1.2 極限的性質(zhì)【極限】

1.2.1 唯一性

極限的唯一性

引入

假設(shè)警察逮捕罪犯，把犯人追到了懸崖邊上，那么犯人只能在懸崖邊束手就擒，這個(gè)時(shí)候懸崖邊是犯人逃跑的極限位置，別無(wú)去處，位置唯一。

考試或比賽的時(shí)候都努力爭(zhēng)取第一名，第一名是能夠取得的最好的名次，第一名的名次是唯一的，不可能有另外的名次比第一名的成績(jī)更靠前，也不可能兩個(gè)不同的成績(jī)都被評(píng)為第一名。

絕對(duì)零度（英文：The Absolute Zero），是熱力學(xué)的最低溫度，熱力學(xué)溫標(biāo)的單位是K（開(kāi)爾文），絕對(duì)零度就是0K（約為-273.15℃或-459.67℉），絕對(duì)零度在現(xiàn)實(shí)中是無(wú)法達(dá)到的，只是理論的下限值，在此溫度下，物體分子沒(méi)有動(dòng)能，在一個(gè)特定的物理狀態(tài)下不可能同時(shí)存在兩個(gè)不同的溫度，即溫度降低的極限值是唯一的。

唯一性

性質(zhì)：如果數(shù)列或函數(shù)極限存在，那么極限唯一。

證明

反證法（數(shù)列與函數(shù)同理，以數(shù)列為例證明）

假設(shè) $\left\{a_n\right\}$ 是一個(gè)收斂數(shù)列，并且有兩個(gè)極限$K$和 $\mathrm{L}$ ，那么根據(jù)極限的定義：

對(duì)任意$\epsilon >0$ , 存在 $N_1\in \mathbb{N},N_2\in \mathbb{N}$ , 使得 $n>N_1?\left|a_n?K\right|<\frac{\epsilon }{2},n>N_2?\mid a_n?L\mid <\frac{\epsilon }{2}$

現(xiàn)在取 $N=\max \left\{N_1,N_2\right\}$ , 則 $n>N?\left|a_n?K\right|<\frac{?}{2}$ 并且 $\left|a_n?L\right|<\frac{?}{2}$

根據(jù)三角不等式， $|K?L|\le \left|K?a_n\right|+\left|a_n?L\right|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$

上式對(duì)于所有的 $\epsilon >0$ 都成立, 故 $|K?L|=0,K=L$

1.2.2 有界性

引入

假如一個(gè)人蹦極：

設(shè)地面的高度是$0$，跳臺(tái)的高度是$H$，下落的時(shí)間變量是 $t$，從跳臺(tái)到最低點(diǎn)的實(shí)際時(shí)間是$T$，從跳臺(tái)上下落的距離是$s(t)$，顯然$s(t)$的值不會(huì)超過(guò)跳臺(tái)的高度$H$，否則就撞地上了，$s(t)$的取值范圍是 $[0,H)$，這個(gè)取值范圍$[0,H)$是可能的最大范圍。實(shí)際運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)下落的距離假設(shè)是$h$，即
$$\underset{t\to T}{\lim }s(t)=h<H$$
這里的$H$就是極限取值的上界。

有界性

極限的有界性

(數(shù)列) 如果數(shù)列$\left\{x_n\right\}$收斂, 那么數(shù)列$\left\{x_n\right\}$一定有界。

例如：數(shù)列$x_n=\frac{n+1}{n}$，數(shù)列極限為$1$，$x_n$的上界是$2$，下界是$1$。

注意 反之不成立, 反例為 $x_n=(?1{)}^n$。顯然，該數(shù)列有界但不收斂，由此可得有界是數(shù)列收斂的必要條件而非充分條件，無(wú)界數(shù)列一定發(fā)散，但發(fā)散數(shù)列不一定無(wú)界。

(函數(shù)) 若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在, 則$f(x)$在$x_0$ 某去心鄰域有界 (即局部有界)。

注意 反之不成立, 反例為$f(x)=\sin \frac{1}{x}$，該函數(shù)在$x=0$的去心鄰域有界，但它在 $x=0$處的極限 $\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$不存在.

綜上：收斂必有界，有界未必收斂。

1.2.3 保號(hào)性

引入

通俗的講，保號(hào)性就是數(shù)列項(xiàng)數(shù)$n$趨于無(wú)窮的過(guò)程中，或函數(shù)自變量在接近某一點(diǎn)時(shí)，數(shù)列項(xiàng)或函數(shù)值的正負(fù)號(hào)會(huì)變得和極限值的正負(fù)號(hào)一樣。

定義

(數(shù)列) 設(shè) $\lim x_n=A$.

如果 $A>0$ (或 $A<0$ ), 則存在$N>0$, 當(dāng) $n>N$ 時(shí), $x_n>0$(或 $x_n<0$) ;

如果存在 $N>0$, 當(dāng)$n>N$ 時(shí), $x_n?0$(或 $x_n?0$ ), 則 $A?0$ (或 $A?0$ ).

(函數(shù)) 設(shè) $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$.

如果 $A>0$ (或 $A<0$ ), 則存在 $\delta >0$, 當(dāng) $x\in \stackrel{?}{U}\left(x_0,\delta \right)$ 時(shí), $f(x)>0$( 或 $f(x)<0$) .

如果存在 $\delta >0$, 當(dāng) $x\in \stackrel{°}{U}\left(x_0,\delta \right)$時(shí), $f(x)?0$ (或 $f(x)?0$ ), 那么 $A?0$ (或 $A?0$ ).

如果取$f(x)>0$ (或 $f(x)<0$ ), 那么 $A?0$ (或 $A?0$ )此處依然取等。

注意

上述結(jié)論 1. 中是嚴(yán)格不等號(hào) ($>$ 或 $<$，不包含 $=$) 。

如下圖所示 $f(x)=\frac{sin(x)}{x}$，數(shù)列$x_n=\frac{sin(n)}{n}$是此函數(shù)上的點(diǎn)，$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}_n=\frac{sin(n)}{n}=0$，$x_n$在會(huì)在正負(fù)之間不斷變化，不會(huì)在某一個(gè)$N$之后$x_n$大于$0$或小于$0$。

如下如所示，$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }xsin\frac{1}{x}=0$，$x\in \stackrel{°}{U}\left(0,\delta \right)$函數(shù)值不具有保號(hào)性。

上述結(jié)論 2. 中是非嚴(yán)格不等號(hào) ($?$ 或 $?$) ，不論數(shù)列項(xiàng)或函數(shù)值是否取到$0$，極限值都可以取到$0$。

如果結(jié)論 2. 中取$x_n>0$(或 $x_n<0$ )，$f(x)>0$ (或 $f(x)<0$ )，則 $A?0$ (或 $A?0$ )，極限依然取等號(hào)。

考研真題

極限保號(hào)性的應(yīng)用

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(1995, 數(shù)三) 設(shè) $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)?f(a)}{(x?a{)}^2}=?1$ , 則在點(diǎn) $x=a$ 處
(A）$f(x)$ 的導(dǎo)數(shù)存在, 且 $f^{\prime }(a)=0$ .
(B) $f(x)$ 取得極大值.
(C）$f(x)$ 取得極小值.
(D) $f(x)$ 的導(dǎo)數(shù)不存在.

【解 1】極限保號(hào)性的應(yīng)用

因?yàn)?$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)?f(a)}{(x?a{)}^2}=?1<0$ ，由極限保號(hào)性知，存在 $\delta >0$ , 當(dāng) $x\in \stackrel{°}{U}(a,\delta )$ 時(shí)，
$$\frac{f(x)?f(a)}{(x?a{)}^2}<0$$
又因?yàn)楫?dāng) $x\in \stackrel{°}{U}(a,\delta )$ 時(shí), $(x?a{)}^2>0$ , 則 $f(x)?f(a)<0$ , 即 $f(x)<f(a)$，由極值的定義得在點(diǎn) $x=a$ 處 $f(x)$ 取得極大值.

【解 2】取特值法

令 $f(x)=?(x?a{)}^2$ , 顯然 $f(x)$ 滿足題設(shè)條件, 但在 $x=a$ 處 $f(x)$ 可導(dǎo)且 $f^{\prime }(a)=0$ , 取極大值, 則選項(xiàng) (A) ? (D) 都不正確, 故應(yīng)選 (B).

總結(jié)

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