相關和卷積

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相關

自相關

自相關函數就是信號$x(t)$和它的時移信號 $x(t+\tau )$ 的乘積平均值。它是時移變量 $\tau$ 的函數。

“自相關”這種數據處理方法，可以發現隱藏在雜亂信號中的有用信息。這個能力是相當重要的，因為工程實際中的信號，不可避免地要受到各種干擾，嚴重的時候會完全淹沒真正有用的數據。自相關能找出重復信息（被噪聲掩蓋的周期信號），或識別隱含在信號諧波頻率中消失的基頻，它常用于時域信號的分析。

性質

偶函數

不論時移方向是導前還是滯后（τ為正或負），函數值不變；

當 $\tau =0$ 時，自相關函數具有最大值，且等于信號的均方值；

復習：

均方值(方均值、平方的期望)：$E[x^2]={\sum }_{}^{}{x}_i^{2}P(x_i)$
均方根：工程中用于分析噪聲，$X_{RMS}=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^N{X}_i^2}{N}}$
方差：${\delta }^2\left(x\right)=E\left[{\left(x_i?m_x\right)}^2\right]=\sum {\left(x_i?m_x\right)}^{2}P\left(x_i\right)$
標準差(均方差)：$\delta$
協方差(covariance)：衡量兩個變量的總體誤差，方差是協方差的一種特殊情況，即兩變量相同
? $\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(X,Y)& =E[(X?E[X])(Y?E[Y])]\\ & =E[XY]?2E[Y]E[X]+E[X]E[Y]\\ & =E[XY]?E[X]E[Y]\end{array}$
均方誤差：MSE(mean-square-error),反映估計量與被估計量差異程度；實例：評估最小二乘估計的準確度、圖像復原函數退化模型的最優估計。

卷積

公式

$$y(t)={\int }_{?\infty }^{\infty }x(p)h(t?p)dp=x(t)?h(t)$$
$t$ 是使函數 $h(?p)$ 位移的量， $p$ 為積分變量
理解 : $x$ 為輸入，$h$ 為響應因子，$y$ 為輸出。

物理意義

對于一個關于 $t$ 的移不變的線性系統，若單位取樣響應 為 $h(t)$ ，則任意輸入 $f(t)$ 的輸出是卷積 $f?h(t)$ 。

性質

兩函數傅里葉變換后的乘積等于他們卷積的傅里葉變換

卷積算子都滿足：交換律 結合律 分配律

卷積得到的函數一般比 $f,g$ 都要光滑

總結

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