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【youcans 的 OpenCV 例程300篇】250. 梯度算子的傳遞函數

1. 空間卷積與頻域濾波

空間域圖像濾波是圖像與濾波器核的卷積，而空間卷積的傅里葉變換是頻率域中相應變換的乘積，因此頻率域圖像濾波是頻率域濾波器（傳遞函數）與圖像的傅里葉變換相乘。頻率域中的濾波概念更加直觀，濾波器設計也更容易。

對于二維圖像處理，通常使用 $x,y$ 表示離散的空間域坐標變量，用 $u,v$ 表示離散的頻率域變量。二維離散傅里葉變換（DFT）和反變換（IDFT）為：

$$\begin{array}{rl}F(u,v)& =\sum _{x=0}^{M?1}\sum _{y=0}^{N?1}f(x,y)e^{?j2\pi (ux/M+vy/N)}\\ f(x,y)& =\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M?1}\sum _{v=0}^{N?1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)}\end{array}$$

空間取樣和頻率間隔是相互對應的，頻率域所對應的離散變量間的間隔為：$\Delta u=1/M\Delta T，\Delta v=1/N\Delta Z$。即：頻域中樣本之間的間隔，與空間樣本之間的間隔及樣本數量的乘積成反比。

空間域濾波器和頻率域濾波器也是相互對應的，形成一個傅里葉變換對：
$$\begin{gathered} f(x,y)?h(x,y)?F(u,v)H(u,v) \\ f(x,y)h(x,y)?F(u,v)?H(u,v) \end{gathered}$$

這表明 F 和 H 分別是 f 和 h 的傅里葉變換；f 和 h 的空間卷積的傅里葉變換，是它們的變換的乘積。

因此，計算兩個函數的空間卷積，可以直接在空間域計算，也可以在頻率域計算：先計算每個函數的傅里葉變換，再對兩個變換相乘，最后進行傅里葉反變換轉換回空間域。

也就是說，空間域濾波器和頻率域濾波器實際上是相互對應的，也是可以相互轉換的。空間域濾波的核心是卷積核，頻域濾波的核心是構造濾波器的傳遞函數。有些空間域濾波器在頻率域通過傅里葉變換實現會更方便、更快速。

在空間濾波中，除Laplacian算子之外還討論了Sobel算子、Scharr算子，但在頻域濾波中卻很少提及。這是因為空間濾波中的平滑（模糊）/銳化的概念，與頻域濾波中的低通濾波/高通濾波雖然相似，也有密切聯系，但在本質上卻是不同的。平滑濾波相當于低通濾波，但銳化與高通濾波是不同的。

對空間濾波器核進行傅里葉變換，得到空間濾波器在頻域的傳遞函數，可以清晰和直觀地理解二者的聯系和區別。

2. 梯度算子在空間域的卷積核

2.1 拉普拉斯卷積核（Laplacian）

各向同性卷積核的響應與方向無關。最簡單的各向同性導數算子（卷積核）是拉普拉斯算子（Laplace）：

$$K1=?\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& ?4& 1\\ 0& 1& 0\end{array}?,K2=?\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& ?8& 1\\ 1& 1& 1\end{array}?,K3=?\begin{array}{ccc}0& ?1& 0\\ ?1& 4& ?1\\ 0& ?1& 0\end{array}?,K4=?\begin{array}{ccc}?1& ?1& ?1\\ ?1& 8& ?1\\ ?1& ?1& ?1\end{array}?$$

2.2 Sobel 梯度算子

Sobel 算子是一種離散的微分算子，是高斯平滑和微分求導的聯合運算，抗噪聲能力強。

Sobel 梯度算子利用局部差分尋找邊緣，計算得到梯度的近似值。

Sobel 梯度算子的卷積核為：
$$K_x=?\begin{array}{ccc}?1& 0& 1\\ ?2& 0& 2\\ ?1& 0& 1\end{array}?,K_y=?\begin{array}{ccc}?1& ?2& ?1\\ 0& 0& 0\\ 1& 2& 1\end{array}?$$

2.3 Scharr 梯度算子

Scharr 算子是 Soble 算子在 ksize=3 時的優化，與 Soble 的速度相同，且精度更高。Scharr 算子與 Sobel 算子的不同點是在平滑部分，其中心元素占的權重更重，相當于使用較小標準差的高斯函數，也就是更瘦高的模板。

Scharr 算子的卷積核為：
$$G_x=?\begin{array}{ccc}?3& 0& 3\\ ?10& 0& 10\\ ?3& 0& 3\end{array}?,G_y=?\begin{array}{ccc}?3& 10& ?3\\ 0& 0& 10\\ 3& 10& 3\end{array}?$$

3. 【例程】梯度算子的傳遞函數

本例程給出由空間濾波器核計算頻域傳遞函數的子程序，比較常用空間域濾波器和梯度算子的傳遞函數。

import cv2 as cv import numpy as np from matplotlib import pyplot as pltdef getTransferFun(kernel, r): # 計算濾波器核的傳遞函數hPad, wPad = r-kernel.shape[0]//2, r-kernel.shape[1]//2kernPadded = cv.copyMakeBorder(kernel, hPad, hPad, wPad, wPad, cv.BORDER_CONSTANT)kernFFT = np.fft.fft2(kernPadded)fftShift = np.fft.fftshift(kernFFT)kernTrans = np.log(1 + np.abs(fftShift))transNorm = np.uint8(cv.normalize(kernTrans, None, 0, 255, cv.NORM_MINMAX))return transNormif __name__ == '__main__':radius = 64plt.figure(figsize=(9, 5.5))# (1) 盒式濾波器plt.subplot(241), plt.axis('off'), plt.title("1. BoxFilter")kernBox = np.ones((5,5), np.float32) # BoxF 濾波器核HBox = getTransferFun(kernBox, radius) # BoxF 傳遞函數plt.imshow(HBox, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (2) 高斯低通濾波器plt.subplot(242), plt.axis('off'), plt.title("2. Gaussian")kernX = cv.getGaussianKernel(5, 0) # 一維高斯核kernGaussian = kernX * kernX.T # 二維高斯核HGaussian = getTransferFun(kernGaussian, radius) # 高斯低通傳遞函數plt.imshow(HGaussian, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (3) 拉普拉斯算子 K1plt.subplot(243), plt.axis('off'), plt.title("3. Laplacian K1")kernLaplacian1 = np.array([[0, 1, 0], [1, -4, 1], [0, 1, 0]]) # Laplacian K1hLaplacian1 = getTransferFun(kernLaplacian1, radius) # Laplacian K1 傳遞函數plt.imshow(hLaplacian1, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (4) 拉普拉斯算子 K2plt.subplot(244), plt.axis('off'), plt.title("4. Laplacian K2")kernLaplacian2 = np.array([[1, 1, 1], [1, -8, 1], [1, 1, 1]]) # Laplacian K2hLaplacian2 = getTransferFun(kernLaplacian2, radius) # Laplacian K2 傳遞函數plt.imshow(hLaplacian2, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (5) Sobel 算子，X軸方向plt.subplot(245), plt.axis('off'), plt.title("5. Sobel-X")kernSobelX = np.array([[-1, 0, 1], [-2, 0, 2], [-1, 0, 1]])HSobelX = getTransferFun(kernSobelX, radius) # Sobel-X 傳遞函數plt.imshow(HSobelX, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (6) Sobel 算子，Y軸方向plt.subplot(246), plt.axis('off'), plt.title("6. Sobel-Y")kernSobelY = np.array([[-1, -2, -1], [0, 0, 0], [1, 2, 1]])HSobelY = getTransferFun(kernSobelY, radius) # Sobel-Y 傳遞函數plt.imshow(HSobelY, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (7) Scharr 算子，X軸方向plt.subplot(247), plt.axis('off'), plt.title("7. Scharr-X")kernScharrX = np.array([[-3, 0, 3], [-10, 0, 10], [-3, 0, 3]])HScharrX = getTransferFun(kernScharrX, radius) # Scharr-X 傳遞函數plt.imshow(HScharrX, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (8) Scharr 算子，Y軸方向plt.subplot(248), plt.axis('off'), plt.title("8. Scharr-Y")kernScharrY = np.array([[-3, -10, -3], [0, 0, 0], [3, 10, 3]])HScharrY = getTransferFun(kernScharrY, radius) # Scharr-X 傳遞函數plt.imshow(HScharrY, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)plt.tight_layout()plt.show()

【本節完】

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總結

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