維納過程
????維納過程其實就是物理學中布朗運動的統計學表達模型。就是均值為0，方差為1的標準正態分布。在一個很小時間Δt內，變量Z的變化Δz=?sqrt(Δt)，?服從于標準狀態分布φ(0,1)。
股票價格的隨機過程
????我們如果不考慮波動率，設股票的期望收益為μ，顯然股票的漲跌幅ΔS=μSΔt。取Δt趨向0的極限為dS=μSdt，但這個價格變動不可能是平滑的，加上波動率帶來的“噪音”后，我們得出了二叉樹模型表示隨機游走的極限情況：dS=μSdt+σSdz。加號前面是股票的期望漲幅，加號后面是在此漲幅上面的“噪音”變動，dz是一個維納過程。這一模型的離散模型表達為ΔS=μSΔt+σS?sqrt(Δt)。
????寫一個例子以方便理解，現價20元，年預期收益率20%，波動率30%的一只股票一個月后的價格變動：ΔS=20*20%*(1/12)+20*30%*SQRT(1/12)?=0.333+1.732?。說明一個月價格增加量為均值為0.333元標準差為1.732元的正態分布。
????期權的價格是該標的股票價格和時間的函數，即ds=a(s,t)dt+b(s,t)dz。這個稱為伊藤過程函數的演繹不是我能看得懂的，幸好我也不是很關心，我們只需知道這個期權和股票價格都受到同一個基本的不確定性來源dz的影響。我們還通過伊藤定理得到結論性的東西是未來時刻的股票價格服從對數狀態分布，表達式為LN(S)=φ(LN(S0)+(μ-σ^2/2)T,σ*SQRT(T))，S為未來價格，S0為現價，T是時間，μ是期望收益率，σ為波動率，φ表示符合正態分布，逗號前是均值，逗號后是標準差。
????例如上例中股票一個月后價格的對數符合以下正態分布LN(S)~φ(LN(20)+(20%-30%*30%*0.5)*(1/12),30%*SQRT(1/12))即φ(3.0086,0.0866)。按95%置信度計算，即均值兩面1.96倍標準差，S的區間為EXP(3.0086-1.86*0.0866)至EXP(3.0086+1.96*0.00866)，即17.097元至24.008元。我們可以說1個月后這只股票價格有95%的概率坐落于17.097~24.008元之間。
????讓我們大致用白話總結一下：股票價格的隨機過程假設服從布朗運動。在此過程中，持有者在任何短時間內的收益率都是正態分布，且任何兩段不重合時間間隔的收益互相獨立。未來時刻的股票價格服從對數狀態分布。說到這里，我們基本上可以將Black-Scholes模型擺上桌面了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的白话解析BS模型（二）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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