導語

北京時間10月5日下午，2021年諾貝爾物理學獎揭曉，三位科學家因復雜系統(tǒng)研究貢獻而獲獎。真鍋淑郎（Syukuro Manabe）和克勞斯·哈塞爾曼（Klaus Hasselmann）因為“地球氣候的物理建模，量化可變性并可靠地預測全球變暖”的研究共享了諾貝爾物理學獎的一半獎金。喬治·帕里西（Giorgio Parisi）因為“發(fā)現(xiàn)了從原子尺度到行星尺度的物理系統(tǒng)中的無序和漲落的相互作用”而獲得了諾貝爾物理學獎的另一半獎金。

為什么諾貝爾物理學獎此次青睞復雜系統(tǒng)研究？三位研究者的工作背后有何內(nèi)在聯(lián)系？怎樣理解復雜系統(tǒng)？北京師范大學系統(tǒng)科學學院教授、集智俱樂部創(chuàng)始人張江撰寫本文，從復雜科學的角度解讀本屆諾貝爾物理學獎。

張江?| 作者

劉培源?|?編輯

10月5號下午突然看到朋友圈被諾貝爾物理學獎刷屏了，更令人吃驚的是，“Complex Systems”幾個大字赫然出現(xiàn)在諾貝爾物理學獎官方網(wǎng)站中。細細想來，這大概是復雜科學的相關(guān)研究第二次獲得諾貝爾獎青睞了，第一次還是早在44年前，著名的復雜科學大師普利高津因他在“非平衡熱力學特別是他的耗散結(jié)構(gòu)理論方面的工作”而獲得1977年的諾貝爾化學獎。

巧的是，就在我剛剛上線得到APP的《復雜科學二十七講》課程中，我深入解讀了什么是混沌，什么是有序，什么又是復雜，這恰好也是諾貝爾獎所鼓勵研究的重要概念。而第二節(jié)講椋鳥鳥群的時候，我還專門介紹了Giorgio Parisi在這方面的研究工作，今年諾獎的一半恰恰就授予了這位Parisi教授。

諸般機緣都促成了我下定決心熬夜寫下這篇文章，從概念的歷史縱深的角度深入為大家解讀一下2021年的諾貝爾物理學獎。

諾貝爾獎為何突然青睞復雜系統(tǒng)研究了？我想這主要應歸功兩點。

一方面，復雜系統(tǒng)研究實在是牽扯到從生命到宇宙再到人類社會等一系列意義重大的問題。你看今年的諾獎前一半就是授予了全球氣候這一牽扯到人類未來生死存亡的重大問題的研究。

另一方面，復雜系統(tǒng)無愧于復雜二字，它的研究實在是太難太難了。你看，針對自然界中的秩序現(xiàn)象，我們有歐氏幾何、群論等一大堆數(shù)學、物理工具；針對無序現(xiàn)象，我們又有概率、統(tǒng)計等一大堆理論工具。然而，復雜系統(tǒng)，恰恰介于混沌與秩序之間，傳統(tǒng)的分析工具剛好基本都用不上了。所以，這方面一小點的進展都是不得了的。

下面，我就沿著混沌-秩序-混沌邊緣的順序為大家詳細拆解。

1. 混沌與蝴蝶

今年的諾貝爾物理學獎頒獎詞中，有兩個關(guān)鍵詞，一個是“氣候（climate）”，一個是“無序（disorder）”，而復雜系統(tǒng)中的無序有相當一部分來源于“混沌”（chaos），那么我們就從“氣候”和“混沌”這兩個概念說起。

把這兩個詞兒湊一塊兒，你肯定很快就會想到一個時髦的名詞——蝴蝶效應。啥叫蝴蝶效應呢？一個通俗的版本是：“亞馬遜雨林中的蝴蝶扇動了一下翅膀，北京上空就下起了一場暴雨”。但你可能并不知道，蝴蝶效應在科學上的真正含義。

這還要從混沌系統(tǒng)中蝴蝶效應的發(fā)現(xiàn)者——洛倫茲說起。早在1963年，氣象學家愛德華·洛倫茲（Edward Lorenz）為了模擬天氣系統(tǒng)中的對流運動，寫下了一個簡化版的方程，方程長的是這個樣子：

不要問我這里面各個變量的含義，因為它其實對你理解混沌現(xiàn)象沒有絲毫幫助。你只需要知道兩件重要的事兒：

1. 這個方程是完全確定性的

這也就意味著，這個模擬的天氣系統(tǒng)完全就像一個精密的鐘表，你設置好時針、分針、秒針的初始位置，它就可以精確地走時，沒有任何隨機、不確定性因素的干擾。

2. 這個方程是高度非線性的

這意味著，你不能通過簡單的數(shù)學計算，就準確地預測出來這個系統(tǒng)的行為。我們只能求助計算機來通過暴力地計算，從而對它近似求解。

然而，當你真的將這個方程輸入你的計算機后，你會看到這樣的畫面：

你首先會看到，這個動點經(jīng)過長期運動所形成的軌跡就像一支張開了翅膀的大蝴蝶！這大概就是為什么當時洛倫茲把混沌現(xiàn)象叫做蝴蝶效應的真正原因吧。

其次，你會看到，那個代表方程解的動點會在兩扇翅膀之間晃來晃去的，飄忽不定。它一會兒在這邊晃兩圈，一會兒又跳到了另一扇翅膀。它的運動表現(xiàn)得似乎毫無規(guī)律。

其實，覺得這個方程奇怪的人不只是你。就連洛倫茲第一次看到這個飄忽不定的動點的時候也大吃了一驚。

然而，他還發(fā)現(xiàn)了更神奇的事兒。當他從稍微不同的初始狀態(tài)迭代這個方程的時候卻會得到完全不同的軌跡。洛倫茲開始還以為是自己的程序出了Bug，怎么可能初始條件相差萬分之一，后續(xù)的結(jié)果卻有巨大的誤差呢？經(jīng)過反復的驗證，他才了解到，原來這個方程并沒有錯，而是在向洛倫茲傳達一個驚天動地的關(guān)于數(shù)學世界的大秘密：這個超級簡單的非線性方程是對初始條件的誤差超級敏感的！

什么意思呢？想象一下你去靶場打靶的情景。當你的子彈從槍筒射出的時候，如果出現(xiàn)了一個非常小角度的偏差會怎樣呢？完全可能讓子彈脫靶，對吧？這就是說，子彈飛行的軌跡及其彈著點是對子彈出射的小角度非常敏感的。

但對于洛倫茲方程這樣的混沌非線性系統(tǒng)來說，它對于初始條件的誤差要遠比子彈這樣的線性系統(tǒng)來說敏感得多。因為子彈的誤差是隨子彈飛行時間線性放大的；而洛倫茲天氣系統(tǒng)的誤差放大是指數(shù)級別的。這就意味著，開始的時候，你預測的天氣系統(tǒng)僅僅有萬分之一的誤差，但經(jīng)過兩天以后，你的模型就和真實天氣系統(tǒng)產(chǎn)生了天壤之別，簡直就毫無關(guān)系了。所以才說，亞馬遜雨林的蝴蝶，小小地扇動了一下翅膀，有可能造成遙遠地方的一場巨大的暴風雨。這種對初始誤差的敏感性就被后來的人們稱之為蝴蝶效應了。

洛倫茲怎么也沒想到，自己這個簡化的天氣模型竟然引發(fā)了一場席卷全球的混沌風暴。人們本以為不確定性僅僅是與量子世界有關(guān)的，但現(xiàn)在混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)卻告訴我們，即使一個像牛頓鐘表一樣的確定系統(tǒng)，也有可能因為非線性而產(chǎn)生完全隨機的表現(xiàn)。同時，因為初始條件不完美的測量或設定，使得我們根本無法對系統(tǒng)進行準確模擬與預測。像牛頓、拉普拉斯設想的那種完美的鐘表世界在現(xiàn)實中根本就不存在。

2. 隨機中如何涌現(xiàn)有序

既然如此簡化版的天氣系統(tǒng)都是混沌無序的，那是不是說真實的天氣或者更大尺度的氣候特征就更加無序和不可預測了呢？

今年諾貝爾物理學獎的頭兩位得主，Syukuro Manabe和Klaus Hasselmann的工作卻否定了這個結(jié)論。他們發(fā)現(xiàn)，當我們從更大尺度去考慮天氣甚至全球氣候這樣更大系統(tǒng)的時候，我們不僅能夠預測全球大尺度氣候系統(tǒng)的宏觀行為，甚至還可以評估人類的碳排放怎樣對全球氣候造成影響。即使在微觀尺度，混沌效應的確存在，但當我們考慮全球氣候變暖這樣的更大尺度問題時，混沌效應所產(chǎn)生的混亂、不確定性就可以被視為噪音漲落而忽略掉，從而得到確定性的結(jié)論。

這種將無序作為噪音處理的做法，其實我們一點都不陌生。因為，統(tǒng)計學就在做這樣的事兒。

比如，我們?yōu)槭裁匆獙σ粋€事物進行多次測量而取平均值呢？就是因為每一次測量可能存在著誤差，而把多次測量的結(jié)果加起來，就有可能讓這些誤差相互抵消掉，從而得到更穩(wěn)定、靠譜的結(jié)果。

除了均值以外，物理學家更喜歡用“漲落”來描述像極端天氣或股票漲落這樣隨機系統(tǒng)的物理量，它描述了這些隨機量偏離系統(tǒng)均值的程度。

講一個我自己的例子。這次十一假，我?guī)『⒃陲埖瓿燥?#xff0c;她很快就吃完了，然后就閑著無聊，要玩我手機。我不想給她，又怕她哭鬧。于是，我靈機一動，給她出了一道題目：“你去數(shù)一數(shù)這個飯店里一共有多少男的，有多少女的。我保證：這男人數(shù)量和女人數(shù)量的差，不會多于10個人。你信不信？不信？那你自己去數(shù)吧！”

于是，她果然去一個桌一個桌子數(shù)人去了。過了好一會兒，她跑回來說，“男的有62個，女的有55個，相差是……7個。誒？果然在10以內(nèi)。爸爸，你是怎么知道的？”

我神秘地一笑：“你以后好好學數(shù)學，你就知道了。”

其實，聰明人不難看出來，這個問題完全可以轉(zhuǎn)化為一個醉漢游走的問題：假設一個醉漢在一條街道上隨機游走，他可能以1/2的概率向前走一步，也有可能以1/2概率向后走一步。那么，經(jīng)過100步以后，你能估計出醉漢離起點有多遠嗎？你只要把男人映射為往前走，女人映射為往后走，走的步數(shù)映射為飯店里的人數(shù)，你就可以找到兩個問題的完美對應。

那么，這個問題怎么解呢？我們不得不把大名鼎鼎的愛因斯坦搬出來了。因為他早在1905年的時候，就給出了隨機游走這類問題的一套精辟的解法。

為什么對于完全隨機運動的醉漢，我們能夠?qū)懴戮_的數(shù)學方程并求解呢？這里的關(guān)鍵就在于大數(shù)和概率！如果考慮單個醉漢在每一步的行為，我們很難得出準確的預測——事實上根本無法預測，因為它是純隨機的。

但是，當我們讓足夠多的醉漢，比如1000個，同時從起點出發(fā)，進行隨機游走的時候，我們就能看到烏壓壓的一群醉漢仿佛形成了一片烏云從原點擴散開來。每個點烏云的顏色深度就對應了該點醉漢的數(shù)量——這其實可以用一個精確的數(shù)學方程刻畫：

其中x就是醉漢可能處于的位置坐標（以起點為原點），t為時間步，ρ為某地某時發(fā)現(xiàn)醉漢的概率，也就是那片烏云的濃度。我們不妨把這個方程簡單稱為愛因斯坦方程。

這里的問題關(guān)鍵有兩點：

1. 大數(shù)定律讓每個醉漢的隨機性相互抵消了；

2. 放棄描述單個隨機因素的努力，退而嘗試預測具有統(tǒng)計含義或宏觀的變量，比如平均值、漲落、概率等。

正是這兩點，可以讓我們從一個不確定的系統(tǒng)中提取出確定性的規(guī)律出來。而且，這種從無序涌現(xiàn)有序的現(xiàn)象在復雜系統(tǒng)中幾乎隨處可見。

今年獲得諾貝爾物理學獎前兩位得主的成果，正是發(fā)現(xiàn)了全球氣候系統(tǒng)無序中的有序現(xiàn)象。首先，Hasselmann等人為了定量刻畫溫度等宏觀變量，寫下了類似于洛倫茲方程的動力系統(tǒng)方程：

這里y表示的就是全球平均氣溫、海平面溫度等全球大尺度氣候變量。相比于洛倫茲方程，這里多出了一個隨機漲落項ξ，而這一項恰恰就包含了微觀的混沌因素。也就是說，從大尺度上看，混沌所造成的隨機性就變成了類似于投擲硬幣一樣的隨機變量。

當我們考慮全球氣候系統(tǒng)的變化時，不僅要關(guān)心全球溫度的平均值，還需要關(guān)心它們的漲落。因為這些漲落恰恰是構(gòu)成一次次極端天氣事件的罪魁禍首。那么，這些漲落量就像是我考女兒問題中的男人數(shù)和女人數(shù)的差一樣，也就對應了隨機醉漢偏離原點的程度。在一個足夠巨大的系統(tǒng)之中，這種漲落的范圍是完全可以被估計出的。我們只要將這個Hasselmann方程（朗之萬方程）轉(zhuǎn)化為類似于愛因斯坦方程的形式（Fokk Plank方程）就可以輕松求解了。這就是無序系統(tǒng)之中涌現(xiàn)出來的秩序。

無獨有偶，我們自己最近的一個工作也可以作為無序中的有序的體現(xiàn)。長久以來，人們普遍認為公司的生長是毫無規(guī)律的隨機因素制約的，這被稱為Gibrat定律。而我和圣塔菲研究所的科學家Geoffrey West等人近期合作的研究成果發(fā)現(xiàn)，公司的生長會展現(xiàn)出確定性的規(guī)律。北美的上市公司盡管在個體層面上千差萬別，很難預測其生長快慢，但站在整個市場的宏觀視角來看，它們的長期增長的平均行為（公司的總資產(chǎn)）也遵循著嚴格的數(shù)學方程：

而且，我們還發(fā)現(xiàn)，每個具體公司的確很難預測其行為，但是它們偏離這條生長曲線的漲落大小卻也遵循嚴格的數(shù)學規(guī)律， 這一規(guī)律很好地服從了拉普拉斯分布：

在著名的《基地》系列科幻小說中，阿西莫夫曾經(jīng)幻想了一門稱為“心理史學”的學問——當人群的規(guī)模超過150人的時候，心理史學就能精確地預測這個人類群體的行為。看來，阿西莫夫一定深諳從無序到有序的復雜科學之道理。也許，未來的復雜科學真的能發(fā)展出這種類似“心理史學”的理論也說不定。

3. 復雜：介于混沌與秩序的邊緣

通過上面兩節(jié)，我們已經(jīng)看到，大自然中的有序與無序其實是可以相互轉(zhuǎn)化的。當你從不同的尺度去看一個復雜系統(tǒng)，它既可能從大量的無序中產(chǎn)生有序，又可以從大量的有序中，產(chǎn)生出混沌現(xiàn)象。

然而，真正的復雜系統(tǒng)其實既不是單純的有序，也不是單純的無序，而是介于這二者之間的。人工生命之父、復雜科學家朗頓（Chris Langton）就提出來一個名詞，叫做“混沌的邊緣”來刻畫復雜系統(tǒng)真正的核心屬性——復雜。也就是說，所謂的復雜，其實具體解釋就是位于混沌的邊緣。

而今年諾貝爾物理學獎第三位得主的研究工作其實就牽涉到了這類混沌邊緣的復雜現(xiàn)象。Giorgio Parisi是意大利羅馬大學的著名統(tǒng)計物理學家。我曾經(jīng)在得到的《復雜科學二十七講》課程里介紹過他在鳥群方面的研究工作，他找到了定量刻畫鳥群處于混沌邊緣的方法。

Parisi的主要學術(shù)成就是自旋玻璃，說到這個，就不得不提一提Ising模型了，因為自旋玻璃其實就是一種廣義的Ising模型。

可是，Ising模型又是啥呢？不知道你有沒有做過這樣的實驗，如果你加熱一塊磁鐵，那么在達到一定的臨界溫度以后，它就會失去磁性。Ising模型就是為了說明磁鐵這種變化現(xiàn)象的抽象化模型。

考慮到部分讀者對物理概念可能很陌生。那么，我就用一個Ising模型在社會現(xiàn)象上的類比來進行更易理解的說明。

考慮這樣一個村莊，村民們要票選村長了。假設所有的村民都整整齊齊地居住在一個網(wǎng)格世界上，如下圖所示：

這里的每一個格子就是一個村民。村長候選人有兩個選項：張三和李四。如果一個村民支持張三，我們就給這個格子涂成黑色，如果他支持李四，就給涂成白色。為了簡單起見，我們假設這兩個候選人各方面的表現(xiàn)都差不多，以至于村民們選擇出一個好村長可能非常困難。

好了，下面考慮村民們觀點的變化過程。村民支持張三和李四，可能受到兩種因素的影響：

1. 周圍鄰居的選擇

假設這些村民們不會移動，這樣他們只能和自己周圍的鄰居交頭接耳。于是，如果某個村民周圍的四個鄰居都支持李四，那么即使他開始支持張三，也會撐不住的，從眾心理會迫使他和自己的鄰居盡可能選擇相同的候選人。

2. 自己內(nèi)心的呼喚

很顯然，有相當一部分村民不會受到周圍鄰居的影響，而是具有著堅定的信念，于是他們認準了張三，就是張三，絕不會因為鄰居都選李四，而改變自己的投票。

Ising模型可以用一個參數(shù)T來刻畫這兩種因素的相對強度。我們不妨把T簡單地理解為村民聽從自己內(nèi)心呼喚的程度。那么，T越大，村民越不會受周圍鄰居影響；越小則越傾向于和周圍的鄰居保持一致。

好了，接下來，我們就讓這些村民們開始自由討論，充分表達自己的觀點。于是，不難想象，有些人就有可能會被其他人說服，從而改變自己的觀點，于是這個格子就轉(zhuǎn)變了黑白顏色。但是，隨著時間推移，每個人都會慢慢將自己的觀點穩(wěn)定下來，最終，會形成一個固定的觀點分布。我們不妨把不同T的情況下，村民們觀點的分布用二維圖畫出來。

當T比較大的時候，圖形是這樣的：

這看起來很隨機，為什么會這樣呢？由于T非常大，所以，幾乎每個人都只遵循自己內(nèi)心的呼喚，而無視鄰居的選擇。而又因為兩個候選人條件都差不多，于是每個人的選擇就既可能傾向張三，也可能是李四，從宏觀的角度看，就是隨機的。我們說，T越大表示系統(tǒng)越混沌，注意這里的混沌表示的是無序隨機的意思。

而當T比較小的時候，每個村民很容易被鄰居影響。所以，只要周圍鄰居選擇李四的比例更大一些，那么這個村民就會選擇李四。于是村民彼此之間就會更容易傾向一致的選擇。我們說，T越小，系統(tǒng)越秩序。

而好玩就好玩在當T不大不小，這個時候整個村莊的圖是這個樣子的：

這張圖乍一看，好像也是很隨機的，但是當你拿著放大鏡仔細看的時候，就會發(fā)現(xiàn)不同尺度的復雜結(jié)構(gòu)。圖中大量的黑色的或白色的方格會相互連接形成一片片的島嶼。不同顏色島嶼之間形成了犬牙交錯的復雜結(jié)構(gòu)。事實上，這些島嶼就和真實島嶼一樣，是分形的。如果你放大這張圖不同的倍數(shù)，你會發(fā)現(xiàn)這些看起來隨機的島嶼卻展現(xiàn)了驚人的相似性。

所以，這種情況的村莊就既不是混沌的也不是秩序的，它是處于混沌與秩序邊緣狀態(tài)的。

實際上，在原始的Ising模型中，村民對應了構(gòu)成磁鐵的一個個小磁針，村民的兩個不同選項就代表了小磁針的方向。T則對應了溫度。當T比較低的時候，由于小磁針會選擇同樣的方向，所以磁鐵產(chǎn)生了很強的磁性。而如果T超過臨界溫度的時候，小磁針一片混亂，磁場相互抵消，磁鐵也就失去了磁性。而當T達到臨界值的時候，系統(tǒng)就會處于從鐵磁態(tài)到順磁態(tài)的變化狀態(tài)。物理學家稱這類系統(tǒng)發(fā)生了臨界相變（Critical Phase Transition）。

本質(zhì)上講，Ising模型很好地給混沌與秩序邊緣的復雜現(xiàn)象進行了數(shù)學建模，而混沌邊緣又廣泛存在于各類系統(tǒng)中，所以Ising模型也具備了很廣的跨學科應用。仿照村民投票，在社會科學中，人們已經(jīng)將伊辛模型應用于股票市場、種族隔離、政治選擇等不同的問題。另一方面，如果將村民比喻成神經(jīng)元細胞，選票的黑白比喻成神經(jīng)元的激活與抑制，村民間的交頭接耳比喻成神經(jīng)元之間的信號傳導，那么，Ising模型的變種還可以用來建模神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)，從而搭建可適應環(huán)境、不斷學習的機器（Hopfield網(wǎng)絡或玻爾茲曼機）。

今年諾貝爾獎得主Parisi及其合作者就開發(fā)了一套對更復雜的Ising模型進行求解的方法。

當然，能夠描述復雜系統(tǒng)混沌邊緣的不僅是Ising模型。比如Parisi所研究的鳥群，就可以用幾條簡單的規(guī)則來描述，首先是靠近，鳥會盡可能靠近視野半徑之內(nèi)的鄰居，其次是對齊，和視野半徑之內(nèi)的鄰居盡量方向一致，最后是避免碰撞。依靠這三條簡單規(guī)則，就可以在計算機上模擬出鳥群的靈活而有秩序的復雜行為。

物理學家Per Bak等人還發(fā)現(xiàn)，很多復雜系統(tǒng)會自動地調(diào)節(jié)參數(shù)T以自組織的方式讓自己進入到混沌與秩序的邊緣狀態(tài)。詳細內(nèi)容可以參考我的得到課程第16講《自組織臨界：為什么會發(fā)生“黑天鵝”事件》。

我們的大腦正是因為可以平衡在秩序和邊緣的狀態(tài)才能夠才思敏捷；人類組織正是很好地平衡了創(chuàng)新（混沌）與管理（秩序）這兩種力量才能得到健康的發(fā)展；全球頻發(fā)的極端天氣也許正是因為全球氣候系統(tǒng)為了讓自己重新回歸到混沌邊緣的狀態(tài)才出現(xiàn)的。

混沌邊緣與中國道家，特別是陰陽思想不謀而合。這里，陽就對應了混沌，而陰則對應秩序。健康的狀態(tài)不是單純的秩序，而是需要與混沌之無序相平衡的，因為混沌與無序則代表了生命中生生不息的動力。

4. 21世紀是復雜性的世紀

看到最近知乎上有篇文章說，近年來復雜科學似乎有趨勢繼承相對論和量子力學，而淪為“民科集散地”。原因就是，這個學科充滿了高大上的名詞和理論，同時絕大多數(shù)人又對這些名詞兒不明覺厲。有人甚至在聽了我的課后懷疑復雜科學是否是一門嚴肅的科學。

但我想，諾貝爾獎的頒發(fā)可能是對這些言論的最好回應。事實上，對于一門蓬勃發(fā)展的新興學科來說，概念不清、缺乏定量化也許并不是壞事兒，因為正是缺乏嚴格性和整體框架性這樣的混沌狀態(tài)才能夠召喚更多科學、理性的智力投入其中，從而為它引入秩序的曙光。

霍金說，“我認為21世紀將是復雜性的世紀”。我相信，復雜科學將會在未來扮演更重要的角色。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2021年诺贝尔物理学奖——平衡混沌与秩序的复杂的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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