本文承接上篇博客奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的推導(dǎo)

我們來(lái)看頻域分析中的非常重要的概念：穩(wěn)定裕度

首先來(lái)看穩(wěn)定裕度的定義：若$Z=P?2N=0$(其中$P=0$)，則奈奎斯特曲線$G(jw)H(jw)$過$(?1,j0)$點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，相頻和幅頻同時(shí)滿足條件:

$$\{\begin{array}{l}A(\omega )=1\\ \phi (\omega )=(2k+1)\pi k=0,\pm 1,\pm 2,?\end{array}$$

系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)的程度，即可用穩(wěn)定裕度來(lái)表示，如下圖所示：

Q:為什么穿越$(?1,j0)$點(diǎn)時(shí)為臨界狀態(tài)？

A:可以看出，在穩(wěn)定裕度的定義中假定了$P=0$，即系統(tǒng)的開環(huán)正極點(diǎn)數(shù)為0，由奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)，系統(tǒng)的閉環(huán)正極點(diǎn)數(shù)為$Z=2N$，奈奎斯特曲線逆時(shí)針包圍$(?1,j0)$點(diǎn)的圈數(shù)(沿相角增大方向穿越$(?1,j0)$左半實(shí)軸次數(shù))即為閉環(huán)正極點(diǎn)數(shù)，我們自然想到，若系統(tǒng)奈奎斯特曲線均在$(?1,j0)$點(diǎn)右側(cè)，那么就不存對(duì)$(?1,j0)$左半實(shí)軸的穿越，閉環(huán)系統(tǒng)也就沒有正極點(diǎn)了，所以$(?1,j0)$點(diǎn)是系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界點(diǎn)，穩(wěn)定裕度刻畫了系統(tǒng)從穩(wěn)定狀態(tài)變化到不穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)幅值和相角的”變化程度”；

注意：穩(wěn)定裕度只對(duì)最小相位系統(tǒng)適用，因?yàn)樵诜€(wěn)定裕度的定義中假定了系統(tǒng)沒有開環(huán)正極點(diǎn)(這里稍微有些疑惑，最小相位系統(tǒng)是指在$s$右半平面既無(wú)零點(diǎn)也無(wú)極點(diǎn)的系統(tǒng)，而此處只說(shuō)明了系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有正極點(diǎn))

相角裕度$\gamma$

系統(tǒng)截止頻率$w_c$處，幅值滿足條件$A\left({\omega }_c\right)=\left|G\left(j{\omega }_c\right)H\left(j{\omega }_c\right)\right|=1$時(shí)，若其相角再減小$\gamma$后，將達(dá)到臨界穩(wěn)定條件(穿過$(?1,j0)$點(diǎn))，即：

$$\angle G\left(j{\omega }_c\right)H\left(j{\omega }_c\right)?\gamma =?180^{°}$$

所以：

$$\gamma =180^{°}+\angle G\left(j{\omega }_r\right)H\left(j{\omega }_c\right)$$

稱為相角裕度。

當(dāng)$\gamma >0$時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)$\gamma =0$時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng)$\gamma <0$時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

幅值裕度$h$

設(shè)系統(tǒng)的穿越頻率為$w_x$，$w_x$滿足相角條件

$$\phi \left({\omega }_x\right)=\angle G\left(j{\omega }_x\right)H\left(j{\omega }_x\right)=(2k+1)\pi ,k=0,\pm 1，\pm 2，\dots$$

若幅值再增大$h$倍后，系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定條件，即：

$$h\left|G\left(j{\omega }_x\right)H\left(j{\omega }_x\right)\right|=1$$

可得：

$$h=\frac{1}{\left|G\left(j{\omega }_x\right)H\left(j{\omega }_x\right)\right|}$$

若在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，則：

$$h(\mathrm{d}\mathrm{B})=?20\lg \left|G\left(j{\omega }_x\right)H\left(j{\omega }_x\right)\right|$$

$h$稱為幅值裕度。

當(dāng)$h>1$或者$h>0dB$時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)$h=1$或者$h=0dB$時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng)$h<1$或者$h<0dB$時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的频域分析之稳定裕度的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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