2021年第十二屆藍(lán)橋杯 - 省賽 - C/C++大學(xué)A組 - D.路徑

Ideas

算法：最短路徑
數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：圖
思路：根據(jù)規(guī)則構(gòu)圖，單源最短路徑Dijkstra算法。

首先構(gòu)圖其實(shí)很簡單，就是按照題目的要求來就可以了，這里需要注意的就是最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的計(jì)算函數(shù)，其實(shí)可以當(dāng)做模板背下來了。

def gcd(a, b):return a if b == 0 else gcd(b, a % b)def lcm(a, b):return a * b / gcd(a, b)

然后構(gòu)造圖的時(shí)候選擇通過鄰接矩陣的形式去構(gòu)建。

graph = [[0] * 2021 for _ in range(2021)]for row in range(2021):for col in range(2021):graph[row][col] = float("inf") if abs(row - col) > 21 else lcm(row + 1, col + 1)

之后就是Dijkstra算法了，簡單介紹一下。

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Dijkstra單源最短路徑算法

松弛操作：對(duì)于一對(duì)頂點(diǎn)要求最短路徑，可以通過中轉(zhuǎn)點(diǎn)將路徑變短。

對(duì)于i、j兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，如果想讓路徑變短，只能通過第三個(gè)節(jié)點(diǎn)k來中轉(zhuǎn)。舉個(gè)例子，從 1->5 距離為10，但 1->2->5 距離變成9了。

單源最短路徑問題指的是從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，求該點(diǎn)到其它所有頂點(diǎn)的最短路徑，也就是說，只能計(jì)算起點(diǎn)只有一個(gè)的情況。

對(duì)于圖G=<V, E>上帶權(quán)的單源最短路徑問題，Dijkstra算法設(shè)置一個(gè)集合S用來記錄已經(jīng)求得最短路徑的頂點(diǎn)。

初始時(shí)把起點(diǎn)v₀放入S中，集合S每并入一個(gè)新頂點(diǎn)v_i，都要修改原點(diǎn)v₀到集合V-S中頂點(diǎn)的當(dāng)前最短路徑長度值。

從起點(diǎn)到一個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑一定會(huì)經(jīng)過至少一個(gè)“中轉(zhuǎn)點(diǎn)”（我們認(rèn)為起點(diǎn)也是一個(gè)“中轉(zhuǎn)點(diǎn)”），如果我們想要求出起點(diǎn)到一個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑，那我們必須要先求出從起點(diǎn)到中轉(zhuǎn)點(diǎn)的最短路徑。

對(duì)于圖G=<V, E>，將所有的點(diǎn)分為兩類，一類是已經(jīng)確定最短路徑的點(diǎn)，稱為“紅點(diǎn)”，另一類是未確定最短路徑的點(diǎn)，稱為“白點(diǎn)”。

Dijkstra算法的思想：首先將起點(diǎn)的距離標(biāo)記為0，而后進(jìn)行n此循環(huán)，每次找出一個(gè)到起點(diǎn)距離最短的點(diǎn)，將它從白點(diǎn)變?yōu)榧t點(diǎn)，隨后枚舉所有的白點(diǎn)，如果以此紅點(diǎn)為中轉(zhuǎn)到達(dá)某個(gè)白點(diǎn)的路徑更短的話，那么就更新。

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通過Dijkstra最短路徑算法可以求得結(jié)點(diǎn)1到其它所有結(jié)點(diǎn)的最短路徑，最后直接輸出結(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2021之間的最短路徑長度就OK啦。

Code

Python

import heapqdef gcd(a, b):return a if b == 0 else gcd(b, a % b)def lcm(a, b):return a * b / gcd(a, b)def Dijkstra(g, node):n, queue, visit = len(g), list(), set()heapq.heappush(queue, (0, node))distance = [float("inf") for _ in range(n)]distance[node] = 0while queue:dist, vertex = heapq.heappop(queue)visit.add(vertex)for i in range(n):val = g[vertex][i]if val != float("inf") and val not in visit and dist + val < distance[i]:distance[i] = dist + valheapq.heappush(queue, (dist + val, i))return distanceif __name__ == '__main__':graph = [[0] * 2021 for _ in range(2021)]for row in range(2021):for col in range(2021):graph[row][col] = float("inf") if abs(row - col) > 21 else lcm(row + 1, col + 1)dis = Dijkstra(graph, 0)print(int(dis[2021 - 1]))

Answer：10266837

總結(jié)

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