KMP算法的核心，是一個被稱為部分匹配表(Partial Match Table)的數組。我覺得理解KMP的最大障礙就是很多人在看了很多關于KMP的文章之后，仍然搞不懂PMT中的值代表了什么意思。這里我們拋開所有的枝枝蔓蔓，先來解釋一下這個數據到底是什么。

對于字符串“abababca”，它的PMT如下表所示：

就像例子中所示的，如果待匹配的模式字符串有8個字符，那么PMT就會有8個值。

我先解釋一下字符串的前綴和后綴。如果字符串A和B，存在A=BS，其中S是任意的非空字符串，那就稱B為A的前綴。例如，”Harry”的前綴包括{”H”, ”Ha”, ”Har”, ”Harr”}，我們把所有前綴組成的集合，稱為字符串的前綴集合。同樣可以定義后綴A=SB， 其中S是任意的非空字符串，那就稱B為A的后綴，例如，”Potter”的后綴包括{”otter”, ”tter”, ”ter”, ”er”, ”r”}，然后把所有后綴組成的集合，稱為字符串的后綴集合。要注意的是，字符串本身并不是自己的后綴。

有了這個定義，就可以說明PMT中的值的意義了。PMT中的值是字符串的前綴集合與后綴集合的交集中最長元素的長度。例如，對于”aba”，它的前綴集合為{”a”, ”ab”}，后綴 集合為{”ba”, ”a”}。兩個集合的交集為{”a”}，那么長度最長的元素就是字符串”a”了，長 度為1，所以對于”aba”而言，它在PMT表中對應的值就是1。再比如，對于字符串”ababa”，它的前綴集合為{”a”, ”ab”, ”aba”, ”abab”}，它的后綴集合為{”baba”, ”aba”, ”ba”, ”a”}， 兩個集合的交集為{”a”, ”aba”}，其中最長的元素為”aba”，長度為3。

好了，解釋清楚這個表是什么之后，我們再來看如何使用這個表來加速字符串的查找，以及這樣用的道理是什么。如圖 1.12 所示，要在主字符串"ababababca"中查找模式字符串"abababca"。如果在 j 處字符不匹配，那么由于前邊所說的模式字符串 PMT 的性質，主字符串中 i 指針之前的 PMT[j ?1] 位就一定與模式字符串的第 0 位至第 PMT[j?1] 位是相同的。這是因為主字符串在 i 位失配，也就意味著主字符串從 i?j 到 i 這一段是與模式字符串的 0 到 j 這一段是完全相同的。而我們上面也解釋了，模式字符串從 0 到 j?1 ，在這個例子中就是”ababab”，其前綴集合與后綴集合的交集的最長元素為”abab”， 長度為4。所以就可以斷言，主字符串中i指針之前的 4 位一定與模式字符串的第0位至第 4 位是相同的，即長度為 4 的后綴與前綴相同。這樣一來，我們就可以將這些字符段的比較省略掉。具體的做法是，保持i指針不動，然后將j指針指向模式字符串的PMT[j ?1]位即可。

簡言之，以圖中的例子來說，在 i 處失配，那么主字符串和模式字符串的前邊6位就是相同的。又因為模式字符串的前6位，它的前4位前綴和后4位后綴是相同的，所以我們推知主字符串i之前的4位和模式字符串開頭的4位是相同的。就是圖中的灰色部分。那這部分就不用再比較了。

有了上面的思路，我們就可以使用PMT加速字符串的查找了。我們看到如果是在 j 位 失配，那么影響 j 指針回溯的位置的其實是第 j ?1 位的 PMT 值，所以為了編程的方便， 我們不直接使用PMT數組，而是將PMT數組向后偏移一位。我們把新得到的這個數組稱為next數組。下面給出根據next數組進行字符串匹配加速的字符串匹配程序。其中要注意的一個技巧是，在把PMT進行向右偏移時，第0位的值，我們將其設成了-1，這只是為了編程的方便，并沒有其他的意義。在本節的例子中，next數組如下表所示。

具體的程序如下所示：

好了，講到這里，其實KMP算法的主體就已經講解完了。你會發現，其實KMP算法的動機是很簡單的，解決的方案也很簡單。遠沒有很多教材和算法書里所講的那么亂七八糟，只要搞明白了PMT的意義，其實整個算法都迎刃而解。

現在，我們再看一下如何編程快速求得next數組。其實，求next數組的過程完全可以看成字符串匹配的過程，即以模式字符串為主字符串，以模式字符串的前綴為目標字符串，一旦字符串匹配成功，那么當前的next值就是匹配成功的字符串的長度。

具體來說，就是從模式字符串的第一位(注意，不包括第0位)開始對自身進行匹配運算。 在任一位置，能匹配的最長長度就是當前位置的next值。如下圖所示。

求next數組值的程序如下所示：

至此，KMP算法就全部介紹完了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的KMP算法的核心，是一个被称为部分匹配表(Partial Match Table)的数组以及next数组求解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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