用線性同余法生成偽隨機(jī)數(shù)

在計(jì)算機(jī)上可以用物理方法來(lái)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，但價(jià)格昂貴，不能重復(fù)，使用不便。另一種方法是用數(shù)學(xué)遞推公式產(chǎn)生，這樣產(chǎn)生的序列與真正的隨機(jī)數(shù)序列不同，所以稱為偽隨機(jī)數(shù)或偽隨機(jī)序列，只要方法和參數(shù)選擇合適，所產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)就能滿足均勻性和獨(dú)立性，與真正的隨機(jī)數(shù)具有相近的性質(zhì)。

產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法是先用一定的方法產(chǎn)生[0,1]均勻分布的隨機(jī)數(shù)，然后通過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)淖儞Q就可以得到符合某一概率模型的隨機(jī)數(shù)。

原理：假設(shè)我們要生成偽隨機(jī)數(shù)列為R0、R1、R2…。首先，我們根據(jù)偽隨機(jī)數(shù)的種子，用下列公式計(jì)算第一個(gè)偽隨機(jī)數(shù)R0
R0=（A*種子+C）mod M
接下來(lái)用R0生成R1，R1生成R2，遞歸即可

當(dāng)a=0時(shí)為和同余法，當(dāng)c=0時(shí)為乘同余法，c≠0時(shí)為混合同余法

常用的產(chǎn)生[0,1]均勻分布的隨機(jī)數(shù)的方法有乘同余法和混合同余法。

簡(jiǎn)而言之，線性同余法就是將當(dāng)前的偽隨機(jī)數(shù)值乘以A再加上C,然后將除以M得到的余數(shù)作為下一個(gè)偽隨機(jī)數(shù)。在線性同余法中，最近一次生成的偽隨機(jī)數(shù)的值就是內(nèi)部狀態(tài)，偽隨機(jī)數(shù)的種子被用來(lái)對(duì)內(nèi)部狀態(tài)進(jìn)行初始化。

在線性同余法中，只要謹(jǐn)慎選擇A、C、M的值，就能夠很容易地生成具備隨機(jī)性的偽隨機(jī)數(shù)列。

由于偽隨機(jī)數(shù)是除以M得到的余數(shù)，因此其范圍必定是0~M-1，而且生成的隨機(jī)數(shù)會(huì)呈現(xiàn)一定周期（打個(gè)比方，x mod 12 代表的是鐘表刻度，它的值永遠(yuǎn)在0-11之間,這個(gè)概念在數(shù)學(xué)里叫”同余”）。而且根據(jù)A、C、M的值，最終只能生成上述范圍中的一部分值（因此周期會(huì)縮短）。

線性同余法的最大周期是m，但一般情況下會(huì)小于m。要使周期達(dá)到最大，應(yīng)該滿足以下條件：
(1) c和m互質(zhì)；
(2) m的所有質(zhì)因子的積能整除a-1；
(3) 若m是4的倍數(shù)，則a-1也是；
(4) a，c，r0（初值，一般即種子）都比m小；
(5) a，c是正整數(shù)。

線性同余方法速度快，如果對(duì)乘數(shù)和模數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x擇，可以滿足用于評(píng)價(jià)一個(gè)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器的3 種準(zhǔn)則：
(1)這個(gè)函數(shù)應(yīng)該是一個(gè)完整周期的產(chǎn)生函數(shù)。也就是說(shuō)，這個(gè)函數(shù)應(yīng)該在重復(fù)之前產(chǎn)生出0 到m之間的所有數(shù)；
(2)產(chǎn)生的序列應(yīng)該看起來(lái)是隨機(jī)的；
(3)這個(gè)函數(shù)應(yīng)該用32bit 算術(shù)高效實(shí)現(xiàn)。

使用混合同余法
Ri+1=(a*Ri+c)mod(m)
Yi+1=Ri+1/m
在matlab中自己選取a,c,m與其內(nèi)置函數(shù)rand比較：

function A = fakerand( a,c,m,r0 ) A=zeros(100,1); R=zeros(100,1); R(1)=mod((a*r0+c),m); A(1)=R(1)/m; for i=1:99R(i+1)=mod((a*R(i)+c),m);A(i+1)=R(i+1)/m; end mean(A)ans =0.5345 var(A)ans =0.0768

使用MATLAB內(nèi)置函數(shù)rand:

mean(A)ans =0.4940>> var(A)ans =0.0835>>

其實(shí)兩者相差不大

總結(jié)

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