Description

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　　在圖問題中當最大流有多組解時，給每條邊在附上一個單位費用的量，問在滿足最大流時的最小費用是多少？

　　

思路

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　　蒟蒻在這里套用一下博主STILLxjy的說法：

　　給出一個容量網絡，那他的最大流一定是一個定值（即使是有多個一樣的最大值）。所以我們從開始的可行流開始增廣時，最終的增廣量是一定的。所以為了滿足最小費用我們只需要每次找最小費用的增廣路即可，直到流量為最大值。這個問題僅僅是在求增廣路時先考慮費用最小的增廣路，其他思想和EK思想一樣。
我們學過SPFA求最短路算法（bellman-ford的隊列優化），所以我們將弧的費用看做是路徑長度，即可轉化為求最短路的問題了。只需要所走的最短路滿足兩個條件即可：1可增廣cap> flow,2路徑變短d[v]>d[u]+cost< u,v> 。

　　模板如下：

　　劉汝佳的紫書模板，容易TLE，不適用于點多邊少的情況：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 210;
const int maxm = 220;

struct Edge {
    int from, to, cap, flow, cost;
    Edge(int u, int v, int c, int f, int w):from(u),to(v),cap(c),flow(f),cost(w)
    {}
};

struct MCMF {
    int n, m;
    vector<Edge> edges; //保存表
    vector<int> G[maxn]; ////保存鄰接關系
    int inq[maxn]; //是否在隊列中,用于SPFA算法
    int d[maxn]; //源點到i的最短路徑估計值
    int p[maxn]; //記錄路徑，記錄上一條弧
    int a[maxn]; //找到增廣路徑后的改進量

    MCMF() {}

    void init(int n) {
        this->n = n;
        for(int i = 0; i < n; i++) G[i].clear();
        edges.clear();
    }

    void addEdge(int from, int to, int cap, int cost) {
        edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0, cost)); //正向
        edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0, -cost)); //反向
        m = edges.size();
        G[from].push_back(m-2); //按照邊的編號保存鄰接關系
        G[to].push_back(m-1);
    }

    //隊列優化的SPFA算法
    //尋找最小費用的增廣路，使用引用同時修改原flow,cost
    bool bellmanFord(int s, int t, int& flow, long long& cost) {
        for(int i = 0; i < n; i++) d[i] = INF;
        memset(inq, 0, sizeof(inq));
        d[s] = 0; inq[s] = 1; p[s] = 0; a[s] = INF;

        queue<int> Q;
        Q.push(s);
        while(!Q.empty()) {
            int u = Q.front(); Q.pop();
            inq[u] = 0;
            for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
                Edge& e = edges[G[u][i]];
                //尋找滿足容量大于流量的可松弛邊
                if(e.cap > e.flow && d[e.to] > d[u] + e.cost) {
                    d[e.to] = d[u] + e.cost;
                    p[e.to] = G[u][i];
                    a[e.to] = min(a[u], e.cap - e.flow);
                    //是否在隊列中
                    if(!inq[e.to]) { Q.push(e.to); inq[e.to] = 1; }
                }
            }
        }
        if(d[t] == INF) return false; //如果d[t]沒有被更新，相當于沒找到增廣路徑，則沒有最大流也沒有最小費用
        flow += a[t]; //更新最大流
        cost += (long long)d[t] * (long long)a[t]; ;//單位流量乘以單位路徑長度用來計算消耗
        //通過使用p[]保存的上一個邊的值來對剛剛找到的增廣路徑上面的流量進行更新
        for(int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) {
        edges[p[u]].flow += a[t]; //正向邊更新
        edges[p[u]^1].flow -= a[t];} //反向邊更新（用位運算實現的）
        return true;
    }

    //需要保證初始網絡中沒有負權圈
    //計算從s到t的最小消耗cost，返回最大流
    int mincostMaxflow(int s, int t, long long& cost) {
        int flow = 0; cost = 0;
        while(bellmanFord(s, t, flow, cost));//不斷尋找最短增廣路徑，直到找不到為止
        return flow;
    }
}g;

int main(void) {
    int nn, mm, s, t, u, v, cap, cost, totFlow = 0;
    long long totCost = 0;
    while(~scanf("%d%d", &nn, &mm)) {
        s = 1;
        t= nn;
        g.init(t+1);
        for (int i = 0; i < mm; i++) {
            scanf("%d%d%d%d", &u, &v, &cap, &cost);
            g.addEdge(u, v, cap, cost);
        }
        totFlow = g.mincostMaxflow(1, t, totCost);
        printf("最小花費:%lld 最大流:%d
", totCost, totFlow);
    }
    return 0;
}

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　　劉汝佳的白書模板，不用STL，很穩：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 210;
const int maxm = 220;

struct Edge {
    int from, to, cap, flow, cost;
    Edge () {} //作為Edge類數組的默認構造函數
    Edge (int u, int v, int ca, int fl, int co):from(u), to(v), cap(ca), flow(fl), cost(co)
    {}
};

struct MCFC {
    int n, m, s, t;
    Edge edges[maxm];
    int first[maxn];
    int next[maxm];
    int inq[maxn];
    int d[maxm];
    int p[maxn];
    int a[maxn];
    int Q[maxn];

    MCFC() {}

    void init(int n) {
        this->n = n;
        memset(first, -1, sizeof(first));
        m = 0;
    }

    void addEdge(int u, int v, int cap, int cost) {
        edges[m] = Edge(u, v, cap, 0, cost);
        next[m] = first[u];
        first[u] = m++;
        edges[m] = Edge(v, u, 0, 0, -cost);
        next[m] = first[v];
        first[v] = m++;
    }

    bool bellmanFord(int s, int t, int &flow, long long &cost) {

        for (int i = 0; i < n; i++) d[i] = INF;
        memset(inq, false, sizeof(inq));
        d[s] = 0; inq[s] = true; p[s] = 0; a[s] = INF;
        int front, rear;
        Q[rear = front = 0] = s;
        while (front <= rear) {
            int u = Q[front++];
            inq[u] = false;
            for (int i = first[u]; i != -1; i = next[i]) {
                Edge &e = edges[i];
                if (e.cap > e.flow && d[e.to] > d[u] + e.cost) {
                    d[e.to] = d[u] + e.cost;
                    p[e.to] = i;
                    a[e.to] = min(a[u], e.cap - e.flow);
                    if (!inq[e.to]) {Q[++rear] = e.to; inq[e.to] = true;}
                }
            }
        }
        if (d[t] == INF) return false;
        flow += a[t];
        cost += (long long)d[t] * (long long)a[t];
        int u = t;
        while (u != s) {
            edges[p[u]].flow += a[t];
            edges[p[u]^1].flow -= a[t];
            u = edges[p[u]].from;
        }
        return true;
    }

    int mincostMaxflow(int s, int t, long long& cost) {
        int flow = 0; cost = 0;
        while (bellmanFord(s, t, flow, cost));
        return flow;
    }
}g;

int main(void) {
    int nn, mm, s, t, u, v, cap, cost, totFlow = 0;
    long long totCost = 0;
    while(~scanf("%d%d", &nn, &mm)) {
        s = 1;
        t= nn;
        g.init(t+1);
        for (int i = 0; i < mm; i++) {
            scanf("%d%d%d%d", &u, &v, &cap, &cost);
            g.addEdge(u, v, cap, cost);
        }
        totFlow = g.mincostMaxflow(1, t, totCost);
        printf("最小花費:%lld 最大流:%d
", totCost, totFlow);
    }
    return 0;
}

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————全心全意投入，拒絕畫地為牢

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最小费用最大流(MCMF) 模板的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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