遞歸（下）

• • 前言
  • 歸并排序中的分治思想
  • 分布式系統中的分治思想
  • • 1.數據分割和映射
    • 2.歸約
    • 3.合并
  • 總結

前言

在上一篇中，我介紹了如何使用遞歸，來處理迭代法中比較復雜的數值計算。但是我們知道，有些迭代法并不是簡單的數值計算，而是要通過迭代的過程進行一定的操作，過程更加復雜，需要考慮很多中間數據的分配或者保存。比如我在迭代法中提到的使用二分查找進行數據匹配，或者這篇文章里將要講解的歸并排序中的數據排序等等。在這種情況下，要怎么使用遞歸法呢？

【程序員必修數學課】->基礎思想篇->迭代法

【程序員必修數學課】-＞基礎思想篇-＞遞歸（上）-＞泛化數學歸納

我們可以先分析一下這些復雜的問題是否可以簡化成更小的、更簡單的子問題來解決，這是一般思路。如果可以，那就意味著我們可以使用遞歸的核心思想，將復雜的問題逐步簡化成最基本的情況來求解。在這篇文章里，我將從歸并排序開始，延伸到多臺機器的并行處理，詳細介紹遞歸思想在“分而治之”這個領域的應用。

歸并排序中的分治思想

首先，我們先考慮如何使用遞歸編程解決數字的排序問題。

對一堆雜亂無序的數字，按照從小到大或者從大到小的規則進行排序，這是計算機領域非常經典，也非常流行的問題。小到Excel電子表格，大到搜索引擎，都需要對一堆數字進行排序。因此，計算機領域的前輩們研究排序問題已經很多年了，也提出了許多優秀的算法，比如歸并排序、快速排序、堆排序等等。其中，歸并排序和快速排序都很好地體現了分治的思想，這篇文章主要就說一說歸并排序（merge sort）。

很顯然，歸并排序算法的核心就是“歸并”，也就是把兩個有序的數列合并起來，形成一個更大的有序數列。

假設我們需要按照從小到大的順序，合并兩個有序數列 A 和 B。我們需要開辟一個新的存儲空間 C，用于保存合并后的結果。

我們首先比較兩個數列的第一個數，如果 A 數列的第一個數小于 B 數列的第一個數，那么就先取出 A 數列的第一個數放入 C，并把這個數從 A 數列中刪除。如果是 B 的第一個數更小，那么就先取出 B 數列的第一個數放入 C，并把它從 B 數列里刪除。

以此類推，直到 A 和 B 里所有的數據都被取出來放入 C。如果到某一步， A 或 B 數列為空，那直接將另一個數列的數據依次取出放入 C 就可以了。這種操作，可以保證兩個有序的數列 A 和 B 合并到 C 之后，C 數列仍然是有序的。

比如說合并有序數組 {6, 11, 13, 17} 和 {8, 10, 16}的過程👇

為了保證得到有序的 C 數列，我們必須保證參與合并的 A 和 B 也是有序的。但是，等待排序的數組一開始都是亂序的，如果無法保證這點，那歸并又有什么意義呢？

這就需要用到遞歸了。我們可以利用遞歸的思想，把問題不斷簡化，也就是把數列不斷簡化，一直簡化到最后只有一個數，那它本身就是有序的了。那么如何進行每一次的簡化呢？

最簡單的想法就是把長度為 n 的數列，每次簡化為長度為 n - 1 的數列，直至長度為 1。不過，這樣的處理沒有并行性，要進行 n - 1 次的歸并操作，效率就會很低。

所以，我們可以在歸并排序中引入了分而治之（Divide and Conquer） 的思想。分而治之，我們通常簡稱為分治。它的思想就是，將一個復雜的問題，分解成兩個甚至多個規模相同或類似的子問題，然后對這些子問題再進一步細分，直到最后的子問題變得簡單，很容易就能被求解出來，這樣這個復雜的問題就求解出來了。

歸并排序通過分治的思想，把長度為 n 的數列，每次簡化為兩個長度為 n / 2 的數列。這樣更有利于計算機的并行處理，只需要 log₂n 次歸并。

我們把歸并和分治的思想結合起來，這其實就是歸并排序算法。這種算法每次把數列進行二等分，直到唯一的數字，也就是最基本的有序數列。然后從這些最基本的有序數列開始，兩兩合并有序的數列，直到所有的數字都參與了歸并排序。

我用一個包含 0~9 這 10 個數字的數組，分析一下歸并排序的過程。

• 假設初始的數組為 {7, 6, 2, 4, 1, 9, 3, 8, 0, 5}，我們要對它進行從小到大的排序。
• 第一次分解后，變成兩個數組 {7, 6, 2, 4, 1} 和 {9, 3, 8, 0, 5}。
• 然后，我們將 {7, 6, 2, 4, 1} 分解成 {7, 6} 和 {2, 4, 1}，將 {9, 3, 8, 0, 5} 分解成 {9, 3} 和 {8, 0, 5}。
• 按照這個規律繼續細分下去，直到每個組只包含一個數字。到這里，都是遞歸的嵌套調用過程。
• 接下來，就要開始進行合并了。我們可以將 {4, 1} 分解為 {4} 和 {1}。現在無法再細分了，我們開始合并，在合并的過程中進行排序，所以合并的結果為 {1, 4}。合并后的結果將返回當前函數的調用者，這就是函數返回的過程。
• 重復上述合并的過程，直到完成整個數組的排序，得到 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。

這個過程可以畫一張圖來理解👇

可以看到 歸并排序使用了分治的思想，而這個過程需要使用遞歸來實現。

歸并排序算法用分治的思想把數列不斷地簡化，直到每個數列僅剩下一個單獨的數，然后再使用歸并逐步合并有序的數列，從而達到將整個數列進行排序的目的。而這個歸并排序，正好可以使用遞歸的方式來實現。我們可以看看下面這張圖，可以發現，分治的過程和遞歸的過程是一致的。

分治的過程可以通過遞歸來表達，因此，歸并排序最直觀的實現方式就是遞歸。所以，我們從遞歸的步驟出發，來看歸并排序如何實現。

我們假設 n = k - 1 的時候，我們已經對較小的兩組數進行了排序。那我們只要在 n = k 的時候，將這兩組數合并起來，并且保證合并后的數組仍然是有序的就行了。

所以，在遞歸的每次嵌套調用中，代碼都將一組數分解成更小的兩組，然后將這兩個小組的排序交給下一次的嵌套調用。而本次調用只需要關心，如何將排好序的兩個小組進行合并。

在初始狀態，也就是 n = 1 的時候，對于排序的案例而言，只包含單個數字的分組。由于分組里只有一個數字，所以它已經是排好序的了，之后就可以開始遞歸調用的返回階段。

現在我用Java簡單實現一下歸并排序。

package com.tyz.merge_sort.core;import java.util.Arrays;public class MergeSort {/*** 合并兩個已經排好序的數組（從小到大）* @param arrOne* @param arrTwo* @return*/private static int[] mergeSort(int[] arrOne, int[] arrTwo) {if (arrOne == null) {return new int[] {};}if (arrTwo == null) {return new int[] {};}int[] mergedArr = new int[arrOne.length + arrTwo.length];int mi = 0;int ai = 0;int bi = 0;while (ai < arrOne.length && bi < arrTwo.length) {if (arrOne[ai] < arrTwo[bi]) {mergedArr[mi] = arrOne[ai];ai++;} else {mergedArr[mi] = arrTwo[bi];bi++;}mi++;}if (ai < arrOne.length) {for (int i = ai; i < arrOne.length; i++) {mergedArr[mi] = arrOne[i];mi++;}} else {for (int i = bi; i < arrTwo.length; i++) {mergedArr[mi] = arrTwo[i];mi++;}}return mergedArr;}/*** 使用遞歸實現歸并排序* @param arr* @return*/public static int[] mergeSort(int[] arr) {if (arr == null) {return new int[] {};}if (arr.length == 1) {return arr;}int middle = arr.length / 2;int[] left = Arrays.copyOfRange(arr, 0, middle);int[] right = Arrays.copyOfRange(arr, middle, arr.length);left = mergeSort(left);right = mergeSort(right);int[] mergedArr = mergeSort(left, right);return mergedArr;} }

測試代碼如下👇

package com.tyz.merge_sort.test;import com.tyz.merge_sort.core.MergeSort;public class Test {public static void main(String[] args) {int[] arr = {78, 12, 444, 710, 18, 322, 0, 45, 95471, 99, 1024};int[] sorted = MergeSort.mergeSort(arr);for (int i = 0; i < sorted.length; i++) {System.out.println(sorted[i]);}}}

結果如下👇

分布式系統中的分治思想

到這里我們對分而治之的思想已經有了一個基本的認識了，不過，分而治之更有趣的應用其實是在分布式系統中。

舉個例子，當需要排序的數組很大很大，比如 1024GB ，我們沒法把這些數據都塞入一臺普通的計算機的內存里。有一個辦法，我們可以把這個超級大的數據集，分解成多個更小的數據集（比如 16GB），然后分配到多臺機器上，讓它們并行地處理。

等所有機器處理完后，中央服務器再進行結果的合并。由于多個小任務間不會相會干擾，可以同時處理，這樣會大大增加處理的速度，減少等待時間。

在單臺機器上實現歸并排序的時候，我們只需要在遞歸函數內，實現數據分組以及合并就行了。而在多個機器之間分配數據的時候，遞歸函數內除了分組及合并，還要負責把數據分發到某臺機器上。

可以看到，分布式集群種話的數據切分和合并，同單臺機器上歸并排序的過程是一樣的，因此也是使用了分治的思想。從理論的角度來看，上面這個圖很容易理解。不過在實際運用中，有個地方需要注意一下。

上圖中的父節點，例如機器1、2、3，它們都沒有被分配排序的工作，只是在子節點的排序完成后進行有序數組的合并，因此集群的性能沒有得到充分的利用。那么，另一種可能的數據切分方式是，每個機器拿出一半的數據給另一臺機器處理，而自己完成剩下的一半數據。

如果分治的時候，只進行一次問題切分，那么上述層級型的分布式架構就可以轉化為類似 MapReduce 的架構。下圖我接用黃申老師畫的主要步驟，以供參考。

這里面主要有三個步驟用到了分治的思想。

1.數據分割和映射

分割是指將數據源進行切分，并將分片發送到 Mapper 上。映射是指 Mapper 根據應用的需求，將內容按照 鍵 - 值 的匹配，存儲到哈希結構中。這兩個步驟將大的數據集合切分為更小的數據集，降低了每臺機器節點的負載，因此和分治中的問題分解類似。不過，MapReduce 采用了哈希映射來分配數據，而普通的分治或遞歸不一定需要。

2.歸約

歸約是指接受到的一組鍵值對，如果是鍵內容相同的配對，就將它們的值歸并。這和本機的遞歸調用后返回結果的過程類似。不過，由于哈希映射的關系，MapReduce 還需要洗牌的步驟，也就是將 鍵 - 值 的配對不斷地發給對應的 Reducer 進行歸約。普通的分治或遞歸不一定需要洗牌的步驟。

3.合并

為了提升洗牌階段的效率，可以選擇減少發送到歸約階段的 鍵 - 值 配對。具體做法是在數據映射和洗牌之間，加入合并的過程，在每個 Mapper 節點上先進行一次本地的歸約。然后只將合并的結果發送到洗牌和歸約階段。這和本機的遞歸嗲用后返回結果的過程類似。

總結

遞歸采用了和數學歸納法類似的思想，但是它用的是逆向遞推，化繁為簡，把復雜的問題逐步簡化。再加上分治原理，我們就可以更有效地把問題細分，進行并行化的處理。

而計算機編程中的函數嵌套調用，正好對應了數學中遞歸的逆向遞推，所以你只要弄明白了數學遞推式，就能非常容易地寫出對應的遞歸編碼。需要注意的是，遞歸編程在沒有開始返回結果之前，保存了大量的中間結果，所以比較消耗系統資源，這也是一般的編程語言都會限制遞歸的深度（嵌套的次數）的原因。

另，這篇文章的知識點來源于極客時間黃申的《程序員的數學基礎課》。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【程序员必修数学课】-＞基础思想篇-＞递归（下）-＞分而治之从归并排序到MapReduce的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。