時間序列指由有時間先后順序組成的一組時間變量。分析時間序列的前提假設是，時間序列具有自相關性， 通過這種自相關性，從而通過過去推測未來，如果某個時間序列沒有自相關性，那么根據過去推測未來就毫無意義。

自協方差

隨機變量$X_t$,在時間點$k,k?l$,取之分別為$X_k,X_{k?l}$, $l$階自協方差的表達式：
${\gamma }_l=\mathbb{E}[(X_k?{\mu }_k)(X_{k?l}?{\mu }_{k?l})]=Cov(X_k,X_{k?l}),l=0,1,2...$

自相關系數

${\rho }_l=\frac{Cov(X_k,X_{k?l})}{Var(X_k)}=\frac{{\gamma }_l}{{\gamma }_0}$

偏自相關系數

在計算昨天對今天的影響的時候，其實前天對昨天的影響也間接影響了今天，大前天對前天和昨天的影響也間接影響了今天。以此類推，計算t和t-1期的相關性時，不單純是昨天的影響，也包含了之前所有各期的信息對今天的間接影響。所以為了衡量過去單期（一天）對今天的影響，我們引入偏相關性的概念，用于剔除更早之前的信息對現在的影響。

${\rho }_{l}l=Corr(X_k,X_{k?l}|X_{k?1},X_{k?2},...,X_{k?l+1})$

平穩性

如果時間序列的基本特性保持不變，我們就稱該時間序列是平穩的。

強平穩

設$\{X_t\}$為一時間序列，對于任意正整數n，任取$t_1,t_2,...,t_n\in T$, 對任意$\tau$ 有：

$F_X(x_{t_1},x_{t_2},...x_{t_n})=F_X(x_{t_{1+\tau }},x_{t_{2+\tau }},...x_{t_{n+\tau }})$

即時間序列中任何時段的聯合分布都是相同的，則稱這個時間序列是請平穩的。這個條件過于苛刻，實際中很難應用。

弱平穩

假設$\{X_t\}$是一個時間序列，如果$\{X_t\}$滿足如下三個條件：
（1） 任取$t\in T$，有$\mathbb{E}(X_t)=\mu$,即序列的均值為常數
（2） 任取$t\in T$，有$\mathbb{E}(X_t^2)<\infty$
（3） 任取$t\in T$，對任意整數h，任意階數l，有${\gamma }_l(t)={\gamma }_l(t+h)$，即t時點的自協方差與t+h時點的自協方差相等。也就是說，l階自協方差不隨t值改變。

一般說樹間序列平穩，都是指弱平穩性。

單位根檢驗

如果一個序列是非平穩的，經過d次差分，可以將其轉換成平穩序列，則稱此序列為$I(d)$，其中I指整合（Integrated），d為整合階數。比如：
$x_t=x_{t?1}+{?}_t$
其中$x_0=0,{?}_t～N(0,{\sigma }_{?}^2)$
可以根據計算得到：
$\mathbb{E}(x_t)=\mathbb{E}(x_{t?1})=...=\mathbb{E}(x_1)=\mathbb{E}(x_0+{?}_1)=0$
$Var(x_t)=Var(x_{t?1})+{\sigma }_{?}^2=...=t{\sigma }_{?}^2$
因為$x_t$的方差會隨和時間t發生改變，因此該時間序列是非平穩。不過$x_t$經過一階差分后$\Delta x_t=x_t?x_{t?1}={?}_t$,因此$x_t$為非平穩的I(1)序列。
一個時間序列是否平穩可以借助之后蒜子多項式方差的根來判斷。滯后算子L，比如對時間序列{x_t}運用滯后算子可得$L{x}_t=x_{t?1},L^2{x}_t=x_{t?2},...$

將一個序列$y_t$一般化的表示為
$y_t=\gamma +{\rho }_1{y}_{t?1}+{\rho }_2{y}_{t?2}+...+{\rho }_p{y}_{t?p}+{?}_t$
${?}_t～IID(0,{\sigma }_{?}^2)$
借助滯后算子，將上面的模型改寫成：
$y_t=\gamma +{\rho }_{1}L{y}_t+{\rho }_2{L}^2{y}_t+...+{\rho }_p{L}^p{y}_t+{?}_t$
$\gamma +{?}_t=(1?{\rho }_{1}L?{\rho }_2{L}^2?...?{\rho }_p{L}^p)y_t$
對應的滯后算子多項式方程為：
$1?\rho (L)=(1?{\rho }_{1}L?{\rho }_2{L}^2?...?{\rho }_p{L}^p)=0$

如果$1?\rho (L)=0$所有根的絕對值都大于1，那么時間序列$y_t$為平穩的時間序列。如果$1?\rho (L)=0$存在單位根，即L=1，那么時間序列$y_t$就是非平穩，對該時間序列的未來值的預測就難以進行

常見的單位根檢驗的方法有DF(Dickey-Fuller Test)檢驗，ADF檢驗(Augmented Dickey_Fuller Test)，PP檢驗(Phillips-Perron test)。

白噪聲

如果一個隨機過程中任意時點t的變量$X_t$的均值和方差，協方差分別滿足以下公式：
$\mathbb{E}(X_t)=0$
$Var(X_t)={\sigma }^2$
${\gamma }_l=0,l>0$
則稱這個隨機過程為白噪聲過程。白噪聲過程中各期變量之間的協方差為0，也就是白噪聲過程是沒有相關性的。這種時間序列也可以稱為純隨機序列。
如果白噪聲過程中的個變量獨立同分布，且都服從正態分布，則該序列被稱為高斯白噪聲過程。根據定義，高斯白噪聲過程是強平穩的時間序列，而且各期之間不僅不相關，而且互相獨立。

白噪聲檢驗

通常使用Ljung-Box檢驗，檢驗的原假設為所檢驗的序列是純隨機序列，Q統計量為：
$Q(m)=n(n+2){\sum }_{k=1}^m\frac{{\rho }_k^2}{n?k}～{\chi }_m^2$
其中，${\rho }_k^2$是序列的k階自相關系數，n是整個序列中觀測值的個數，m是設定的滯后階數。
在檢驗一個時間序列在m界內是否是白噪聲，只有當Q(1),Q(2),…,Q(m)這m個Q統計量都小于對應的${\chi }^2$分布的臨界值時，才說嘛這個序列在所檢驗的m階內是純隨機序列。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【量化笔记】时间序列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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