信號(hào)采樣與重建

一、信號(hào)分類(lèi)

連續(xù)信號(hào)：
$$\begin{gathered} X_a(t)=Acos(\Omega t+\theta )=Acos(2\pi Ft+\theta ) \\ =\frac{A}{2}{e}^{j(\Omega t+\theta )}+\frac{A}{2}{e}^{?j(\Omega t+\theta )}. \end{gathered}$$
可以將其看作在復(fù)平面內(nèi)向正頻率逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)和負(fù)頻率順時(shí)針旋轉(zhuǎn)信號(hào)之和。

離散信號(hào)：
$$X(n)=Acos(\omega n+\theta )=Acos(2\pi fn+\theta ).$$
其中，$\omega$表示采樣間隔內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，$f$表示采樣間隔內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)（見(jiàn)上圖），只有當(dāng)$f$為有理數(shù)（$f=K/N,KandNisInt$）時(shí)信號(hào)為周期信號(hào)（離散點(diǎn)周期出現(xiàn)）。

此外可以簡(jiǎn)單的得知，信號(hào)頻率$|\omega |<\pi$或$|f|<1/2$的信號(hào)是唯一確定的，更高頻率的信號(hào)總是可以在此區(qū)間找得到等效信號(hào)，或者說(shuō)，是$|\omega |<\pi$內(nèi)信號(hào)的混疊（可以思考下相機(jī)拍攝視頻中，車(chē)輪倒轉(zhuǎn)的現(xiàn)象）。

二、Nyquist采樣

1、從單一頻率正弦信號(hào)離散化過(guò)程理解采樣原理

采樣是對(duì)連續(xù)信號(hào)的離散化，假定，采樣間隔為T(mén)，則采樣頻率$F_s=1/T$：
$$\begin{gathered} X_a(nT)=X(n)=Acos(\Omega ?nT+\theta )=Acos(2\pi f?nT+\theta ) \\ =Acos(\omega n+\theta )=Acos(2\pi fn+\theta ). \end{gathered}$$
所以：
$$\begin{gathered} \omega =\Omega ?T \\ f=F?T=F/F_s \end{gathered}$$
而前面我們又知道，離散信號(hào)的頻率是存在范圍限制的：
$$\begin{gathered} ?\frac{1}{2}<f=F/F_s<\frac{1}{2}. \\ \to |F_s|>2|F| \end{gathered}$$
即，采樣頻率應(yīng)當(dāng)滿足大于模擬頻率的兩倍的關(guān)系，這樣才能保證原始信號(hào)是唯一確定的，否則會(huì)出現(xiàn)線高頻與低頻信號(hào)采樣結(jié)果的混疊，多對(duì)一。

2、從頻域分析信號(hào)采樣與重建

我們也可以從頻域分析采樣的過(guò)程，如下圖，對(duì)于一個(gè)輸入待采樣信號(hào)$X_c(t)$，采樣得到離散信號(hào)$X(n)$。

在頻域中，假設(shè)輸入信號(hào)為$X_c(j\Omega )$，采樣得到離散信號(hào)頻域特性如下圖$X_s(j\Omega )$。

采樣得到的數(shù)字信號(hào)重建原始信號(hào)的過(guò)程實(shí)際可以理解為一個(gè)低通濾波的過(guò)程，即通過(guò)濾波器$H_r(j\Omega )$實(shí)現(xiàn)信號(hào)的截取得到原始數(shù)據(jù)。（也可以認(rèn)為，采樣離散化過(guò)程實(shí)際上是引入了高次諧波，重建過(guò)程就是去除這些干擾）。

可以圖像上直觀認(rèn)識(shí)到，重建的條件，就是：

對(duì)于帶限信號(hào)：$X_c(j\Omega )for|\Omega |>{\Omega }_N$，如果采樣頻率${\Omega }_s=2\pi /T>2{\Omega }_N$，則$X_c(t)$可以被它的采樣序列$x[n]=x_c(nT),n=0,\pm 1,\pm 2...$確定。

這就是Nyquist采樣定理。

3、ZOH波形重建

上面的分析可以注意到一個(gè)問(wèn)題：推演結(jié)果是建立在一個(gè)非因果系統(tǒng)之上，即重建需要知道信號(hào)全部時(shí)間序列的信息。而對(duì)于一些實(shí)時(shí)信號(hào)的采集重建需要需要的是一個(gè)因果重建器$h(t)$，使得：
$$x^{\prime }(t)=\sum _{n=?\infty }^{t/T}x(nT)h(t?nT)$$
較好的重建器應(yīng)當(dāng)使得$x^{\prime }(t)$趨近于原始信號(hào)$x(t)$。實(shí)際中，采用的是一種零階保持電路進(jìn)行逼近重建：

但是對(duì)于該重建器，其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)如下圖：

可以看到，重建器實(shí)際是存在高頻部分無(wú)限振蕩，這使得重建的過(guò)程引入了不需要的高頻信號(hào)，對(duì)于這部分信號(hào)我們應(yīng)該去除，我們可以簡(jiǎn)單的使用一個(gè)低通濾波進(jìn)行處理。

所以，一個(gè)完整的信號(hào)采樣和重建的過(guò)程可以如下圖所示：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的信号采样与重建的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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