概率論基本概念

結合書本以及宋浩老師在B站的視頻寫的筆記

隨機事件

隨機試驗的三個特點

在相同條件可重復

結果不止一個，并且實現可以明確試驗所有出現的結果

無法預測

事件

• 基本事件：
  相對于實驗目的，不可再分（不必再分）

  實驗目的確定，基本事件才有意義

• 復合事件：
  由基本事件復合——即基本事件的并集
• 必然事件：
  一定會發生——基本事件的全集包含于必然事件中
• 不可能事件：
  一定不發生——空集

樣本相關概念

• 樣本空間：
  所有基本事件的合集
• 樣本點：
  樣本空間的元素

事件間的關系

• 包含：$?$
  A$?$B——A包含于B——B包含A
  
• 并運算：$?$
  A$?$B——A+B——A、B至少有一個發生
  
• 與運算：$?$
  A$?$B——A、B必須同時發生

• 差：-
  A-B——A-AB——A發生而B不發生
  
• 互不相容事件
  AB=$?$——A、B不同時發生
  N個事件$n_i{n}_j=?$
• 對立事件
  AB=$?$，AUB=$\Omega$（全集）——A、B互不相容，且AUB=$\Omega$（全集）
  有$\stackrel{?}{A}$是A的逆，在對立事件中，有：$\stackrel{?}{A}=B,\stackrel{?}{B}=A$
• 完備事件組
  $N_1,N2,...,N_n$ 兩兩互不相容，且$U_{i?1}^n{A}_i=\Omega$

運算律

• 交換：$AUB=BUA,A?B=B?A$
• 結合：$(AUB)UC=AU(BUC),(A?B)?C=A?(B?C)$
• 分配率：
  $(A?B)?C=(A?C)U(B?C)$
  $(A?B)?C=(A?C)?(B?C)$
• 對偶：
  $\stackrel{——}{\mathrm{AUB}}=\stackrel{?}{A}?\stackrel{?}{B}$
  $\stackrel{——}{A?B}=\stackrel{?}{A}?\stackrel{?}{B}$

例題

事件的概率

概率簡介

概率：可能性大小
性質：

$P(\Omega )=1,P(?)=0$

$0?P(x)?1$

古典概率

條件：

有限個樣本點

等可能性

例：

$P(A)=\frac{A中包含的基事件}{基本事件總數}$

排列組合理論

古典概率例題

古典概率模型性質

非負性，$0?P(A)?1$

規范性：$P(\Omega )=1,P(?)=0$

有限可加：$A_1...A_n$互不相容，有$P(A_1+A_2+...+A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)$

缺點：必須是有限個結果、等可能性

幾何概率

特點：

樣本空間$\Omega$是一個幾何區域，這個區域大小可以度量（如長度、面積、體積等），并把$\Omega$的度量記作$m(\Omega )$

向區域$\Omega$ 內任意投擲一個點，落在區域內任一個點處都是“等可能的”。或者設落在$\Omega$中的區域A內的可能性與A的度量m(A)成正比，與A的位置和形狀無關
不妨用A表示“投擲點落在區域A內”的事件，那么事件A的概率可用下列公式計算：$P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega )}$，稱它為幾何概率

例題

頻率與概率

概率是事件的內在屬性，當大量重復實驗后，頻率接近于頻率

n次實驗,A發生m次，頻率為$\frac{m}{n}$
性質如下：

非負：$0?{\omega }_n(A)?1$

規范：${\omega }_n(\Omega )=1,\omega (?)=0$

可加：$A_1...A_m$不相容
$\omega (A_1+...A_n)=\omega (A_1）+...+\omega (A_m)$

公理化

公理

非負：$0?P(A)?1$

規范：$P(\Omega )=1,P(?)=0$

可加：$A_1...A_m$不相容
$P(A_1+...A_n)=P(A_1）+...+P(A_m)$

推導出的性質

• 性質1：$P(?)=0$
• 性質2：（有限可加性）若$A_1,A_2,...,A_n$為兩兩互不相容事件，則有：
  $P(U_{k=1}^n{A}_k)={\sum }_{k=1}^{n}P(A_k)$
• 性質3：設A，B是兩個事件，則有：
  $P(B?A)=P(B)?P(AB)$
  若A$?$B，則有
  $P(B?A)=P(B)?P(A)，P(A)\le P(B)$
• 性質4：對于任一事件A，有$P(A)\le 1$
• 性質5：對于任一事件A，有$P(\stackrel{?}{A})=1?P(A)$
• 性質6：（加法公式），對任意兩個事件A、B，有
  $P(AUB)=P(A)+P(B)?P(AB)$

例題

條件概率

設A、B為兩個事件，且P(B)>0則稱$\frac{P(AB)}{P(B)}$為事件B已發生的條件下，事件A發生的概率，記為P(A|B),即$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
例題：

乘法公式

由條件概率定義$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$,P(A)>0,兩邊同乘以P(A)可得$P(AB)=P(B|A)P(A)$，
同理可得當P(B)>0時，亦有$P(AB)=P(A|B)P(B)$，這就是乘法原理


例四的題意在截圖中不是很明確，我說明一下：
原有a個紅球，b個黑球。拿出第一個球，然后再放回C個與該球顏色相同的球，

• 當c=0時，將該球放回
• 當c=-1時，該球不放回
• 當c>0時，該題為傳染病模型：即同色球變多
  

全概率公式

定理：設B為樣本空間$\Omega$中的任一事件，$A_1,A_2,...,A_N為\Omega$的一個劃分，且P(A_i)>0，i=1,2,…,n，則有：
$$\begin{gathered} P(B) \\ =P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+...+P(A_n)P(B|A_n) \\ ={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i) \end{gathered}$$

例題

貝葉斯公式

定理：設樣本空間$\Omega$，B為樣本空間$\Omega$中的任一事件，$A_1,A_2,...,A_N為\Omega$的一個劃分，且P(B)>0,P(A_i)>0，i=1,2,…,n，則有：
$P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{{\sum }_{j=1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)},i=1,2,...,n$

例題

獨立性

事件的獨立性

定義：A的概率不受B發生與否的影響，P(A|B)=P(A)——不好用

• 定理1.4：P(A)>0,P(B)>0
  A、B獨立 <=> P(AB)=P(A)P(B)
  充分：P(AB)=P(A)P(B)=>$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=P(A)$
  必要：A、B獨立 => P(A|B)=P(A)、P(A|B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B)

• 定理1.5
  $A、B獨立，A與\stackrel{?}{B}，\stackrel{?}{A}與B獨立，\stackrel{?}{A}與\stackrel{?}{B}獨立$
  P(A)=0或P(A)=1,A與任意事件獨立

互不相容與獨立性的區別

獨立兩人陌生，不收彼此影響

互不相容	有我沒你，有你沒我

獨立與互不相容不同時成立

例題

伯努利模型

例題

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第一章——概率论基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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