發現這個問題很有必要，就搜集了些資料.....如下：

【一筆畫問題的簡介】　　一筆畫是一個幾何問題，傳統意義上的幾何學是研究圖形的形狀大小等性質，而存在一些幾何問題，它們所研究的對象與圖形的形狀和線段的長短沒關系，而只和線段的數目和它們之間的連接關系有關，比如一筆畫問題就是如此。

　　一筆畫問題是一個簡單的數學游戲，即平面上由曲線段構成的一個圖形能不能一筆畫成，使得在每條線段上都不重復？例如漢字‘日’和‘中’字都可以一筆畫的，而‘田’和‘目’則不能。

【一筆畫問題的規律】

　　早在18世紀，瑞士的著名數學家歐拉就找到了一筆畫的規律。歐拉認為，能一筆畫的圖形必須是連通圖。連通圖就是指一個圖形各部分總是有邊相連的．
　　但是，不是所有的連通圖都可以一筆畫的。能否一筆畫是由圖的奇、偶點的數目來決定的。
　　數學家歐拉找到一筆畫的規律是：
　　■⒈凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。
　　■⒉凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。
　　■⒊其他情況的圖都不能一筆畫出。(有偶數個奇點除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)
　　比如附圖：（a）為（1）情況，因此可以一筆畫成；（b）（c）（d）則沒有符合以上兩種情況，所以不能一筆畫成。
　　■補充：相關名詞的含義
　　◎頂點與指數：設一個平面圖形是由有限個點及有限條弧組成的，這些點稱為圖形的頂點，從任一頂點引出的該圖形的弧的條數，稱為這個頂點的指數。
　　◎奇頂點：指數為奇數的頂點。
　　◎偶頂點：指數為偶數的頂點

【一筆畫問題規律的證明】

　　先定義能一筆畫出并回到起點的圖為歐拉圖，連通就是說任意兩個節點之間可以找到一條連接它們的線。這個要求看來很重要，直觀方法中與這一點對應的是說原圖本身不能是分成多個的
　　■證明
　　 設G為一歐拉圖，那么G顯然是連通的。另一方面，由于G本身為一閉路徑，它每經過一個頂點一次，便給這一頂點增加度數2，因而各頂點的度均為該路徑經歷此頂點的次數的兩倍，從而均為偶數。反之，設G連通，且每個頂點的度均為偶數，欲證G為一歐拉圖。為此，對G的邊數歸納。當m = 1時，G必定為單結點的環，顯然這時G為歐拉圖。設邊數少于m的連通圖，在頂點度均為偶數時必為歐拉圖，現考慮有m條邊的圖G。設想從G的任一點出發，沿著邊構畫，使筆不離開圖且不在構畫過的邊上重新構畫。由于每個頂點都是偶數度，筆在進入一個結點后總能離開那個結點，除非筆回到了起點。在筆回到起點時，它構畫出一條閉路徑，記為H。從圖G中刪去H的所有邊，所得圖記為G’，G’未必連通，但其各頂點的度數仍均為偶數．考慮G的各連通分支，由于它們都連通，頂點度數均為偶數，而邊數均小于m，因此據歸納假設，它們都是歐拉圖。此外，由于G連通，它們都與H共有一個或若干個公共頂點，因此，它們與H一起構成一個閉路徑。這就是說，G是一個歐拉圖。

【七橋問題與歐拉定理】　　七橋問題和歐拉定理。歐拉通過對七橋問題的研究，不僅圓滿地回答了哥尼斯堡居民提出的問題，而且得到并證明了更為廣泛的有關一筆畫的三條結論，人們通常稱之為歐拉定理。對于一個連通圖，通常把從某結點出發一筆畫成所經過的路線叫做歐拉路。人們又通常把一筆畫成回到出發點的歐拉路叫做歐拉回路。具有歐拉回路的圖叫做歐拉圖。

轉載于:https://www.cnblogs.com/waterfalleagle/archive/2009/11/17/1604449.html

總結

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