Title

給定一個(gè)整數(shù) n，求以 1 … n 為節(jié)點(diǎn)組成的二叉搜索樹(shù)有多少種？

示例:

輸入: 3
輸出: 5
解釋:
給定 n = 3, 一共有 5 種不同結(jié)構(gòu)的二叉搜索樹(shù):

1 3 3 2 1\ / / / \ \3 2 1 1 3 2/ / \ \2 1 2 3

動(dòng)態(tài)規(guī)劃

Solve

給定一個(gè)有序序列 1?n，為了構(gòu)建出一棵二叉搜索樹(shù)，我們可以遍歷每個(gè)數(shù)字 i，將該數(shù)字作為樹(shù)根，將 1?(i?1) 序列作為左子樹(shù)，將 (i+1)?n 序列作為右子樹(shù)，接著按照同樣的方式遞歸構(gòu)建左子樹(shù)和右子樹(shù)。

在上述構(gòu)建的過(guò)程中，由于根的值不同，因此能保證每棵二叉搜索樹(shù)是唯一的。由此可見(jiàn)，原問(wèn)題可以分解成規(guī)模較小的兩個(gè)子問(wèn)題，且子問(wèn)題的解可以復(fù)用。

題目要求是計(jì)算不同二叉搜索樹(shù)的個(gè)數(shù)。為此，可以定義兩個(gè)函數(shù)：

G(n): 長(zhǎng)度為 n 的序列能構(gòu)成的不同二叉搜索樹(shù)的個(gè)數(shù)。

F(i,n): 以 i 為根、序列長(zhǎng)度為 n 的不同二叉搜索樹(shù)個(gè)數(shù) (1≤i≤n)。

可見(jiàn)，G(n) 是我們求解需要的函數(shù)。

稍后我們將看到，G(n) 可以從 F(i, n) 得到，而 F(i, n) 又會(huì)遞歸地依賴于 G(n)。

首先，根據(jù)上一節(jié)中的思路，不同的二叉搜索樹(shù)的總數(shù) G(n)，是對(duì)遍歷所有(1≤i≤n)的 F(i, n) 之和。換言之：

$$\sum _{i=1}^{n}F(i,n)$$

對(duì)于邊界情況，當(dāng)序列長(zhǎng)度為 1（只有根）或?yàn)?0（空樹(shù)）時(shí)，只有一種情況，即：

$$G(0)=1,G(1)=1$$

給定序列 1?n，我們選擇數(shù)字 i 作為根，則根為 i 的所有二叉搜索樹(shù)的集合是左子樹(shù)集合和右子樹(shù)集合的笛卡爾積，對(duì)于笛卡爾積中的每個(gè)元素，加上根節(jié)點(diǎn)之后形成完整的二叉搜索樹(shù)，如下圖所示：

舉例而言，創(chuàng)建以 3 為根、長(zhǎng)度為 7 的不同二叉搜索樹(shù)，整個(gè)序列是 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]，我們需要從左子序列 [1, 2] 構(gòu)建左子樹(shù)，從右子序列 [4, 5, 6, 7] 構(gòu)建右子樹(shù)，然后將它們組合（即笛卡爾積）。

對(duì)于這個(gè)例子，不同二叉搜索樹(shù)的個(gè)數(shù)為 F(3, 7)。我們將 [1,2] 構(gòu)建不同左子樹(shù)的數(shù)量表示為 G(2), 從 [4, 5, 6, 7] 構(gòu)建不同右子樹(shù)的數(shù)量表示為 G(4)，注意到 G(n) 和序列的內(nèi)容無(wú)關(guān)，只和序列的長(zhǎng)度有關(guān)。于是，F(3,7)=G(2)?G(4)。 因此，我們可以得到以下公式：
$$F(i,n)=G(i?1)?G(n?i)$$將兩個(gè)公式結(jié)合，可以得到 G(n) 的遞歸表達(dá)式：
$$G(n)=\sum _{i=1}^{n}G(i?1)?G(n?i)$$至此，我們從小到大計(jì)算 G 函數(shù)即可，因?yàn)?G(n) 的值依賴于 G(0)?G(n?1)。

Code

def numTrees(self, n: int) -> int:G = [0] * (n + 1)G[0], G[1] = 1, 1for i in range(2, n + 1):for j in range(1, i + 1):G[i] += G[j - 1] * G[i - j]return G[n]

復(fù)雜度分析

時(shí)間復(fù)雜度 : O(n²)，其中 n 表示二叉搜索樹(shù)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。G(n) 函數(shù)一共有 n 個(gè)值需要求解，每次求解需要 O(n) 的時(shí)間復(fù)雜度，因此總時(shí)間復(fù)雜度為 O(n²)。

空間復(fù)雜度 : O(n)。我們需要 O(n) 的空間存儲(chǔ) G 數(shù)組。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的96. Unique Binary Search Trees 不同的二叉搜索树的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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