前言

好像是一個不是很煩的算法
然后和分治套NTT不同

題目

模板題
已知$g_i$
求每個$f_i$
$$f_i=\sum _{j=1}^i{f}_{i?j}{g}_j$$

一般解法

直接求是$\Theta (n^2)$的
用FFT直接求是$\Theta (n^{2}logn)$的
不是很優(yōu)
考慮分治
對所有位置建立二叉樹
考慮其的后序遍歷
訪問到每個節(jié)點時，若其是其父親的左兒子，那么對父親的右兒子進行貢獻
直接FFT轉(zhuǎn)移即可
共有$logn$層，每層長度為$n$，FFT的復雜度有一個$log$
總復雜度$\Theta (nlo{g}^{2}n)$

代碼

#include<cstdio> #include<cstring> #include<cctype> namespace fast_IO {const int IN_LEN=10000000,OUT_LEN=10000000;char ibuf[IN_LEN],obuf[OUT_LEN],*ih=ibuf+IN_LEN,*oh=obuf,*lastin=ibuf+IN_LEN,*lastout=obuf+OUT_LEN-1;inline char getchar_(){return (ih==lastin)&&(lastin=(ih=ibuf)+fread(ibuf,1,IN_LEN,stdin),ih==lastin)?EOF:*ih++;}inline void putchar_(const char x){if(oh==lastout)fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout),oh=obuf;*oh++=x;}inline void flush(){fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout);} } using namespace fast_IO; #define getchar() getchar_() #define putchar(x) putchar_((x)) #define rg register typedef long long LL; template <typename T> inline T max(const T a,const T b){return a>b?a:b;} template <typename T> inline T min(const T a,const T b){return a<b?a:b;} template <typename T> inline void mind(T&a,const T b){a=a<b?a:b;} template <typename T> inline void maxd(T&a,const T b){a=a>b?a:b;} template <typename T> inline T abs(const T a){return a>0?a:-a;} template <typename T> inline void swap(T&a,T&b){T c=a;a=b;b=c;} template <typename T> inline T gcd(const T a,const T b){if(!b)return a;return gcd(b,a%b);} template <typename T> inline T lcm(const T a,const T b){return a/gcd(a,b)*b;} template <typename T> inline T square(const T x){return x*x;}; template <typename T> inline void read(T&x) {char cu=getchar();x=0;bool fla=0;while(!isdigit(cu)){if(cu=='-')fla=1;cu=getchar();}while(isdigit(cu))x=x*10+cu-'0',cu=getchar();if(fla)x=-x; } template <typename T> inline void printe(const T x) {if(x>=10)printe(x/10);putchar(x%10+'0'); } template <typename T> inline void print(const T x) {if(x<0)putchar('-'),printe(-x); else printe(x); } const LL mod=998244353,maxn=262146; inline int Md(const int x){return x>=mod?x-mod:x;} inline LL pow(LL x,LL y) {rg LL res=1;for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)if(y&1)res=res*x%mod;return res; } int n,f[maxn],g[maxn]; int lenth,Reverse[maxn]; int W[maxn],F[maxn]; inline void init(const int x) {rg int tim=0;lenth=1;while(lenth<x)lenth<<=1,tim++;for(rg int i=0;i<lenth;i++)Reverse[i]=(Reverse[i>>1]>>1)|((i&1)<<(tim-1)); } inline void NTT(int*A,const int fla) {for(rg int i=0;i<lenth;i++)if(i<Reverse[i])swap(A[i],A[Reverse[i]]);for(rg int i=1;i<lenth;i<<=1){const int w=fla==-1?F[i]:W[i];for(rg int j=0;j<lenth;j+=(i<<1)){int K=1;for(rg int k=0;k<i;k++,K=(LL)K*w%mod){const int x=A[j+k],y=(LL)A[j+k+i]*K%mod;A[j+k]=Md(x+y);A[j+k+i]=Md(mod+x-y);}}}if(fla==-1){const int inv=pow(lenth,mod-2);for(rg int i=0;i<lenth;i++)A[i]=(LL)A[i]*inv%mod;} } int A[maxn],B[maxn]; void calc(const int ll,const int rr,const bool sign) {if(ll+1!=rr){const int mid=(ll+rr)>>1; calc(ll,mid,1);calc(mid,rr,0);}if(sign){const int Lth=rr-ll,R=rr+Lth;init(Lth<<1);memcpy(A,f+ll,sizeof(int)*Lth);memset(A+Lth,0,sizeof(int)*Lth);memcpy(B,g,sizeof(int)*(Lth<<1));NTT(A,1),NTT(B,1);for(rg int i=0;i<lenth;i++)A[i]=(LL)A[i]*B[i]%mod;NTT(A,-1);for(rg int i=rr;i<R;i++)f[i]=Md(f[i]+A[Lth+i-rr]);} } int main() {read(n),n--;init(n);for(rg int i=1;i<=n;i++)read(g[i]);for(rg int i=1;i<262144;i<<=1){W[i]=pow(3,(mod-1)/i/2);F[i]=pow(W[i],mod-2);}f[0]=1;calc(0,lenth,0);for(rg int i=0;i<=n;i++)print(f[i]),putchar(' ');return flush(),0; }

多項式求逆解法

我們觀察式子：
$$f_i=\sum _{j=1}^i{f}_{i?j}{g}_j$$
我們可以換個寫法（$f_0$即常數(shù)項）
$$f(x)?g(x)+f_0=f(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$$
然后移項
$$f(x)=f_0(1?g(x){)}^{?1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$$
多項式求逆即可
復雜度$\mathcal{O}(nlogn)$，代碼就不貼了

總結(jié)

好用&清真

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的分治FFT的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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