在數值分析中，拉格朗日插值法是以法國十八世紀數學家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項式插值方法。許多實際問題中都用函數來表示某種內在聯系或規律，而不少函數都只能通過實驗和觀測來了解。如對實踐中的某個物理量進行觀測，在若干個不同的地方得到相應的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。這樣的多項式稱為拉格朗日（插值）多項式。數學上來說，拉格朗日插值法可以給出一個恰好穿過二維平面上若干個已知點的多項式函數。

拉格朗日插值法的應用：我們在數值分析中，比如數學家建模、機器學習中經常得到一大堆離散的點，我們需要找到一個函數經過這些點，拉格朗日插值法就可以找出這個函數。

簡單一點兒來說就是，對于給定的n+1個點，求出一個n次多項式滿足這n+1個點的取值。換句話說，就是已知n+1個點，求出一個一元n次函數穿過這n+1個點。

對于某個多項式函數，已知k+1個點，為多項式函數自變量的取值，在自變量多項式函數的取值。拉格朗日插值多項式：

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為拉格朗日基本多項式（插值基函數）

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在點處的函數值為1，其余點處為0。

推導過程如下：

假設我們有k+1個點，，我們要找到的多項式就必須滿足這個條件。

假設我們現在有k+1根k次多項式函數，每一根k次多項式函數在點處取值為1，其他點處取值為0，這樣我們在此基礎上乘以就滿足了，這是我們找到的其中一根多項式函數滿足了其中一個點，同理我們可以找出k+1根多項式函數，然后相加就能得到多項式函數，。這個函數能滿足k+1個點，也就是我們要找的那個函數了。

接下來要找到一個在某個點取值為1，其他點取值為0的函數。

以點為例，除了點取1，其余點都取0。

考慮到我們在其他點要取0，所以肯定會出現形如，首先這樣我們可以保證不管取那個點都能得到0。然后由于我們要在處取1，所以式子中不能出現這一項，否則就不能取到1了，進一步可以得出，這樣就能保證在處，這個式子不為0。但是我們要保證在處的取值為1，所以我們除以這個式子在處的值，就能得到1了。

這就得出了拉格朗日基本多項式，也就是插值基函數。

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?

重心拉格朗日插值法

在最開始的推導過程中，我們首先得到了，然后才去掉這一個點。

?和等價。

我們令

那么，

重心：

那么拉格朗日多項式就可以寫為，

重心拉格朗日的好處是，比如新增加一個點，原來的拉格朗日插值法會重新計算所有的值，時間復雜度為。但是重心拉格朗日插值法只需要將每一個除以，重新定義重心，就可以在的時間復雜度內完成計算。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数值分析】拉格朗日插值法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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