---

文章參考 | https://segmentfault.com/a/1190000012728513

前言

當(dāng)在10億數(shù)據(jù)進行不到30次比較就能查找到目標(biāo)時，不禁感嘆編程之魅力！

二叉樹

在了解紅黑樹之前，先要了解二叉樹，又叫二叉查找樹、二叉搜索樹、二叉排序樹。二叉樹顧名思義: 是一種每個節(jié)點最多有兩個子節(jié)點的樹，同時遵循 左節(jié)點的值

二叉樹有如下幾個特點：

• 節(jié)點的左子節(jié)點小于節(jié)點本身

• 節(jié)點的右子節(jié)點大于節(jié)點本身

• 左右節(jié)點同樣為二叉搜索樹

下圖就是一棵典型的二叉樹：

它是一種查找次數(shù)小于等于樹高的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。如圖中樹有4層，即樹高為4，當(dāng)我們需要查找8時，經(jīng)過的路線是這樣的：

• 8<9，往左查找

• 8>5，往右查找

• 8>7，往右查找

• 8=8，找到結(jié)果

總共查找4次，等于樹高。這棵樹不管怎么找，查找次數(shù)總是小于等于樹高。

二叉樹的插入同樣遵循上述規(guī)則，會一步一步對比，從而找到插入的位置，可以想象上圖中的8不存在，而是需要插入一個8，結(jié)果與上述路線一致。

二叉樹的刪除會涉及到無子節(jié)點和有子節(jié)點兩種情況，無子節(jié)點直接刪除即可，有子節(jié)點會需要用左邊最大值或右邊最小值替換當(dāng)前刪除節(jié)點，具體不細(xì)聊。

當(dāng)二叉樹插入數(shù)值不均衡時，會出現(xiàn)樹結(jié)構(gòu)的變形與查找性能的損耗，比如現(xiàn)在二叉樹有8，9，12三個值，然后需要插入7，6，5，4，3這五個值時，產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)如下圖所示：

樹會不合理的增高，查找效率也無法得到保證。紅黑樹就是為了解決這種情況而誕生的。

紅黑樹

紅黑樹是一種自平衡的二叉查找樹，是一種高效的查找樹。它是由 Rudolf Bayer 于1972年發(fā)明，在當(dāng)時被稱為對稱二叉 B 樹(symmetric binary B-trees)。后來，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改為如今的紅黑樹。紅黑樹具有良好的效率，它可在 O(logN)?時間內(nèi)完成查找、增加、刪除等操作。因此，紅黑樹在業(yè)界應(yīng)用很廣泛，比如 Java 中的 TreeMap，JDK 1.8 中的 HashMap、C++ STL 中的 map 均是基于紅黑樹結(jié)構(gòu)實現(xiàn)的。考慮到紅黑樹是一種被廣泛應(yīng)用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，所以我們很有必要去弄懂它。

性質(zhì)

通過上面的二叉查找樹可以知道，普通的二叉查找樹在極端情況下可退化成鏈表，此時的增刪查效率都會比較低下。為了避免這種情況，就出現(xiàn)了一些自平衡的查找樹，比如 AVL，紅黑樹等。這些自平衡的查找樹通過定義一些性質(zhì)，將任意節(jié)點的左右子樹高度差控制在規(guī)定范圍內(nèi)，以達(dá)到平衡狀態(tài)。以紅黑樹為例，紅黑樹通過如下的性質(zhì)定義實現(xiàn)自平衡：

• 每個節(jié)點要么是黑色，要么是紅色。

• 根節(jié)點是黑色。

• 每個葉子節(jié)點(NIL)是黑色。

• 每個紅色結(jié)點的兩個子結(jié)點一定都是黑色。

• 任意一結(jié)點到每個葉子結(jié)點的路徑都包含數(shù)量相同的黑結(jié)點。

有了上面的幾個性質(zhì)作為限制，即可避免二叉查找樹退化成單鏈表的情況。但是，僅僅避免這種情況還不夠，這里還要考慮某個節(jié)點到其每個葉子節(jié)點路徑長度的問題。如果某些路徑長度過長，那么，在對這些路徑上的及誒單進行增刪查操作時，效率也會大大降低。這個時候性質(zhì)4和性質(zhì)5用途就凸顯了，有了這兩個性質(zhì)作為約束，即可保證任意節(jié)點到其每個葉子節(jié)點路徑最長不會超過最短路徑的2倍。原因如下：

當(dāng)某條路徑最短時，這條路徑必然都是由黑色節(jié)點構(gòu)成。當(dāng)某條路徑長度最長時，這條路徑必然是由紅色和黑色節(jié)點相間構(gòu)成(性質(zhì)4限定了不能出現(xiàn)兩個連續(xù)的紅色節(jié)點)。而性質(zhì)5又限定了從任一節(jié)點到其每個葉子節(jié)點的所有路徑必須包含相同數(shù)量的黑色節(jié)點。此時，在路徑最長的情況下，路徑上紅色節(jié)點數(shù)量 = 黑色節(jié)點數(shù)量。該路徑長度為兩倍黑色節(jié)點數(shù)量，也就是最短路徑長度的2倍。舉例說明一下，請看下圖：

上圖畫出了從根節(jié)點 M 出發(fā)的到其葉子節(jié)點的最長和最短路徑。這里偷懶只畫出了兩條最長路徑，實際上最長路徑有4條，分別為：

M -> Q -> O -> N

M -> Q -> O -> P

M -> Q -> Y -> X

M -> Q -> Y -> Z

長度為4，最短路徑為 M -> E，長度為2。最長路徑的長度正好為最短路徑長度的2倍。

前面說了關(guān)于紅黑樹的一些性質(zhì)，這里還需要補充一些其他方面的東西。在紅黑樹簡介一節(jié)中說到紅黑樹被發(fā)明出來的時候并不叫紅黑樹，而是叫做對稱二叉 B 樹，從名字中可發(fā)現(xiàn)紅黑樹和 B 樹(這里指的是2-3樹)或許有一定的關(guān)聯(lián)，事實也正是如此。如果對紅黑樹的性質(zhì)稍加修改，就能讓紅黑樹和B樹形成一一對應(yīng)的關(guān)系。關(guān)于紅黑樹和 B 樹關(guān)系的細(xì)節(jié)這里不展開說明了，有興趣的同學(xué)可以參考《算法》第4版，那本書上講的很透徹。

操作

紅黑樹的基本操作和其他樹形結(jié)構(gòu)一樣，一般都包括查找、插入、刪除等操作。前面說到，紅黑樹是一種自平衡的二叉查找樹，既然是二叉查找樹的一種，那么查找過程和二叉查找樹一樣，比較簡單，這里不再贅述。相對于查找操作，紅黑樹的插入和刪除操作就要復(fù)雜的多。尤其是刪除操作，要處理的情況比較多，不過大家如果靜下心來去看，會發(fā)現(xiàn)其實也沒想的那么難。好了，廢話就說到這，接下來步入正題吧。

旋轉(zhuǎn)操作

在分析插入和刪除操作前，這里需要插個隊，先說明一下旋轉(zhuǎn)操作，這個操作在后續(xù)操作中都會用得到。旋轉(zhuǎn)操作分為左旋和右旋，左旋是將某個節(jié)點旋轉(zhuǎn)為其右孩子的左孩子，而右旋是節(jié)點旋轉(zhuǎn)為其左孩子的右孩子。這話聽起來有點繞，所以還是請看下圖：

上圖包含了左旋和右旋的示意圖，這里以右旋為例進行說明，右旋節(jié)點 M 的步驟如下：

• 將節(jié)點 M 的左孩子引用指向節(jié)點 E 的右孩子

• 將節(jié)點 E 的右孩子引用指向節(jié)點 M，完成旋轉(zhuǎn)

上面分析了右旋操作，左旋操作與此類似，大家有興趣自己畫圖試試吧，這里不再贅述了。旋轉(zhuǎn)操作本身并不復(fù)雜，這里先分析到這吧。

插入

紅黑樹的插入過程和二叉查找樹插入過程基本類似，不同的地方在于，紅黑樹插入新節(jié)點后，需要進行調(diào)整，以滿足紅黑樹的性質(zhì)。性質(zhì)1規(guī)定紅黑樹節(jié)點的顏色要么是紅色要么是黑色，那么在插入新節(jié)點時，這個節(jié)點應(yīng)該是紅色還是黑色呢？答案是紅色，原因也不難理解。如果插入的節(jié)點是黑色，那么這個節(jié)點所在路徑比其他路徑多出一個黑色節(jié)點，這個調(diào)整起來會比較麻煩(參考紅黑樹的刪除操作，就知道為啥多一個或少一個黑色節(jié)點時，調(diào)整起來這么麻煩了)。如果插入的節(jié)點是紅色，此時所有路徑上的黑色節(jié)點數(shù)量不變，僅可能會出現(xiàn)兩個連續(xù)的紅色節(jié)點的情況。這種情況下，通過變色和旋轉(zhuǎn)進行調(diào)整即可，比之前的簡單多了。

接下來，將分析插入紅色節(jié)點后紅黑樹的情況。這里假設(shè)要插入的節(jié)點為 N，N 的父節(jié)點為 P，祖父節(jié)點為 G，叔叔節(jié)點為 U。插入紅色節(jié)點后，會出現(xiàn)5種情況，分別如下：

情況一：

插入的新節(jié)點 N 是紅黑樹的根節(jié)點，這種情況下，我們把節(jié)點 N 的顏色由紅色變?yōu)楹谏?#xff0c;性質(zhì)2(根是黑色)被滿足。同時 N 被染成黑色后，紅黑樹所有路徑上的黑色節(jié)點數(shù)量增加一個，性質(zhì)5(從任一節(jié)點到其每個葉子的所有簡單路徑都包含相同數(shù)目的黑色節(jié)點)仍然被滿足。

情況二：

N 的父節(jié)點是黑色，這種情況下，性質(zhì)4(每個紅色節(jié)點必須有兩個黑色的子節(jié)點)和性質(zhì)5沒有受到影響，不需要調(diào)整。

情況三：

N 的父節(jié)點是紅色(節(jié)點 P 為紅色，其父節(jié)點必然為黑色)，叔叔節(jié)點 U 也是紅色。由于 P 和 N 均為紅色，所有性質(zhì)4被打破，此時需要進行調(diào)整。這種情況下，先將 P 和 U 的顏色染成黑色，再將 G 的顏色染成紅色。此時經(jīng)過 G 的路徑上的黑色節(jié)點數(shù)量不變，性質(zhì)5仍然滿足。但需要注意的是 G 被染成紅色后，可能會和它的父節(jié)點形成連續(xù)的紅色節(jié)點，此時需要遞歸向上調(diào)整。

情況四：

N 的父節(jié)點為紅色，叔叔節(jié)點為黑色。節(jié)點 N 是 P 的右孩子，且節(jié)點 P 是 G 的左孩子。此時先對節(jié)點 P 進行左旋，調(diào)整 N 與 P 的位置。接下來按照情況五進行處理，以恢復(fù)性質(zhì)4。

這里需要特別說明一下，上圖中的節(jié)點 N 并非是新插入的節(jié)點。當(dāng) P 為紅色時，P 有兩個孩子節(jié)點，且孩子節(jié)點均為黑色，這樣從 G 出發(fā)到各葉子節(jié)點路徑上的黑色節(jié)點數(shù)量才能保持一致。既然 P 已經(jīng)有兩個孩子了，所以 N 不是新插入的節(jié)點。情況四是由以 N 為根節(jié)點的子樹中插入了新節(jié)點，經(jīng)過調(diào)整后，導(dǎo)致 N 被變?yōu)榧t色，進而導(dǎo)致了情況四的出現(xiàn)。考慮下面這種情況(PR 節(jié)點就是上圖的 N 節(jié)點)：

如上圖，插入節(jié)點 N 并按情況三處理。此時 PR 被染成了紅色，與 P 節(jié)點形成了連續(xù)的紅色節(jié)點，這個時候就需按情況四再次進行調(diào)整。

情況五：

N 的父節(jié)點為紅色，叔叔節(jié)點為黑色。N 是 P 的左孩子，且節(jié)點 P 是 G 的左孩子。此時對 G 進行右旋，調(diào)整 P 和 G 的位置，并互換顏色。經(jīng)過這樣的調(diào)整后，性質(zhì)4被恢復(fù)，同時也未破壞性質(zhì)5。

插入總結(jié)

上面五種情況中，情況一和情況二比較簡單，情況三、四、五稍復(fù)雜。但如果細(xì)心觀察，會發(fā)現(xiàn)這三種情況的區(qū)別在于叔叔節(jié)點的顏色，如果叔叔節(jié)點為紅色，直接變色即可。如果叔叔節(jié)點為黑色，則需要選選擇，再交換顏色。當(dāng)把這三種情況的圖畫在一起就區(qū)別就比較容易觀察了，如下圖：

刪除

相較于插入操作，紅黑樹的刪除操作則要更為復(fù)雜一些。刪除操作首先要確定待刪除節(jié)點有幾個孩子，如果有兩個孩子，不能直接刪除該節(jié)點。而是要先找到該節(jié)點的前驅(qū)(該節(jié)點左子樹中最大的節(jié)點)或者后繼(該節(jié)點右子樹中最小的節(jié)點)，然后將前驅(qū)或者后繼的值復(fù)制到要刪除的節(jié)點中，最后再將前驅(qū)或后繼刪除。由于前驅(qū)和后繼至多只有一個孩子節(jié)點，這樣我們就把原來要刪除的節(jié)點有兩個孩子的問題轉(zhuǎn)化為只有一個孩子節(jié)點的問題，問題被簡化了一些。我們并不關(guān)心最終被刪除的節(jié)點是否是我們開始想要刪除的那個節(jié)點，只要節(jié)點里的值最終被刪除就行了，至于樹結(jié)構(gòu)如何變化，這個并不重要。

紅黑樹刪除操作的復(fù)雜度在于刪除節(jié)點的顏色，當(dāng)刪除的節(jié)點是紅色時，直接拿其孩子節(jié)點補空位即可。因為刪除紅色節(jié)點，性質(zhì)5(從任一節(jié)點到其每個葉子的所有簡單路徑都包含相同數(shù)目的黑色節(jié)點)仍能夠被滿足。當(dāng)刪除的節(jié)點是黑色時，那么所有經(jīng)過該節(jié)點的路徑上的黑節(jié)點數(shù)量少了一個，破壞了性質(zhì)5。如果該節(jié)點的孩子為紅色，直接拿孩子節(jié)點替換被刪除的節(jié)點，并將孩子節(jié)點染成黑色，即可恢復(fù)性質(zhì)5。但如果孩子節(jié)點為黑色，處理起來就要復(fù)雜的多。分為6種情況，下面會展開說明。

在展開說明之前，我們先做一些假設(shè)，方便說明。這里假設(shè)最終被刪除的節(jié)點為X(至多只有一個孩子節(jié)點)，其孩子節(jié)點為N，X的兄弟節(jié)點為S，S的左節(jié)點為 SL，右節(jié)點為 SR。接下來討論是建立在節(jié)點 X 被刪除，節(jié)點 N 替換X的基礎(chǔ)上進行的。這里說明把被刪除的節(jié)點X特地拎出來說一下的原因是防止大家誤以為節(jié)點N會被刪除，不然后面就會看不明白。

在上面的基礎(chǔ)上，接下來就可以展開討論了。紅黑樹刪除有6種情況，分別是：

情況一：

N 是新的根。在這種情形下，我們就做完了。我們從所有路徑去除了一個黑色節(jié)點，而新根是黑色的，所以性質(zhì)都保持著。

上面是維基百科中關(guān)于紅黑樹刪除的情況一說明，由于沒有配圖，看的有點暈。經(jīng)過思考，我覺得可能會是下面這種情形：

要刪除的節(jié)點 X 是根節(jié)點，且左右孩子節(jié)點均為空節(jié)點，此時將節(jié)點 X 用空節(jié)點替換完成刪除操作。

可能還有其他情形，大家如果知道，煩請告知。

情況二：

S 為紅色，其他節(jié)點為黑色。這種情況下可以對 N 的父節(jié)點進行左旋操作，然后互換 P 與 S 顏色。但這并未結(jié)束，經(jīng)過節(jié)點 P 和 N 的路徑刪除前有3個黑色節(jié)點(P -> X -> N)，現(xiàn)在只剩兩個了(P -> N)。比未經(jīng)過 N 的路徑少一個黑色節(jié)點，性質(zhì)5仍不滿足，還需要繼續(xù)調(diào)整。不過此時可以按照情況四、五、六進行調(diào)整。

情況三：

N 的父節(jié)點，兄弟節(jié)點 S 和 S 的孩子節(jié)點均為黑色。這種情況下可以簡單的把 S 染成紅色，所有經(jīng)過 S 的路徑比之前少了一個黑色節(jié)點，這樣經(jīng)過 N 的路徑和經(jīng)過 S 的路徑黑色節(jié)點數(shù)量一致了。但經(jīng)過 P 的路徑比不經(jīng)過 P 的路徑少一個黑色節(jié)點，此時需要從情況一開始對 P 進行平衡處理。

情況四：

N 的父節(jié)點是紅色，S 和 S 孩子為黑色。這種情況比較簡單，我們只需交換 P 和 S 顏色即可。這樣所有通過 N 的路徑上增加了一個黑色節(jié)點，所有通過 S 的節(jié)點的路徑必然也通過 P 節(jié)點，由于 P 與 S 只是互換顏色，并不影響這些路徑。

這里需要特別說明一下，上圖中的節(jié)點 N 并非是新插入的節(jié)點。當(dāng) P 為紅色時，P 有兩個孩子節(jié)點，且孩子節(jié)點均為黑色，這樣從 G 出發(fā)到各葉子節(jié)點路徑上的黑色節(jié)點數(shù)量才能保持一致。既然 P 已經(jīng)有兩個孩子了，所以 N 不是新插入的節(jié)點。情況四是由以 N 為根節(jié)點的子樹中插入了新節(jié)點，經(jīng)過調(diào)整后，導(dǎo)致 N 被變?yōu)榧t色，進而導(dǎo)致了情況四的出現(xiàn)。考慮下面這種情況(PR 節(jié)點就是上圖的 N 節(jié)點)：

情況五：

S 為黑色，S 的左孩子為紅色，右孩子為黑色。N 的父節(jié)點顏色可紅可黑，且 N 是 P 左孩子。這種情況下對 S 進行右旋操作，并互換 S 和 SL 的顏色。此時，所有路徑上的黑色數(shù)量仍然相等，N 兄弟節(jié)點的由 S 變?yōu)榱?SL，而 SL 的右孩子變?yōu)榧t色。接下來我們到情況六繼續(xù)分析。

情況六：

S 為黑色，S 的右孩子為紅色。N 的父節(jié)點顏色可紅可黑，且 N 是其父節(jié)點左孩子。這種情況下，我們對 P 進行左旋操作，并互換 P 和 S 的顏色，并將 SR 變?yōu)楹谏Ｒ驗?P 變?yōu)楹谏?#xff0c;所以經(jīng)過 N 的路徑多了一個黑色節(jié)點，經(jīng)過 N 的路徑上的黑色節(jié)點與刪除前的數(shù)量一致。對于不經(jīng)過 N 的路徑，則有以下兩種情況：

• 該路徑經(jīng)過 N 新的兄弟節(jié)點 SL ，那它之前必然經(jīng)過 S 和 P。而 S 和 P 現(xiàn)在只是交換顏色，對于經(jīng)過 SL 的路徑不影響。

• 該路徑經(jīng)過 N 新的叔叔節(jié)點 SR，那它之前必然經(jīng)過 P、 S 和 SR，而現(xiàn)在它只經(jīng)過 S 和 SR。在對 P 進行左旋，并與 S 換色后，經(jīng)過 SR 的路徑少了一個黑色節(jié)點，性質(zhì)5被打破。另外，由于 S 的顏色可紅可黑，如果 S 是紅色的話，會與 SR 形成連續(xù)的紅色節(jié)點，打破性質(zhì)4(每個紅色節(jié)點必須有兩個黑色的子節(jié)點)。此時僅需將 SR 由紅色變?yōu)楹谏纯赏瑫r恢復(fù)性質(zhì)4和性質(zhì)5(從任一節(jié)點到其每個葉子的所有簡單路徑都包含相同數(shù)目的黑色節(jié)點。)。

刪除總結(jié)

紅黑樹刪除的情況比較多，大家剛開始看的時候可能會比較暈。可能會產(chǎn)生這樣的疑問，為啥紅黑樹會有這種刪除情況，為啥又會有另一種情況，它們之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？和大家一樣，我剛開始看的時候也有這樣的困惑，直到我把所有情況對應(yīng)的圖形畫在一起時，撥云見日，一切都明了了。此時天空中出現(xiàn)了4個字，原來如此、原來如此、原來如此。所以，請看圖吧：

總結(jié)

紅黑樹是一種重要的二叉樹，應(yīng)用廣泛，但在很多數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)相關(guān)的書本中出現(xiàn)的次數(shù)并不多。很多書中要么不說，要么就一筆帶過，并不會進行詳細(xì)的分析，這可能是因為紅黑樹比較復(fù)雜的緣故。我在學(xué)習(xí)紅黑樹的時候也找了很多資料，但總體感覺講的都不太好。尤其是在我學(xué)習(xí)刪除操作的時候，很多資料是實在人看不下去，看的我很痛苦。直到我看到維基百科上關(guān)于紅黑樹的分析時，很是欣喜。這篇文章分析的很有條理，言簡意賅，比很多資料好了太多。本文對紅黑樹的分析也主要參考了維基百科中的紅黑樹分析，并對維基百科中容易讓人產(chǎn)生疑問和誤解的地方進行了說明。同時維基百科中文版紅黑樹文中的圖片較為模糊，這里我重新進行了繪制。需要說明的是，維基百科中文版無法打開了，文中關(guān)于維基百科的鏈接都是英文版的。另外在給大家推薦一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可視化的網(wǎng)站，里面包含常見數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可視化過程，地址為：t.cn/RZFgryr。

另外，由于紅黑樹本身比較復(fù)雜，實現(xiàn)也較為復(fù)雜。在寫這篇文章之前，我曾嘗試過用 Java 語言實現(xiàn)紅黑樹的增刪操作，最終只寫出了新增節(jié)點操作，刪除沒做出來。而且自己寫的新增邏輯實在在太繁瑣，寫的不好看，沒法拿出來 show。所以最后把 Java 中的 TreeMap 增刪相關(guān)源碼拷出來，按照自己的需求把源碼修改了一下，也勉強算是實現(xiàn)了紅黑樹吧。代碼放到了 github 上，傳送門 ->?RBTree.java。

最后，如果你也在學(xué)習(xí)紅黑樹，希望這篇文章能夠幫助到你。另外，由于紅黑樹本身比較復(fù)雜，加之本人水平有限，難免會出一些錯誤。如果有錯，還望大家指出來，我們共同討論。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的红黑树和平衡二叉树的区别_一文搞懂红黑树的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。