為什么 lnx 求導是 1/x？?www.zhihu.com

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現代的數學體系——包括一般的高中和大學教學，一般都將“對數函數”定義為“指數函數”的反函數。不過，鮮為人知的是，在數學史上，“對數”這個概念反而比“指數”出現的更早，而且他們都不是靠對方的“反函數”來定義的。

所以，讓我們來講一個故事吧。

讓我們回到16世紀到17世紀之交。那是個天文學蓬勃發(fā)展卻沒有計算器的時代，因此天文學家和數學家一直在尋找高效計算乘法的方法，比如利用當時已經很熟悉的三角函數：

注意，等式左邊是兩個數的乘法，右邊就只有三個加法和一個簡單的除以2。因此，如果我們想做兩個數

的乘法，我們就可以這樣：
(0)先挪一挪小數點，讓兩個數絕對值都小于1；
(1)查反三角函數表， ，得兩個角度 ；
(2)計算 ；
(3)查三角函數表，得 ；
(4)相加，除以2，最后把小數點挪回去。
這樣我們就用簡單的加減替代了復雜的乘法。至于除法，當時有專門計算 和 的三角倒數表。

不過這樣終究還是麻煩了些，有什么更好的“化乘除為加減”的函數呢？

1544年，一個叫斯蒂菲爾的德國數學家在其著作《整數的算術》中畫了一張“神奇”的表格：

這個表格可以向兩個方向無限延伸，上面是等比數列，下面是等差數列。斯蒂菲爾稱上面一行為“原數”，下面一行為“代理人”，它神奇在哪里呢？
斯蒂菲爾說：原數的乘除法一定可以轉換成代理人的加減法！
例如，想算16*64，只要先查到他們的代理人4和6，然后相加得10，再查得10的原數1024就是乘法結果?；蛘呦胗嬎?56/1024，只要找到代理人8和10，相減得-2，其原數0.25就是除法結果。
（這些東西在我們看來自然平平無奇，只是一群2的冪而已，但我們談論的可是16世紀的事）

不過，當時完全沒有分數冪以至實數冪的概念，因此也就只能淺嘗輒止，當成是對表里這有限幾個數的小把戲而已。但是，這種“等比數列”與“等差數列”冥冥之中的關系，激勵著數學家探索更好的“化乘除為加減”的方法。

終于，一位值得被記住的數學家——蘇格蘭的約翰·納皮爾（John Napier，1550~1617）找到了這樣一個工具，發(fā)表在他的《奇妙的對數定律說明書》（1614）中。我們先來看這樣一個模型：

如圖，

是一條線段， 是一條射線， 和 分布是自 和 出發(fā)沿兩條線移動的動點。其中， 的移動速度恒定，不妨設為 ； 在從 出發(fā)時的速度也為 ，但其瞬時速度總與剩余線段 的長成正比，也就是 。設 ，則 與之間就有某種函數關系。

這個模型有什么性質呢？
它的性質在于，由于

縮短的速度（也就是 的移動速度）總是與 的長度成正比，因此經過固定的時間 后，的長度必然縮減一個固定的倍數！
可以這樣想，假設在 上有一點 ， ， 和 同時從和出發(fā)，則有 ；且經過一段時間的運動之后必然還保持 ，因此也必然保持兩點速度的比例關系；進而，大小模型之間保持恒定的 倍的等比相似關系。

那么，我們假設現在AC經過一定時間后被縮減了

倍，那么就可以看成是先縮減了 倍，再縮減了 倍；因此，縮減 倍所需的時間 一定等于縮減 倍與縮減 倍的時間之和，也就是 。然后，由于 點一直在勻速運動，那么時間就可以通過 點運動的距離 體現出來。因此，我們有

上面我們提到的

和 之間就必然有函數關系

這里的

和 就相當于斯蒂菲爾的“原數”和“代理人”。不過納皮爾給它們起了一個新的名字，由希臘語λογο?（表示思想的文字或符號；比率；計算）和?ριθμο?（數）合成了一個新詞λογ?ριθμο?，直譯為“比數”，放到英文里就是現在用的logarithm。這就是第一個對數，也稱“納皮爾對數”，可以記作 ，其中 與 的函數關系可以用打表或者插值計算出來。

只要我們把

取成一個便于計算的數，比如納皮爾本人取的 （目的是避免小數計算），再打表編制一份對數表，就可以高效地計算數字的乘法了。納皮爾很快便不幸去世了，他的好友布里格斯（Henry Briggs）和子孫等人接過了這份工作。布里格斯于1617年制成了1-1000的十四位常用對數表，也是世界上第一張對數表。最終，1628年，荷蘭人德斯克（E.Decker）和出版商阿德里安·弗拉格（Adrian Vlacg）出版了《對數算數》，囊括了1-100000的十位對數表。

當時的天文學家和數學家都大為感謝對數這一偉大發(fā)明。法國著名天文學家、數學家拉普拉斯就在他的天文學巨著《宇宙體系》中盛贊對數：“……可以把幾個月所做的計算減少到幾天完成，由于縮短了計算工作的時間，我們可以說這種方法使天文學家的壽命被延長了一倍，而且使他們少犯錯誤，以及因為長時間計算而造成的不可避免的煩悶。這種完全由學識而來的發(fā)明是人類精神上的寶貴成就；在工藝上人們依賴自然界的物質和能量才能做出發(fā)明，而計算技術卻只靠人們自己的創(chuàng)作?！?/p>

題外話，清初一位波蘭傳教士穆尼閣來到中國，向中國數學家薛鳳祚等人教授了這種數學知識，他們在1653年合著了《比例對數表》，把logarithm翻譯為“比例數”或“假數”，對應的原來的數則稱作“真數”，并給出了中國第一份對數表?！皩当怼弊畛醯暮x是“假數與真數一一對應的表”，不過后來卻漸漸成為log這一運算的名稱了。

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不過，這與對數的導數又有什么關系呢？

讓我們回到那個模型，我們有

我們又知道

是 縮小的速度， 是 增大的速度，那么就有

也就是

你看，倒數不就出來了嗎。

所以，“對數的導數是自變量的倒數”只不過是“用對數來化乘法為加法”的必然要求而已，目的就是為了滿足上面提到的那個“等比相似性”。

至于為什么這有個負號，那是因為納皮爾對數實際上相當于以1/e為底的對數，與我們今天對數的關系是

。如果想得到我們今天的自然對數 ，我們得計算 ，自然就有

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最后，我們不妨用現代數學的角度再推導一下這個結論：

我們想要一個函數，能夠（在函數表的輔助下）完成化乘除為加減的運算。我們當然希望這個函數足夠好，因此我們假設有函數

，其中 充分光滑，滿足 。

令

，我們知道有 。

因為函數性質充分好（也因為這個問題是想討論

的導數），我們考慮這樣的函數形式：

這樣

。（注意，這是在我們假定了 充分光滑才有的式子）

我們想要有

對任意 成立，因此計算

其中進行了一次第二類積分換元

。
我們自然希望第二項的被積分式為 ，這樣第二項就恰好為 。那么就要求 對任意 都成立。我們當然不希望 恒為零，因此設有 使得 。于是， ，那么就會有

其中

為一個常數。而且我們可以發(fā)現，只要要求 充分光滑（好像這個“充分”只需要 ），這就是解的唯一形式。

不難驗證其滿足要求，也就是說，我們證明了，充分光滑的函數

滿足 ，等價于其導數是個倒數。

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參考文獻：

不可思議的e/陳仁政著. 北京：科學出版社，2005（好玩的數學/張景中主編

總結

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