文章目錄

• • 1. 題目
  • 2. 解題

1. 題目

有 N 種物品和一個容量是 V 的背包。

第 i 種物品最多有 si 件，每件體積是 vi，價值是 wi。

求解將哪些物品裝入背包，可使物品體積總和不超過背包容量，且價值總和最大。
輸出最大價值。

輸入格式
第一行兩個整數，N，V，用空格隔開，分別表示物品種數和背包容積。

接下來有 N 行，每行三個整數 vi,wi,si，用空格隔開，分別表示第 i 種物品的體積、價值和數量。

輸出格式
輸出一個整數，表示最大價值。

數據范圍
0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000
提示：
本題考查多重背包的二進制優化方法。

輸入樣例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

輸出樣例：
10

題目來源：https://www.acwing.com/problem/content/description/5/

2. 解題

本題是在 4. 多重背包問題 I 的基礎上，加大了數據規模，直接用上一題的代碼是沒問題的，但是時間復雜度很高，會超時

• 將 si 拆分成 1,2,4,8, … ,2^k, 剩余的數（這些數，每個數表示一個新的物品，這個新的物品是原來的n個組合成的），這些數可以組合成 1 - si 的任意數
• 然后應用 01 背包解決問題
• 時間復雜度 $O(NV\log S)$，空間復雜度 $O(V)$

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;int main() {int N, V, vi, wi, si, maxprice = 0;cin >> N >> V;vector<int> dp(V+1, -1);dp[0] = 0;// dp[v] 表示體積為 v 時裝的最大價值for(int i = 0; i < N; ++i){cin >> vi >> wi >> si;for(int k = 1; si > k; k*=2)//二進制拆分{int price = wi*k;//合并成一個物品，其價值int v = vi*k;//其體積si -= k;//剩余物品數量for(int j = V-v; j >= 0; --j)// 01 背包，狀態更新{if(dp[j] == -1)//狀態不存在continue;dp[j+v] = max(dp[j+v], dp[j]+price);maxprice = max(maxprice, dp[j+v]);}}if(si > 0)//還剩余的，單獨打包成一個物品{int price = wi*si;int v = vi*si;for(int j = V-v; j >= 0; --j)// 01 背包，狀態更新{if(dp[j] == -1)//狀態不存在continue;dp[j+v] = max(dp[j+v], dp[j]+price);maxprice = max(maxprice, dp[j+v]);}}}cout << maxprice << endl;return 0; }

855 ms C++

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的ACwing 5. 多重背包问题 II（二进制拆分+DP）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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