微分方程

通過某些變量的變化率來求出原始函數的表達式 變化率比較好表達

例如

例如自由落體，物體始終受重力，加速度為$g$
$$\begin{array}{c}\ddot{y}(t)=?g\dot{y}(t)=?gt+v_0\\ y(t)=?(1/2)g{t}^2+v_{0}t+y_0\end{array}$$
如已知位移對時間的二階導數，則可以對兩邊積分，得到一階導數和原始函數

天體運動，引力大小和方向都在變化，用如下微分方程來描述
$$F_1=m_1{\mathbf{a}}_1=G{m}_1{m}_2?\frac{{\mathbf{x}}_2?{\mathbf{x}}_1}{\Vert {\mathrm{x}}_2?{\mathbf{x}}_1\Vert }??\frac{1}{{\Vert {\mathbf{x}}_2?{\mathbf{x}}_1\Vert }^2}?$$

如何求解微分方程

$example:$有阻尼的簡諧運動

定義彈簧的回復力$f$
$$f=?cx$$
定義阻力$R$,阻力大小和速度大小成正比，方向與速度方向相反
$$R=?\mu \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$
由牛頓第二定律得
$$m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=?cx?\mu \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$
為了將二階導數前的系數歸一化，令
$$2n=\frac{\mu }{m},k^2=\frac{c}{m}$$
化簡得
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+2n\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+k^{2}x=0$$

這就是在有阻尼的情況下,物體自由振動的微分方程

$lemma1:$
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$$

如果函數$y_1(x)與y_2(x)$是方程的兩個解,那么$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$也是方程的解,其中 $C_1,C_2$是任意常數.

$proof:$

暴力帶入
$$\begin{array}{rl}& \left[C_1{y}_1^{\prime \prime }+C_2{y}_2^{\prime \prime }\right]+P(x)\left[C_1{y}_1^{\prime }+C_2{y}_2^{\prime }\right]+Q(x)\left[C_1{y}_1+C_2{y}_2\right]\\ =& C_1\left[y_1^{\prime \prime }+P(x)y_1^{\prime }+Q(x)y_1\right]+C_2\left[y_2^{\prime \prime }+P(x)y_2^{\prime }+Q(x)y_2\right]\equiv 0\end{array}$$
$lemma2:$

對二階常系數齊次線性微分方程
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$$
其特征方程為
$$r^2+pr+q=0$$
當
$$p^2?4q<0$$
其兩解為
$$\begin{array}{c}{r}_1=\alpha +\beta i,r_2=\alpha ?\beta i\\ \alpha =?\frac{p}{2},\beta =\frac{\sqrt{4q?p^2}}{2}\end{array}$$
故微分方程兩解為
$$y_1={\mathrm{e}}^{(\alpha +\beta i)x},y_2={\mathrm{e}}^{(\alpha ?\beta i)x}$$
利用歐拉公式
$${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }=\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta$$
得
$$\begin{array}{l}{y}_1={\mathrm{e}}^{(\alpha +\beta i)x}={\mathrm{e}}^{\alpha x}?{\mathrm{e}}^{\beta xi}=e^{\alpha x}(\cos \beta x+i\sin \beta x)\\ y_2={\mathrm{e}}^{(\alpha ?\beta i)x}={\mathrm{e}}^{\alpha x}?{\mathrm{e}}^{?\beta xi}={\mathrm{e}}^{\alpha x}(\cos \beta x?\mathrm{i}\sin \beta x)\end{array}$$
由$lemma1$
$$\begin{array}{l}{\bar{y}}_1=\frac{1}{2}\left(y_1+y_2\right)={\mathrm{e}}^{\alpha x}\cos \beta x\\ {\bar{y}}_2=\frac{1}{2\mathrm{i}}\left(y_1?y_2\right)={\mathrm{e}}^{\alpha x}\sin \beta x\end{array}$$
${\bar{y}}_1,{\bar{y}}_2$都是方程的解
$$\frac{{\bar{y}}_1}{{\bar{y}}_2}=\frac{e^{\alpha x}\cos \beta x}{e^{\alpha x}\sin \beta x}=\cot \beta x$$
表明兩解線性無關

故方程的通解為
$$y={\mathrm{e}}^{\alpha x}\left(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x\right)$$
$start:$
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+2n\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+k^{2}x=0$$
初值條件
$${x|}_{t=0}=x_0,{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}=v_0$$
特征方程
$$r=\frac{?2n\pm \sqrt{4n^2?4k^2}}{2}=?n\pm \sqrt{n^2?k^2}$$
本文只討論小阻尼情況$n<k$

由$lemma2$
$$x={\mathrm{e}}^{?nt}\left(C_1\cos \omega t+C_2\sin \omega t\right)$$
帶入初值條件
$$x={\mathrm{e}}^{?nt}\left(x_0\cos \omega t+\frac{v_0+n{x}_0}{\omega }\sin \omega t\right)$$
輔助角
$$\omega =\sqrt{k^2?n^2},A=\sqrt{x_0^2+\frac{{\left(v_0+n{x}_0\right)}^2}{{\omega }^2}},\tan \phi =\frac{x_0\omega }{v_0+n{x}_0}$$

$$x=A{\mathrm{e}}^{?nt}\sin (\omega t+\phi )$$

物體的運動是周期為$T=\frac{2\pi }{\omega }$ 的振動。但與簡諧振動不同它的振幅 $A{\mathrm{e}}^{?nt}$隨時間 $t$ 的增大而逐漸域小,因此,物體隨時間 $t$ 的增大而趨于平衡位置

圖像：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的微分方程(有阻尼的简谐运动)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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