数论经典题目
題目一：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2866
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題意：在區(qū)間[2,L]內(nèi)，有多少個素數(shù)p，滿足方程有解。
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分析：n^b + p*n^(b-1) = m^b?? ==>???n^(b-1)*[n+p]=m^b
因為n里面要么有p因子，要么沒有，所以gcd(n^(b-1),n+p)=1或(含有p因子的數(shù))
當gcd(n^(b-1),n+p)== (含有p因子的數(shù))的時候，顯然無解，因為假設(shè)有解，那么n=K*p , K^(b-1)*p^b*(K+1)
如果希望上面的==m^b,那么K^(b-1) *(K+1)必須能表示成某個數(shù)X的b次方，而gcd(K,K+1)=1,所以他們根本就沒共同因
子，所以沒辦法表示成X的b次方，所以gcd(n^(b-1),n+p)=1
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假設(shè)n=x^b，n+p=y^b，那么顯然m=x^(b-1)*y，而p=y^b-x^b
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顯然(y-x)|p，那么必須有y-x=1，所以y=x+1，代上去就發(fā)現(xiàn)，p=(x+1)^b-x ^b。所以枚舉x,然后判斷p是否是素數(shù)即可。
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題目四：http://acm.tzc.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=3012
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題意：f[1]=1,f[2]=2,f[n]=f[n-1]+f[n-2],定義：，求
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通過構(gòu)造矩陣可以解決：
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然后有：降冪即可。
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題目五：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3988
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題意：給兩個數(shù)n和k，找一個最大的i使得k^i能整除n!。這里的n與k都很大，10^18
分析：直接對K素因子分解，然后對于每一個素因子，找出在n!中的個數(shù)，然后對應(yīng)相除，找最小的即可。
n！中素因子p的個數(shù)一定不會超過LL，這個可以由等比公式求和證明，然后直接素因子分解解決。
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題目六：http://poj.openjudge.cn/practice/1046/
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題意：給定正整數(shù)b，求最大的整數(shù)a，滿足a*(a+b)為完全平方數(shù)，1 <= b <= 10^9
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分析：設(shè)a，b的最大公約數(shù)為g，則g=gcd(a,b)=gcd(a,a+b)
那么有a*(a+b)=g^2*a1*(a1+b1)，其中a1與b1互素，由于要為完全平方數(shù)，所以可以設(shè)x^2=a1，y^2=a1+b1??
進而推出：b1=y^2-x^2=(y-x)*(y+x)
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現(xiàn)在我們令n=y+x，m=y-x，很明顯n>m，由于a1與a1+b1互素，所以有g(shù)cd(x^2,y^2)=1，進而有g(shù)cd(x,y)=1
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所以本題就可以這樣做：先求出b的所有約數(shù)，這樣g就等于b/(b的約數(shù))，然后又分別求出b的約數(shù)的約數(shù)，假設(shè)為arr2[j]，
由于n>m，我們只需要枚舉到sqrt(arr1[i])即可，然后解出x=(n-m)/2，y=(n+m)/2，但是前提是要保證都能整除，然后再
判斷gcd(x,y)=1,兩層for循環(huán)，記錄最大值即可。由于因子一般不會很多，所以沒有問題。
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題目七：2013年通化邀請賽E題
題意：給三個數(shù)x,y,z的最大公約數(shù)gcd，最小公倍數(shù)lcm . 然后求滿足的x,y,z有多少種可能。（1,3,2） 和 （1,2,3）被
視為不同。
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分析：
首先lcm%gcd == 0是必須的，否則無解。
然后將tmp = lcm/gcd 進行因式分解。假設(shè)其中有一個質(zhì)因子p1的冪為e1，那么著三個數(shù)中至少有一個含有p1，至少有一個
不含p1 。如果都含有p1的話他就被分到最大公約數(shù)里面去了，不會在tmp里面，如果不含有p1的話，那么p1就一定不會存在
了。
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那么對于質(zhì)因子p1來說 如果有兩個含有他的話那么結(jié)果為A(3,2)*(e1 - 1) ?e1可以分成x ,y (x+y = e1 x!=0 && y !
= 0)，如果有一個含有它的話那么必定是含有p1^e1次方。如果不是p1^e1次方的話，那么tmp里面的p1的冪也就不是e1了。
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題目八：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1098
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題意：對于f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x，給定k，求最小的正整數(shù)a滿足65|f(x)
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對f(x)=x(5*x^12+13*x^4+k*a)用費馬小定理定理分析：
（1）如果x是65的倍數(shù)，那么已經(jīng)符合65整除f(x)
（2）如果x是5的倍數(shù)，只要5*x^12+13*x^4+k*a被13整除即可，去掉13的倍數(shù)13*x^4，也即5*x^12+k*a被13
???? 整除，由費馬小定理，5與13互質(zhì)，13是質(zhì)數(shù)，所以x^(13-1)模13余1，
? ? ?所以5*x^12模13余5，要使5*x^12+k*a被13整除，k*a必須模13余8(k*a≡8(mod?13))
（3）如果x是13的倍數(shù)，類似（2），需要13*x^4+k*a被5整除，由費馬小定理類似得到x^4模5余1，所以
? ? ?13*x^4模5余3，k*a必須模5余2(k*a≡2(mod?5))
（4）如果x不含5和13這兩個因子，則需要5*x^12+13*x^4+k*a被65整除了，等價于既要被5整除，又要被13整
?????除，就相當于以上(2)(3)兩種情況的條件要同時滿足，所以有k*a≡2(mod?5)?并且?k*a≡8(mod?13)
? ? ?然后中國剩余定理。
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題目十：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3802
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題意：求表達式的值，p是奇素數(shù)。
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分析：前面部分用二次剩余計算勒讓德符號即可，后面部分構(gòu)造矩陣即可。
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即：
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那么根據(jù)特征根為和構(gòu)造類似斐波那契數(shù)列。
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得到：
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總結(jié)
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