介紹：系統(tǒng)建模

設(shè)計控制體統(tǒng)的第一步是通過自然規(guī)律或者實驗數(shù)據(jù)建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。我們會引進(jìn)狀態(tài)空間和傳遞函數(shù)來代表系統(tǒng)。然后我們回顧一些基本的機械或者電力系統(tǒng)模型，并且會在MATLAB中展示怎么近一步分析。

本教程中使用到的關(guān)鍵Matlab命令是：tf，ss。

目錄

動態(tài)系統(tǒng)

按確定性規(guī)律隨時間演化的系統(tǒng)，稱為動態(tài)系統(tǒng)。對于很多物理模型來說，這種規(guī)律可以表示為一組一價微分方程：(1)

在上面的方程中，

是狀態(tài)向量，由n個狀態(tài)變量組成。例如在一個簡易的質(zhì)量塊-彈簧-阻尼系統(tǒng)中，兩個狀態(tài)變量可以是質(zhì)量塊的位置和速度。

是輸入信號向量，表示“外力”作用在系統(tǒng)上，f是狀態(tài)向量對時間求導(dǎo)后的非線性函數(shù)。

任意一時刻的狀態(tài)

可能都被初始狀態(tài)

和

入決定。雖然狀態(tài)變量并不是獨立的，但狀態(tài)變量有最小個數(shù)，假設(shè)為n。n與系統(tǒng)的階數(shù)和狀態(tài)空間的維數(shù)相關(guān)。系統(tǒng)的階數(shù)通常與儲能元素的個數(shù)一致。

在Eq.(1)中的關(guān)系是很普遍的可以用來描述很多系統(tǒng)，但是，它很難分析。通常有兩種簡化方法。第一，如果函數(shù)f不隨時間變化，i.e.

,然后就可以說是定長系統(tǒng)。這是一種很合理的假設(shè)，因為自然規(guī)律不隨時間變化。對于定常系統(tǒng)來說，函數(shù)f的參數(shù)或系數(shù)是固定的。然而控制的輸入

可能與時間相關(guān)。

第二通常的假設(shè)是關(guān)于系統(tǒng)的線性度的。實際上，幾乎每一個物理系統(tǒng)都是非線性的。換句話說，f是關(guān)于狀態(tài)和輸入的很復(fù)雜的函數(shù)。這些非線性產(chǎn)生于很多不同的方面，最常見的一種是，系統(tǒng)的一個元素達(dá)到了系統(tǒng)運轉(zhuǎn)中的物理極限，就是說系統(tǒng)‘飽和’。不過，在一個足夠小的工作范圍內(nèi)，大多數(shù)系統(tǒng)的動態(tài)近似線性，即

。

直到電腦出現(xiàn)，只有分析線性定常系統(tǒng)是可行的。因此，大部分控制理論是基于上面的兩個假設(shè)。幸運的是，正如我們將看到的，這些結(jié)果已被證明是非常有效的，許多重大的工程挑戰(zhàn)已經(jīng)使用LTI技術(shù)解決。事實上，反饋控制系統(tǒng)的真正的優(yōu)勢是他們可以工作，在不可避免的不確定性建模的情況下。

狀態(tài)空間模型

對于線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)如下：(2)

(3)

x為狀態(tài)向量，

為狀態(tài)向量對事件求導(dǎo)，u為輸入或者控制向量，y為輸出向量，A為系統(tǒng)矩陣，B為輸入矩陣，C為輸出矩陣。

輸出方程式(3)是必不可少的，因為有些狀態(tài)變量不容易直接觀察或者不感興趣。通過控制器，輸出矩陣C用于指定狀態(tài)變量。D是零矩陣時，也常常沒有直接的前饋控制。

狀態(tài)空間表示法，也被稱為時域表示，可以輕松地處理多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，具有非零初始條件的系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)(通過公式(1))。因此，狀態(tài)空間表示是廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代控制理論。

傳遞函數(shù)模型

LTI系統(tǒng)有極其重要的屬性，如果系統(tǒng)的輸入是正弦的，然后輸出將正弦在相同的頻率，但一般具有不同的幅度和相位。這些的幅度和相位差作為頻率的函數(shù)被稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

使用拉普拉斯變換，它可以把一個系統(tǒng)的時域到頻域表示輸出/輸入表示，稱為傳遞函數(shù)。在這樣做時，它也將微分方程化為代數(shù)方程往往是更容易分析。

一個時域函數(shù)的拉普拉斯變換，

，定義如下：(4)

其中參數(shù) 是一個復(fù)雜的頻率變量。在實踐中，你可以直接評估的拉普拉斯變換是非常罕見的。通常都是通過查表發(fā)現(xiàn)你感興趣的函數(shù)變換：拉普拉斯變換表Laplace Transform Table

一個函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換是特別重要的：(5)

頻域方法通常用來分析線性時不變的單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)，例如由一個常系數(shù)微分方程如下：(6)

這個方程的拉普拉斯變換如下：(7)

和

分別是

和

的拉式變換。我們假設(shè)每個初始條件

，

和

為零。傳遞函數(shù)如下：(8)

傳遞函數(shù)的分子和分母可變換成所謂的零極點增益形式：(9)

傳遞函數(shù)的零點是

，是分子多項式的根。傳遞函數(shù)的極點是

，是分母多項式的根。無論是零、極點可能是復(fù)值(有實部和虛部)。系統(tǒng)增益為

。

請注意，我們還可以直接從狀態(tài)空間確定的傳遞函數(shù)表示如下：(10)

機械系統(tǒng)

牛頓定律是分析機械系統(tǒng)的基礎(chǔ)。牛頓第二定律，公式(11)，表明作用在物體上的力的總和等于質(zhì)量乘以加速度。牛頓第三定律，指出如果兩體連接，然后他們的經(jīng)驗同樣大小的力作用在相反的方向。(11)

應(yīng)用該方程時，最好是建立一個受力分析圖(FBD)顯示所有施加的力。

例：質(zhì)量塊-彈簧-阻尼系統(tǒng)

這個系統(tǒng)的受力分析圖如下所示。彈力與質(zhì)量塊的位移x成正比，粘性阻尼力與質(zhì)量的速度

成正比。因為這兩個力阻礙彈簧的運動，因為他們的受力方向為X的負(fù)方向。注意到，當(dāng)

時，彈簧未拉伸。

現(xiàn)在我們進(jìn)行總結(jié)和運用牛頓第二定律力量，方程(11)。在這種情況下，沒有力作用在Y 軸方向；然而，在X方向我們可得：(12)

這個方程，稱為控制方程，完全刻畫系統(tǒng)的動態(tài)狀態(tài)。后來，我們將看到如何使用它計算系統(tǒng)的響應(yīng)，在任何外部輸入

的情況下，以及分析系統(tǒng)的性能，如穩(wěn)定性和性能。

確定的質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示，我們必須降低二階方程為一組兩個一階微分方程。為此，我們選擇的位置和速度作為狀態(tài)變量。(13)

注意，這些狀態(tài)變量分別對應(yīng)于在彈簧的勢能和質(zhì)量塊的動能。經(jīng)常選擇狀態(tài)變量時，它有助于考慮系統(tǒng)中德獨立的儲能元件。

在這種情況下，狀態(tài)方程如下：(14)

如果我們在控制質(zhì)量塊的位置感興趣，然后輸出方程如下：(15)

在MATLAB中輸入狀態(tài)空間模型

現(xiàn)在我們將告訴你如何通過m-file在MATLAB中輸入狀態(tài)空間方程。讓我們?yōu)槊總€變量分配數(shù)值。

創(chuàng)建一個新文件，輸入以下命令。

假設(shè)初始條件為零時拉式變換為：(16)

傳遞函數(shù)為(17)

在MATLAB中輸入傳遞函數(shù)模型

現(xiàn)在我們將告訴你如何通過m-file在MATLAB中輸入傳遞函數(shù)。輸入如下命令在你定義過系統(tǒng)參數(shù)的m文件中。

請注意，我們所使用的符號變量s來定義我們的傳遞函數(shù)模型。大多數(shù)情況下，我們建議使用此方法；然而，在某些情況下，例如在舊版本的MATLAB 或者要連接Simulink時，你可能需要直接使用的分子和分母多項式的系數(shù)定義的傳遞函數(shù)模型。在這些情況下，使用下面的命令：

電氣系統(tǒng)

像牛頓定律在機械系統(tǒng)，基爾霍夫電路法是電力系統(tǒng)分析的基本工具。基爾霍夫電流定律(KCL)狀態(tài)的電流進(jìn)入和退出一個電路節(jié)點的總和必須等于。基爾霍夫電壓定律(KVL)指出，電壓差在電路中的任何閉環(huán)的總和是零。應(yīng)用KVL時，源電壓通常為陽性和負(fù)載電壓作為負(fù)。

例：RLC電路

現(xiàn)在我們考慮一個簡單的三個電子元件的串聯(lián)組合：一個電阻，電感，和一個電容器，被稱為一個RLC電路。

由于該電路是一個單環(huán)，每個節(jié)點只具有一個輸入和輸出；因此，由KCL知整個電路中的電流相同。現(xiàn)在應(yīng)用KVL，我們得到以下方程。(18)

我們注意到，方程為RLC電路對質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)類似的形式。特別是，他們都是二階系統(tǒng)，電荷(積分電流)對應(yīng)的位移，感應(yīng)系數(shù)對應(yīng)質(zhì)量，電阻對應(yīng)粘性阻尼，電容對應(yīng)彈簧剛度。在理解的動力系統(tǒng)時，這些類比和像他們這樣的類比會成為非常有用的概念。

建立狀態(tài)空間時，通過選擇電荷和電流作為狀態(tài)變量。(19)

(20)

狀態(tài)方程為：(21)

選擇電流作為輸出：(22)

傳遞函數(shù)可以求得通過做拉式變化：(23)

(24)

RLC的狀態(tài)空間和傳遞函數(shù)模型可以寫入matlab，使用與討論了的質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)的相同方法。

系統(tǒng)辨識

在本節(jié)中，我們已經(jīng)看到了如何使用基本的物理原理建立模型系統(tǒng)；然而，這往往是不可能的因為系統(tǒng)的參數(shù)是不確定的，或基本過程是根本不知道。在這些情況下，我們必須依靠實驗測量和統(tǒng)計技術(shù)來開發(fā)一個系統(tǒng)模型，這一過程稱為系統(tǒng)辨識。

系統(tǒng)變換

在MATLAB的大部分操作對于對傳遞函數(shù)模型，狀態(tài)空間模型，或零極點增益形式都可以很好的運行。此外，如果有需要的話，三種形式的轉(zhuǎn)換是很簡單的。如果你需要學(xué)習(xí)如何從一種表示形式轉(zhuǎn)換為其他，詳見系統(tǒng)轉(zhuǎn)換介紹頁Introduction: System Conversions。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab and操作,系统建模 | Control Tutorials for Matlab and Simulink的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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