引言在半導體量子器件的分析和設計中,需要計算薛定諤方程,轉移矩陣方法是常見的求解途徑之一[1,2]。轉移矩陣方法是較為基于抽象的矩陣迭代計算,處理比較瑣雜。由于轉移矩陣方法的實質仍是求解線性方程組,因此可以舍棄矩陣表達,而直接以線性方程組分析和描述。借助MATLAB強大的矩陣計算功能,可以顯著簡化利用轉移矩陣法求解一維薛定諤方程的過程。1一維薛定諤方程求解過程中的轉移矩陣概念一維定態薛定諤波動方程如下:()222d20dmEVxx+?????=(1)式中:(x)為波函數(x,t)的空間部分;V(x)為勢能函數;?為約化普朗克常數;m為粒子質量;E為能量。一般情況下,式(1)沒有解析解,需要做數值計算。從計算角度來看,由于E為常數,如果V(x)也為常數,則求解過程顯著簡化。為此,可如圖1所示,將求解空間均勻劃分為N個區域,使得V(x)在每個區域內近似為常數,于是式(1)可以寫為:222d0dxj+kjj=(j=1,2,…,N)(2)式中:kj稱為波數,并有:()1/22jjmEVk=?????(3)(1)()jj2jVxVxV=?+(4)123N-1Nx1x2x3x4xN?1xNxN+1圖1將求解區域劃分為N等份Fig.1SolutionspaceisdividedintoNevenlyintervals利用MATLAB的dsolve()命令,可求出式(2)的通解為:j(x)=C1sin(kjx)+C2cos(kjx)(5)式中:C1、C2為待定系數。用MATLAB可以驗證,將下列復指數函數:j(x)=Cexp(ikjx)(6)和j(x)=C2j-1exp(ikjx)+C2jexp(-ikjx)(7)它們代入式(2),波動方程仍然成立,說明上述復指數函數也是波動方程的通解。分析中一般選用式(7)。在各區間的交界處(x=xj,j=2,3,…,N),波函數及其一階導數連續,故有:文獻中有關轉移矩陣方法的表述一般是基于較為抽象的矩陣迭代計算。鑒于其實質仍是求解線性方程組,可將式(9)加上邊界條件(x1)=(a)、(xN+1)=(b)后展開,如式(10)所示。111211112212322422exp()exp()()exp()exp()exp()+?=+???exp()0CikxCikxaCikxCikxCikxCikx?=231221212NNNNNNNNNNNNCikxCikxCikxCikx(10)21121exp()exp()exp()exp()0exp()exp()()NNNNNN?+++????=+?=1CikxCikxbCk?1122112ikxCkikx32224222exp()exp()exp()exp()0CkikxCkikx11()()()()jjjjjjjjxxxx??==(8)NNNNNNNN式(8)若以矩陣表示,可以寫為:23112211212exp()exp()exp()exp()0NNNNNNNNCkikxCkikxCkikxCkikx?+????=?+??=1exp(i)jj23222121jjjjjj上述方程組可以用矩陣形式記為:MC=B(11)jjjj(9)()a?11jjjC0232211exp(i)exp(i)exp(i)exp(i)exp(i)jjjjj12C?jjj,C,()Bb?(12)212exp(i)exp(i)jjjjjkxCCkxCCkxkxkkxCCkkxkkxCCkkx?=?=?其中:1234MMMMM????=?0由于C2j-3、C2j-2以及xj、kj-1、kj均為已知量,故可從式(9)中求

總結

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