卷積與濾波概念

離散卷積

丟兩個骰子，求點數加起來為 $t$ 的概率是多少？
兩個骰子加起來為4的概率：
$f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)$
寫成卷積標準形式為：
$$(f?g)(4)=\sum _{i=1}^{3}f(i)g(4?i)$$
進一步，兩個骰子加起來為 $t$ 的概率，就是二個骰子的概率密度函數的卷積：
$$(f?g)(t)=\sum _{i=1}^{t?1}f(i)g(t?i)$$
與1維卷積類似，圖像(二維)卷積定義：
$$(f?g)(x,y)=\frac{1}{NM}\sum _{i=0}^{N?1}\sum _{j=0}^{M?1}f(i,j)g(x?i,y?j)$$
$g$ 稱為濾波器

圖像濾波如何計算

• 濾波器 $g(x,y)$ 左右、上下反轉：得到 $g(?x,?y)$；
• 按照前述公式計算卷積(先乘后累加)

圖像平滑濾波與去噪

圖像濾波由卷積定義，基本知識：

• 4-領域與8-領域

圖像平滑：

• 平均濾波：在一個小區域內(通常3*3)像素值平均
  $$g(x,y)=\frac{1}{M}\sum _{i,j}f(i,j)$$
  其中$M$表示像素值個數，濾波器采用4-領域時$M=5$；濾波器采用8-領域時$M=9$；如果不考慮中間像素$M=8$。
• 加權平均濾波：在一個小區域內像素值加權平均
  $$g(x,y)=\sum _{i,j}{w}_{ij}f(i,j)$$
  其中$w_{ij}$表示所有像素值之和的倒數。
• 高斯濾波器：元素值分布根據位置呈現高斯函數的特點
  $$\frac{1}{16}?\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ & & \\ 2& 4& 2\\ & & \\ 1& 2& 1\\ & & \end{array}?$$
• 雙邊濾波器：元素值不僅與位置有關，還和源圖像在該位置的像素值有關。其是空域核和值域核的疊加，通過雙邊濾波器，可以在使圖像平滑的同時，比較好的保留邊緣。
• 中值濾波：確定窗口及位置(含有奇數個像素)，窗口內像素按灰度大小排序，取中間值代替原窗口中心像素值。對椒鹽噪聲有效。

總結：

平滑濾波包括平均濾波、高斯濾波、中值濾波等方法，其中高斯濾波最為常用。

平滑濾波具有去除噪聲效果，不同濾波方法具有對不同噪聲的適應性。

數學形態學濾波

數學形態學基本操作——膨脹和腐蝕

$A?B$表示集合 $A$ 用結構元素 $B$ 膨脹(dilate)，定義為：
$$A?B=\cup (A{)}_b(b\in B)$$
表示，將 $A$ 按照 $B$ 中的所有元素進行平移，將所有平移的結果取并集。
$A?B$表示集合 $A$ 用結構元素 $B$ 腐蝕(erode)，定義為：
$$A?B=\cap (A{)}_{?b}(b\in B)$$
表示，將 $A$ 按照 $B$ 中的所有元素進行反方向平移，將所有平移的結果取并集。

直觀表現是，腐蝕使黑色區域變大了，膨脹使白色區域變大了。

圖像形態學操作——開閉運算

• 膨脹和腐蝕并不互為逆運算，二者級聯使用可生成新的形態學操作
• 開運算：先腐蝕后膨脹（島嶼分開了）：
  $$(A?B)?B$$
• 閉運算：先膨脹后腐蝕（島嶼閉合了）：
  $$(A?B)?B$$
• 先開后閉：可有效去除噪聲

數學形態學去噪方法

實戰演練：圖像平滑濾波對比

OpenCV實現濾波及平滑去噪各函數

• 圖像濾波

dst = cv2.filter2D(src, ddepth, kernel [, dst[, anchor[, delta[, borderType]]]]) #dst：目標圖像，其與原圖像尺寸和通道數相同 #ddepth：目標圖像的所需深度，包括CV_16S/CV_32F/CV_64F等 #kernel：卷積核(或相當于相關核)，單通道浮點矩陣；如果要將不同的內核應用與不同的通道，請使用拆分，再單獨處理各通道 #anchor：內核的錨點，指示內核中過濾點的相對位置；錨應位于內核中；默認值(-1, -1)表示錨位于內核中心。 #detal：在將它們存儲在dst中之前，將可選值添加到已過濾的像素中。類似于偏置。 #borderType：卷積填充方式，包括BORDER_CONSTANT, BORDER_REPLICATE, BORDER_REFLECT等。

• 平均濾波

dst = cv2.blur(src, ksize[, dst[,anchor[, borderType]]]) #ksize:濾波器大小，如(5, 5)

• 高斯平滑濾波

dst = cv2.GaussianBlur(src, ksize, sigmaX[, dst[, sigmaY[, borderType]]])

• 中值濾波

dst = cv2.medianBlur(src, ksize[, dst])

• 雙邊濾波

dst = cv2.bilateralFilter(src, d, sigmaColor, sigmaSpace[, dst[, borderType]]) #d:過濾期間使用的各像素領域的直徑 #sigmaColor:色彩空間的sigma參數，該參數較大時，各像素領域內相距較遠的顏色會被混合到一起，從而造成更大范圍的半相等顏色 #sigmaSpace：色彩空間的sigma參數，該參數較大時，只要顏色相近，越遠的像素會相互影響

python代碼：

import cv2 as cv import numpy as npdef gauss_noise(image, mean = 0, var = 0.001):"""添加高斯噪聲mean: 均值var: 方差"""image = np.array(image/255, dtype = float)noise = np.random.normal(mean, var ** 0.5, image.shape)out = image + noiseif out.min() < 0:low_clip = -1.else:low_clip = 0.out = np.clip(out, low_clip, 1.0)out = np.uint8(out*255)# cv.imshow("Gauss_noise", out)return outfilename = 'C:/python/img/lena.jpg' img = cv.imread(filename) img = gauss_noise(img) #原圖像加入高斯噪聲blur = cv.blur(img, (5, 5)) #平均濾波 gauss = cv.GaussianBlur(img, (5, 5), 0) #高斯濾波 median = cv.medianBlur(img, 5) #中值濾波 bilateral = cv.bilateralFilter(img, 5, 150, 150) #雙邊濾波cv.imshow('Image', img) cv.imshow('Blurred', blur) cv.imshow('Gauss', gauss) cv.imshow('Median filtered', median) cv.imshow('Bilateral filtered', bilateral)cv.waitKey() cv.destroyAllWindows()

c++添加高斯噪聲：

#include <opencv2/core/core.hpp> #include <opencv2/highgui/highgui.hpp> #include <iostream> #include <cstdlib> #include <limits> #include <cmath> using namespace cv; using namespace std; double generateGaussianNoise(double mu, double sigma) {//定義一個特別小的值const double epsilon = numeric_limits<double>::min();//返回目標數據類型能表示的最逼近1的正數和1的差的絕對值static double z; //局部變量，這樣可以在不同的文件中定義同名函數和同名變量，而不用擔心命名沖突double u1, u2;//構造隨機變量do{u1 = rand()*(1.0 / RAND_MAX);u2 = rand()*(1.0 / RAND_MAX);} while (u1 <= epsilon);//構造高斯隨機變量Xz = sqrt(-2.0*log(u1))*sin(2 * CV_PI * u2);return z * sigma + mu; } //為圖像添加高斯噪聲 Mat addGaussianNoise(Mat& srcImage) {Mat resultImage = srcImage.clone(); //深拷貝,克隆int channels = resultImage.channels(); //獲取圖像的通道int nRows = resultImage.rows; //圖像的行數int nCols = resultImage.cols*channels; //圖像的總列數//判斷圖像的連續性if (resultImage.isContinuous()) //判斷矩陣是否連續，若連續，我們相當于只需要遍歷一個一維數組 {nCols *= nRows;nRows = 1;}for (int i = 0; i < nRows; i++){for (int j = 0; j < nCols; j++){ //添加高斯噪聲int val = resultImage.ptr<uchar>(i)[j] + generateGaussianNoise(2, 0.8) * 32;if (val < 0)val = 0;if (val > 255)val = 255;resultImage.ptr<uchar>(i)[j] = (uchar)val;}}return resultImage; } int main() {Mat srcImage = imread("lena.jpg", 1);if (!srcImage.data)return -1;imshow("srcImage", srcImage);Mat resultImage = addGaussianNoise(srcImage);imshow("resultImage", resultImage);waitKey(0);return 0; }

關于代碼里出現的OpenCV isContinuous()函數：

bool cv::Mat::isContinuous() const

該方法用于報告矩陣是否連續。
如果矩陣元素在每行末尾連續存儲而沒有間隙，則方法返回true。 否則，它返回false。 顯然，對于1x1或1xN矩陣總是連續的。一般 用Mat :: create創建的矩陣總是連續的。
2. Mat 數據類型指針ptr 的使用
這里的 depth_.ptr(y)[x] 就是指向depth _ 的第y 行的第x個數據，數據類型為無符號的短整型。
char 是有符號的 ，uchar(unsigned char) 是無符號的,8-bit無符號整形數據，里面全是正數 。
兩者都作為字符用的話是沒有區別的，但當整數用時有區別：
char 整數范圍為-128到127( 0x80__0x7F) ；
而unsigned char 整數范圍為0到255( 0__0xFF ) 有時候想把整數數值限在255范圍內，也用unsigned char。
而本例中resultImage.ptr<uchar>(i)[j]是指向resultImage第 i 行第 j 個元素，限制數值位0-255的整數。

#include <iostream> #include <opencv2/core/core.hpp> #include <opencv2/highgui/highgui.hpp> #include <opencv2/imgproc/imgproc.hpp>using namespace std; using namespace cv;typedef struct _imgPair {Mat *src;Mat *dst;void * Param;char* winName; }ImgPair;typedef struct _gaussianParam {int kernelSize;int sigma; }GaussianParam;typedef struct _bilateralParam {int kernelSize;int sigmaColor;int sigmaSpace; }BilateralParam;void on_gaussiankernelBar(int ksize, void *userdata) {ImgPair* pImgPair = (ImgPair*)userdata;GaussianParam *gPair = (GaussianParam *)(pImgPair->Param); //->用于指向結構體的指針，表示結構體內的元素gPair->kernelSize = ksize;GaussianBlur(*(pImgPair->src), *(pImgPair->dst), Size(gPair->kernelSize / 2 * 2 + 1, gPair->kernelSize / 2 * 2 + 1), gPair->sigma, gPair->sigma);//Mat類型的對象不直接做函數參數，而是用指向它的指針//gPair->kernelSize / 2 * 2 + 1可以確保卷積核尺寸為奇數，這樣可以隨意拖動bar，不用擔心拖到偶數//sigma.X，sigma.Y分別為X，Y方向卷積核的方差，其中sigma.Y默認設置為0imshow(pImgPair->winName, *(pImgPair->dst)); }void on_gaussianSigmaBar(int sigma, void *userdata) {ImgPair* pImgPair = (ImgPair*)userdata;GaussianParam *gPair = (GaussianParam *)(pImgPair->Param);gPair->sigma = double(sigma);GaussianBlur(*(pImgPair->src), *(pImgPair->dst), Size(gPair->kernelSize / 2 * 2 + 1, gPair->kernelSize / 2 * 2 + 1), gPair->sigma, gPair->sigma);//無論拖動ksize的條，還是sigma的條，都要重新運行GuassianBlur函數，重新計算。imshow(pImgPair->winName, *(pImgPair->dst)); }void on_medianSigmaBar(int ksize, void *userdata) {ImgPair* pImgPair = (ImgPair*)userdata;medianBlur(*(pImgPair->src), *(pImgPair->dst), ksize / 2 * 2 + 1);//中值濾波只有三個參數imshow(pImgPair->winName, *(pImgPair->dst));}void on_bilateralDBar(int ksize, void *userdata) {//拖動雙邊濾波ksize的barImgPair* pImgPair = (ImgPair*)userdata;BilateralParam *param = (BilateralParam *)(pImgPair->Param);bilateralFilter(*(pImgPair->src), *(pImgPair->dst), ksize / 2 * 2 + 1, param->sigmaColor, param->sigmaSpace);//灰度距離核和空間距離核的sigmaparam->kernelSize = ksize;imshow(pImgPair->winName, *(pImgPair->dst));}void on_bilateralSigmaSpaceBar(int sigmaSpace, void *userdata) {ImgPair* pImgPair = (ImgPair*)userdata;BilateralParam *param = (BilateralParam *)(pImgPair->Param);bilateralFilter(*(pImgPair->src), *(pImgPair->dst), param->kernelSize / 2 * 2 + 1, param->sigmaColor, sigmaSpace);param->sigmaSpace = sigmaSpace;imshow(pImgPair->winName, *(pImgPair->dst)); }void on_bilateralSigmaColorBar(int sigmaColor, void *userdata) {ImgPair* pImgPair = (ImgPair*)userdata;BilateralParam *param = (BilateralParam *)(pImgPair->Param);bilateralFilter(*(pImgPair->src), *(pImgPair->dst), param->kernelSize / 2 * 2 + 1, sigmaColor, param->sigmaSpace);param->sigmaColor = sigmaColor;imshow(pImgPair->winName, *(pImgPair->dst)); }int main() {Mat src = imread("lena.jpg");namedWindow("src");imshow("src", src);/*-------GaussianBlur-----------*/Mat GaussianBlurImg;namedWindow("GaussianBlurImg");GaussianParam gaussianParam = { 5, 1.0 };GaussianBlur(src, GaussianBlurImg, Size(5, 5), 1, 1);GaussianParam gparam = { 5, 1.0 };ImgPair gaussianPair = { &src, &GaussianBlurImg, &gparam, "GaussianBlurImg" };imshow("GaussianBlurImg", GaussianBlurImg);createTrackbar("kernelsize", "GaussianBlurImg", &(gparam.kernelSize), 30, on_gaussiankernelBar, &gaussianPair);createTrackbar("sigma", "GaussianBlurImg", &(gparam.sigma), 10, on_gaussianSigmaBar, &gaussianPair); //createTrackbar是Opencv中的API，其可在顯示圖像的窗口中快速創建一個滑動控件 //形式參數一、trackbarname：滑動空間的名稱； //形式參數二、winname：滑動空間用于依附的圖像窗口的名稱； //形式參數三、value：初始化閾值； //形式參數四、count：滑動控件的刻度范圍； //形式參數五、TrackbarCallback是回調函數，其定義如下/*-------medianBlur-----------*/Mat MedianBlurImg;int kernelSize = 5; //初始化的kerbelSizeImgPair medianPair = { &src, &MedianBlurImg, nullptr, "MedianBlurImg" };medianBlur(src, MedianBlurImg, 5);imshow("MedianBlurImg", MedianBlurImg);createTrackbar("kernelsize", "MedianBlurImg", &(kernelSize), 30, on_medianSigmaBar, &medianPair);/*---Bilateral-----------------*/Mat BilateralFilterImg;bilateralFilter(src, BilateralFilterImg, 5, 2, 2);BilateralParam bparam = { 5,1,1 };ImgPair bilateralPair = { &src, &BilateralFilterImg, &bparam, "BilateralFilterImg" };imshow("BilateralFilterImg", BilateralFilterImg);createTrackbar("kernelsize", "BilateralFilterImg", &(bparam.kernelSize), 30, on_bilateralDBar, &bilateralPair);createTrackbar("sigmaspace", "BilateralFilterImg", &(bparam.sigmaSpace), 30, on_bilateralSigmaSpaceBar, &bilateralPair);createTrackbar("sigmacolor", "BilateralFilterImg", &(bparam.sigmaColor), 30, on_bilateralSigmaColorBar, &bilateralPair);waitKey(0); }

補充一個關于介紹滑動條的小程序：使用滑動條做調色板

#include <opencv2/core/core.hpp> #include <opencv2/highgui/highgui.hpp> #include <opencv2/imgproc/imgproc.hpp>using namespace cv;//參數1：滑動條位置；參數2：傳入的參數 void nothing(int pos, void *) { }int main() {Mat img = Mat::zeros(300, 512, CV_8UC3);namedWindow("image");//createTrackbar函數：為窗口創建滑動條createTrackbar("B", "image", 0, 255, nothing);createTrackbar("G", "image", 0, 255, nothing);createTrackbar("R", "image", 0, 255, nothing);createTrackbar("0:off\n1:on", "image", 0, 1, nothing);while (1){imshow("image", img);if (waitKey(1) == 27)break;//getTrackbarPos函數作用：獲取滑動條的位置的值int b = getTrackbarPos("B", "image");int g = getTrackbarPos("G", "image");int r = getTrackbarPos("R", "image");int s = getTrackbarPos("0:off\n1:on", "image");if (s == 0)img = Scalar(0, 0, 0);else//opencv中顏色按BGR排列，numpy、matplotlib常用的第三方庫RGB排列img = Scalar(b, g, r); //修改Mat類對象顏色的方法}waitKey(0); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图像平滑滤波的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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