Chapter2 Configuration Space

1.機器人位形configuration：機器人所有位置點的描述
對于圖a，門的位形可以用一個參數(shù)角度表示；
對于圖b，平面中的一個點的位形可以用2個坐標(biāo)表示(x,y)表示；
對于圖c，桌面上一枚硬幣中的頭像可以用3個參數(shù)表示，硬幣上點的位置(x,y)，以及硬幣的方向。
configutation這里我理解為位姿的另外一種表示形式，即位置和姿態(tài)。在三維空間中，機器人位姿傳統(tǒng)表示為點坐標(biāo)(x,y,z)和該點與3個坐標(biāo)軸的夾角即歐拉角(φa,φb,φc)表示。

2.機器人自由度dof
Degrees of freedom（dof）:用于表示機器人位形的最小實數(shù)坐標(biāo)個數(shù)。上述圖a和c中，dof分別為1和3.

3.C-space
C-space:configutation space：包含機器人所有位形的n維空間稱為C-space.

4.剛體自由度計算
三維空間中，單個剛體自由度個數(shù)為6；平面單個剛體的自由度個數(shù)為3。
計算公式：
Dof=所有點的自由度個數(shù)-獨立約束條件的個數(shù)
對于平面中的一塊硬幣，人面頭像正面朝上，如圖b所示，AB,BC,AC的距離固定，3個點自由度個數(shù)為6，給定點A(xa,ya)(0個約束條件)，則B點只能在以A點為中心，AB為半徑的圓弧上(B點1個約束條件)，確定了點B點的位置，則點C只能在以點A為圓心，AC為半徑的圓和以點B為圓心，BC為半徑的圓的交點上(C點2個約束條件)，因此C有2個可選位置，如果已知硬幣的正面，則點C的位置就是唯一的。因此給定A(xa,ya)、B(xb,yb)，C點坐標(biāo)(xc,yc)就是冗余reduntant的。如果給定向量AB與x軸的夾角，則B點坐標(biāo)(xb,yb)也為冗余的，因此圖b位形可用參數(shù)(xa,ya,)3個參數(shù)表示，自由度為3，即6-0-1-2=3.
對于圖c三維空間的剛體，同樣3個點A(xa,ya,za)、B(xa,ya,za)、C(xa,ya,za)唯一確定剛體的位形，點總的自由度個數(shù)為3*3=9。已知A點坐標(biāo)(0個約束條件)，B點在以A為中心，AB為半徑的球面上(1個約束條件)，我們可以用2個角度表示點B即經(jīng)度和維度，因此B的自由度數(shù)為：3-1=2；點C到A、B的距離固定(2個約束條件)，因此點C在以點A為中心，AC為半徑的球面和以B為中心，BC為B半徑的球面的兩個球面的交點上，C點可以用一個角度表示點C的位置，C點的自由度個數(shù)為3-2=1。因此三維空間剛體剛體自由度個數(shù)為9-0-1-2=6.

5.機器人關(guān)節(jié)自由度的計算
關(guān)節(jié)自由度dof=剛體自由度個數(shù)-由關(guān)節(jié)約束條件的個數(shù)
Grübler公式：
對于一個包含N個連桿(包括與地面相連的也視為一個)的機構(gòu)，關(guān)節(jié)數(shù)量為J，m表示剛體的自由度(平面剛體m=3，空間剛體m=6)，關(guān)節(jié)i的自由度為fi，約束個數(shù)為ci，m=fi+ci，則該機構(gòu)的自由度為：
這個公式只有在每個關(guān)節(jié)的約束條件相互獨立的情況成立，如果不獨立，則該公式計算出的自由度少于實際的自由度個數(shù)。
Dof=3*(4-1-4)+4=1
Dof=3*(6-1-7)+7=1
對于不滿足約束條件不獨立的機構(gòu)，計算出來的自由度個數(shù)少于實際個數(shù)，如下圖所示：
Dof=3*(5-1-6)+6=0,而實際的dof=1，因為該機構(gòu)可以朝一個方向運動，這是由于3個平行的用2個關(guān)節(jié)鏈接的連桿，對機構(gòu)的運動沒有影響，因此計算公式為dof=3(4-1-4)+4=1

6.C-space的表示方法
顯示參數(shù)：用n個參數(shù)表示n維C-space空間，即用最少的參數(shù)表示位形空間；例如一個球面，我們可以用經(jīng)度和維度2個參數(shù)表示一個球體空間。
隱式參數(shù)：將n維C-space空間看作是嵌入到超過n維歐氏空間中(需要添加約束條件)，例如，2維的單位球面可以看成是嵌入在3維歐氏空間的一個球面，該三維表示滿足約束條件：一般都采用隱式法。

7.位形和速度約束
完整約束holonomic constraints：若干獨立約束方程，減少C-space的維度，如果機器人的位形有n個變量定義，且受到k(k<=n)個獨立的完整約束，則C-space的維度即機器人的自由度為n-k. 可以看出完整約束是對機器人位形的約束。
如果機器人在運動，則角度是關(guān)于時間t的函數(shù)，對上式兩邊對t求導(dǎo)數(shù)：
寫成矩陣相乘的方式：

簡化寫成：
theta點表示角度對時間的變化率即角速度，令則：速度約束，上式稱為Pfaffian約束。完整約束也稱為可積約束，因為完整約束本質(zhì)是對速度約束的積分。Pfaffian約束有時并不可積，不可積的Pfaffian約束稱為非完整約束。非完整約束減少了可能的速度空間，但并沒有減少可能的C-space維度。
完整約束是對位形的約束，非完整約束是對速度的約束。

8.任務(wù)空間和工作空間
Task space任務(wù)空間：是一個可以自由表示機器人任務(wù)的空間。如果機器人的任務(wù)是在一個平面上繪制圖形，那么任務(wù)空間就是一個二維歐氏平面R2，如果機器人的任務(wù)是控制一個剛體的位置和姿態(tài)，那么任務(wù)空間就是一個一個剛體的C-space，也就是一個表示位置和姿態(tài)的6維空間。任務(wù)空間由任務(wù)決定的，與機器人無關(guān)。
Workspace工作空間：是機器人末端執(zhí)行器所能到達的位形空間。工作空間是由機器人的結(jié)構(gòu)決定的，與任務(wù)無關(guān)。
任務(wù)空間和工作空間與機器人的C-space不一樣，例如對于空間中同一個點，機器人可能有好幾種位形到達此點，該點并不能完全表達機器人的位形。任務(wù)空間中某些點機器人可能完全達到不了，但工作空間中的點機器人至少有一種位形可以達到。
兩個擁有不同的C-space的機構(gòu)，可能擁有相同的工作空間，也可擁有不同的工作空間。
例如下圖SCARA機器人，機器人末端執(zhí)行器的位形可以用3個笛卡爾坐標(biāo)(x,y,z)以及在x-y平面取向夾角Φ表示，則任務(wù)空間可以表示維R3×S1，工作空間可以用笛卡爾空間中的點(x,y,z)表示.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Modern Robotics读书笔记(一)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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