left({\alpha }^2\right)=2\frac{{\xi }_g}{N_0}$。其中$E\left({\alpha }^2\right)$為${\alpha }^2$的均值，為2。
? ? ? ?因此，將式(2.6)的${\gamma }_b$的概率密度函數$p\left({\gamma }_b\right)$代入衰減變化的誤比特率公式(2.5)中，計算積分，即可得到誤比特率為
$$P_2=\frac{1}{2}\left(1?\sqrt{\frac{{\bar{\gamma }}_b}{1+{\bar{\gamma }}_b}}\right)=\frac{1}{2}?1?\sqrt{\frac{2\frac{{\xi }_g}{N_0}}{1+2\frac{{\xi }_g}{N_0}}}?\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

定義比特信噪比為$BSNR=2\frac{{\xi }_g}{N_0}$。因此式(2.7)的誤比特率可進一步用比特信噪比表示為
$$P_2=\frac{1}{2}\left(1?\sqrt{\frac{BSNR}{1+BSNR}}\right)\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

式(2.8)即為在單徑瑞利信道中使用BPSK相干解調的理論誤比特率。需要注意的是，在推導過程中，我們是假定在慢衰落信道中得到的相移估計值是無噪的，而這種理想條件在實際中并不成立。

三、使用MATLAB繪制理論誤碼率曲線

? ? ? ?首先MATLAB軟件自帶有繪制誤比特率曲線的工具，即bertool工具。我們先使用bertool工具來繪制理論誤比特率曲線，設置比特信噪比(Eb/N0)范圍為-30到30dB，信道選用單徑瑞利信道，調制類型選用BPSK，并使用相干解調，設置如圖3.1所示：

圖3.1: bertool工具的參數設置

? ? ? ?使用bertool工具繪制出的理論誤比特率曲線如圖3.2所示，可以得出隨著比特信噪比的增加，使用BPSK相干解調的理論誤比特率逐漸減小。在比特信噪比為10dB時誤比特率約為0.02327。

圖3.2: 使用bertool工具繪制出的理論誤碼率曲線

? ? ? ?接著我根據推導出的單徑瑞利信道中的使用BPSK相干解調的理論誤比特率公式，即式(2.8)，使用MATLAB編寫代碼來實現理論誤比特率曲線的繪制。使用推導出的公式得出的理論誤比特率曲線如圖3.3所示。

圖3.3: 使用推導出的公式得出的理論誤碼率曲線

根據圖形也可以得出隨著比特信噪比的增加，理論誤碼率在逐漸減小，當比特信噪比為10dB時誤碼率約為0.02327，該數值基本與使用bertool工具繪制出的理論誤碼率相同。

四、總結

? ? ? ?謝謝大家看到這里！這次的作業時隔將近一個月才寫好，期間主要在搞其他任務，哈哈不過總算是寫完一半了，這次主要是通過看經典書籍來消化知識的，對于第二問的信道估計也快解決了，應該很快就能做出來，還請讀者們多多指教，謝謝！世上無難事，只要肯登攀。加油！

這里是本文的參考文獻：
[1]:數字通信（第四版）
[2]:單徑瑞利信道中的BPSK相干解調的（理論）誤碼率性能
[3]:MATLAB的bertool繪制誤碼率理論值與仿真值對比曲線
[4]:dB的換算

總結

以上是生活随笔為你收集整理的单径瑞利信道的BPSK相干解调的理论误码率推导与MATLAB分析(1)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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