馬上就要正式進入電路設(shè)計了，再來看最后一個知識點：邏輯設(shè)計吧。

之前我們花了兩章，探討了邏輯運算是什么，怎么算；但還有最后一個大問題，巧婦難為無米之炊，我們得先有一個邏輯式，才能對它化簡，并基于結(jié)果做電路設(shè)計。所以，如何把實際生活中的問題轉(zhuǎn)化為邏輯函數(shù)式呢？

先介紹兩種比較標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)的形式：

• 最小項表達式，是若干單項式相加，可以類比成代數(shù)式展開后的樣子，形式類似 ，得名于其因為項中用乘法連接而使得每一項為1的概率都很小。
• 最大項表達式，是若干多項式相乘，可以類比成代數(shù)式因式分解后的樣子，形式類似 ，得名于其因為項中加法連接而使得每一項為1的概率都很大

其中實際中用得比較多的是最小項表達式。本文也將在此式的基礎(chǔ)上討論。

進一步地，我們還會再看邏輯函數(shù)與其他表現(xiàn)形式的轉(zhuǎn)化關(guān)系，并正式介紹兩個工具：邏輯圖和卡諾圖。

一、從對問題的描述得出函數(shù)式

我們開篇的問題中，就是利用了把問題轉(zhuǎn)化為比較“標(biāo)準(zhǔn)”的邏輯命題，加以處理的。一般地說，通過自然語言表述得出方程，首先要把任務(wù)寫成“只有...且...時，才...”（最大項表達式）或“只要...或...時，就...”（最小項表達式）的形式。它要求該問題不能包含太復(fù)雜的嵌套關(guān)系，變量也不能太多，所以局限比較大。但用這種方法得出的函數(shù)式往往可以省去化簡的步驟。

二、從真值表得出函數(shù)式

假設(shè)我們有這樣一個真值表：

如何方便地寫出它的表達式？

先試試把它轉(zhuǎn)述為自然語言后照著寫：“只要A，B，C，D分別為0000，或者0101，或者0110，或者......時，X就為1”。這樣，的確可以寫出方程。

那么，能不能直接通過真值表寫出函數(shù)式呢？想一想，之前提到，所有的描述都可以轉(zhuǎn)化為所謂“最小項表達式”，其中每一個項都是一個單項式，A、B、C、D分別取原變量或反變量。比如先看第一行，當(dāng)ABCD取0000時，最終結(jié)果為1?！@對應(yīng)了A’B’C’D’=1。所以，從真值表寫出最小項表達式的方法是先找出所有使得因變量為1的自變量值的組合，再把每一個組合對應(yīng)的乘積項寫出來，每個變量取值為0則寫上反變量，1則寫上原變量，這樣使得取這組值時該項為1，最后把這些項用加法相連即可。

舉個例子：我們至今沒有推導(dǎo)過異或邏輯如何用與或非表達。現(xiàn)在讓我們證明一遍。

有了真值表，就可以直接看使得X=1的A，B取值組合，發(fā)現(xiàn)有01，10兩個；接著，分別寫出它們對應(yīng)的乘積項，即A'B和AB'；最后把它們連在一起：AB'+A'B，即可。

三、從函數(shù)式得出真值表

要畫真值表，首先必須把所有自變量可能的取值都填在前幾列中。建議使用二進制排列，即0000，0001，0010……等，不容易缺漏。

接下來，把函數(shù)式化成最小項表達式。比如，如果初始式為

，則需要先展開成 ，再進一步寫成每一項都含有三個變量的標(biāo)準(zhǔn)形式——具體地說，運用公式 ，得到 。最后，在對應(yīng)的真值表行中“X”一欄填上“1”，其他行則填0——此處，三項分別對應(yīng)110，101，111。

如果說這種方法是反向填表，那自然還有另一種正向方法——把每一行的A，B，C的值依次代入函數(shù)式，求出X的值。這種方法適用于變量較多，而且原式比較簡單，如果完全展開很費時間的式子。

四、邏輯圖與函數(shù)式的轉(zhuǎn)化

什么是邏輯圖？我們知道，任何一個函數(shù)，比如

，都可以表示為一個“黑箱”——

只要輸入一個x，一個y，一個z，這個黑箱就會返回一個對應(yīng)的a的值。而如果我們想查看它的內(nèi)部邏輯，我們可能會看到這樣的：

“+”把x和y連接起來，作m=x+y運算；“/”又連接了“+”的輸出和z，作a=m/z運算，并輸出a。所以，這個圖就可以表示

。

同樣地，還記得七個基本邏輯的邏輯符號么？

從左至右，從上至下：或、與、非、異或、同或、與非、或非

如果我們有式子

，就可以用同樣的思路，連出一個圖：

上半部分，得到A'B；下半部分，是AB'。兩個再用或連接，就有了A'B+AB'。這樣，便可以把一個函數(shù)式直觀地表達出來。并且，在實際的電路制作中，這樣的設(shè)計圖也可以成為抽象的邏輯式與實際的電路板間的橋梁。

所以，要想繪出邏輯圖，一般來說，只要先理清函數(shù)的運算順序，再把對應(yīng)的邏輯符號用線連接起來即可。再看一個例子：經(jīng)典的檔案室開門問題，已有函數(shù)式：

一步步看它的運算順序：B與C相乘；A與乘積相加；D的反變量與這個和相乘。最后輸出X。因此，可以畫出對應(yīng)的邏輯圖。

反向地，如果有了這個邏輯圖，就可以通過沿著邏輯圖走向分析，最終得出函數(shù)式。

還可以發(fā)現(xiàn)，邏輯圖和計算機中的運算樹本質(zhì)上是相同的。所以，我們可以用中序遍歷的思路，寫出函數(shù)式。

五、卡諾圖

在最小項表達式的化簡中，我們本質(zhì)上在做什么呢？比如，

——兩項中只有一個變量不同，所以變成了 。

如果我們有n變量最小項表達式，那么它至多可以有

項——因為每個變量都會以原變量或反變量出現(xiàn)。而如果原變量表示1，反變量表示0，則每一項都可以對應(yīng)一個唯一的n位二進制碼，比如 就是1001。

而

對應(yīng)的二進制數(shù)為101，111，也只差一個數(shù)位。那么，能不能用一個表格，可以容納所有的可能項，并直觀地發(fā)現(xiàn)這些能夠合并的”相鄰項“呢？于是，工程師莫里斯·卡諾便創(chuàng)造了卡諾圖。

這是卡諾圖的一般形式。先把所有相關(guān)變量分為數(shù)量大致相等的兩部分，一部分（AB）沿行布置，一部分（CD）沿列布置。再把它們以格雷碼編碼——00，01，11，10等；這樣，每個格子就對應(yīng)了最小項表達式中的唯一一個項，比如

就位于第四列，第二行位置，對應(yīng)AB=10，CD=01。并且注意到，如果兩個項可以化簡，如 ：

則它們在卡諾圖上必定相鄰。它背后的原理是當(dāng)BCD=111時，無論A為0還是1，結(jié)果都為1，所以A就成了無關(guān)項，可以消去。按照這個道理，只要是圈起的區(qū)域是大小為

的矩形，那么都可以化簡成一個項：

圈起的區(qū)域覆蓋了所有A、B的值，所以A、B都是無關(guān)項；同時還覆蓋了CD=01與11，所以C也是無關(guān)項，最終結(jié)果為D。

卡諾圖并不是二維的，而是循環(huán)的，可以從一個邊界來到另一個邊界，形成一個空間中閉合的形狀。比如：

也是可以合并的。

使用卡諾圖化簡時，先把所有最小項在表中對應(yīng)的位置打勾，再用圈覆蓋這些勾。具體有三個原則：

• 圈可以相互重疊交錯，但必須覆蓋所有勾，且不能覆蓋空白格，否則會使函數(shù)發(fā)生改變。
• 每個圈必須盡量大，這樣可以盡可能多地消去無關(guān)變量。
• 圈要盡量少，這樣會使最終的項的數(shù)量最少，因為每個圈會對應(yīng)最簡式中的一個項。

比如，化簡函數(shù)

。先把所有項填入卡諾圖：

再把它們?nèi)咳ζ饋?#xff0c;盡量擴大圈的大小和減少圈的數(shù)量：

圈起來的區(qū)域有：(0000,0010), (0010,0110), (1010,0010), (0101,1101,0111,1111)。所以化簡之后，剩下的項分別為：A'B'D', A'CD', B'CD', BD。所以，我們最終的化簡結(jié)果便是

。

卡諾圖的使用需要一定技巧，所以不是非常常用。但是，卡諾圖和真值表都可以作為函數(shù)的可視化表達。在“時序電路”一部分，我們將會看到它的作用。

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数字逻辑基础与verilog设计_数字电路学习笔记（五）：逻辑设计基础的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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