常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法
? ? ? ? 上一節講了?常微分方程的三種離散化 方法:差商近似導數、數值積分、Taylor 多項式近似。
目錄
??§2 歐拉（Euler）方法
?2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式? ? ? ? ? ? ?? ? ?2.2 Euler 方法的誤差估計
§3 改進的 Euler 方法
3.1 梯形公式? ? ? ? ? ?????3.2 改進 Euler 法
??§2 歐拉（Euler）方法
?2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值問題（3）的解來近似微分方程初值問題（1）的解， 即由公式（3）依次算出 ?的近似值 ??。這組公式求問題（1）的數值 解稱為向前 Euler 公式。
2.2 Euler 方法的誤差估計
對于向前 Euler 公式（3）我們看到，當n = 1,2,....時公式右端的 ?都是近似的， 所以用它計算的 會有累積誤差，分析累積誤差比較復雜，這里先討論比較簡單的 所謂局部截斷誤差。
顯然 p 越大，方法的精度越高。式（9）說明，向前 Euler 方法是一階方法，因此 它的精度不高。
§3 改進的 Euler 方法
3.1 梯形公式
利用數值積分方法將微分方程離散化時，若用梯形公式計算式(4)中之右端積分， 即
這就是求解初值問題（1）的梯形公式。
直觀上容易看出，用梯形公式計算數值積分要比矩形公式好。梯形公式為二階方法。 梯形公式也是隱式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式為
如果實際計算時精度要求不太高，用公式（10）求解時，每步可以只迭代一次，由此導 出一種新的方法—改進 Euler 法。
3.2 改進 Euler 法
按式（5）計算問題（1）的數值解時，如果每步只迭代一次，相當于將 Euler 公式 與梯形公式結合使用：先用 Euler 公式求 ?的一個初步近似值 ?，稱為預測值，然 后用梯形公式校正求得近似值 ?，即
式（11）稱為由 Euler 公式和梯形公式得到的預測—校正系統，也叫改進 Euler 法。
為便于編制程序上機，式（11）常改寫成
改進 Euler 法是二階方法。
常微分方程的解法求解系列博文：
常微分方程的解法 (一): 常微分方程的離散化 :差商近似導數、數值積分方法、Taylor 多項式近似
常微分方程的解法 (二): 歐拉（Euler）方法
常微分方程的解法 (三): 龍格—庫塔（Runge—Kutta）方法 、線性多步法
常微分方程的解法 (四): Matlab 解法
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總結
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