若$w_k=a_kb_k$,其中 \begin{equation} \label{eq:12.47} |\sum_1^na_k|\leq M(n=1,2,3,\cdots),\lim_{k\to\infty}b_k=0 \end{equation}且級數(shù)$\sum_1^{\infty}|b_k-b_{k+1}|$收斂，則級數(shù)$\sum_1^{\infty}w_k$收斂. 證明:令$b_1=c_1$,$b_{k+1}-b_k=c_{k+1}$.則題目轉(zhuǎn)化為: 若$w_k=a_k(c_1+\cdots c_k)$,其中 \begin{equation} \label{eq:12.55} |\sum_1^na_k|\leq M(n=1,2,3,\cdots),\lim_{k\to\infty}(c_1+\cdots+c_k)=0 \end{equation}且級數(shù)$\sum_1^{\infty}|c_{k+1}|$收斂.則級數(shù)$\sum_1^{\infty}w_k$收斂. 為了證明$\sum_1^{\infty}w_k$收斂，只用證明對於任意正實(shí)數(shù)$\varepsilon$來說，都存在相應(yīng)的正整數(shù)$N$,使得對於壹切$p,q\geq N$,都有 \begin{align*} |\sum_{i=p}^qw_i|<\varepsilon \end{align*} 即\begin{align*}|a_p(c_1+\cdots+c_p)+\cdots+a_q(c_1+\cdots+c_q)|<\varepsilon\end{align*}即 \begin{align*} |c_1(a_p+\cdots+a_q)+\cdots+c_p(a_p+\cdots+a_q)+c_{p+1}a_q+\cdots+c_qa_q|<\varepsilon \end{align*} 只需 \begin{align*} |c_1||a_p+\cdots+a_q|+\cdots+|c_p||a_p+\cdots+a_q|+|c_{p+1}||a_q|+\cdots+|c_q||a_q|<\varepsilon \end{align*}即可.只需 \begin{align*} 2M(|c_p|+|c_{p+1}|+\cdots+|c_q|)<\varepsilon \end{align*}即可(為什麼?). 而由於$\sum_1^{\infty}|c_{k+1}|$收斂，上式在$N$足夠大的時候是可以實(shí)現(xiàn)的.就這樣，我們完成了證明.

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/11/14/3827702.html

與50位技術(shù)專家面對面20年技術(shù)見證，附贈技術(shù)全景圖

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的解析函數論 Page 22 級數收斂的一個充分條件的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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