目錄

• 邊值問題
• • 1. 方程
  • 2. 邊界條件
• 解法
• • 1. 分離變量法
  • 2. 有限差分法
  • 3. 電軸法
  • 4. 鏡像法
  • • (1) 無限大導體平面
    • (2) 導體球面
    • (3) 雙層介質(zhì)

邊值問題

邊值問題就是求解給定邊界條件泊松方程解的問題。解得的結(jié)果是標量電位函數(shù)

1. 方程

泊松方程：
$${?}^2\phi =?\frac{\rho }{\epsilon }$$

反映了場中各點電位的空間變化與該點自由電荷體密度之間的普遍關系。

特殊的，拉普拉斯方程：
$${?}^2\phi =0$$

2. 邊界條件

• 第一類邊界條件
  $$\phi {|}_S=f_1(s)$$

• 第二類邊界條件
  $$\frac{?\phi }{?n}{|}_S=f_2(s)$$

• 第三類邊界條件
  $$(\phi +\frac{?\phi }{?n}){|}_S=f_3(s)$$

解法

1. 分離變量法

• 基本思想： 把電位函數(shù)φ用兩個或三個僅含一個坐標變量的函數(shù)的乘積表示，帶入偏微分方程后，借助“分離”常數(shù)使原來的偏微分方程轉(zhuǎn)換為幾個常微分方程，如何分別求解這些常微分方程并以給定的邊界條件確定其中待定常數(shù)和函數(shù)，最終得到電位函數(shù)解。

2. 有限差分法

• 基本思想： 把場域用網(wǎng)格進行分割，再把拉普拉斯方程用以各網(wǎng)絡節(jié)點處的電位作為未知數(shù)的差分方程式來進行代換，將求拉普拉斯方程解的問題變?yōu)榍舐?lián)立差分方程組的解的問題。

3. 電軸法

• 實質(zhì)： 同鏡像法。
• 適用情況： 帶等量異號電荷的兩平行圓柱導體間的靜電場問題。
  $$a^2+b^2=h^2$$

• a：圓柱導體的半徑
• h：軸心到原點的距離
• b：電軸到原點的距離

4. 鏡像法

• 實質(zhì)： 把實際上分片均勻媒質(zhì)看成是均勻的，并在所研究的場域邊界外的適當?shù)攸c用虛設的較簡單的電荷分布來代替實際邊界上復雜的電荷分布。根據(jù)唯一性定理，只要虛設的電荷分布與邊界內(nèi)的實際電荷在一起所產(chǎn)生的電場能滿足給定的邊界條件，這個結(jié)果就是正確的。
• 電荷的只能放在非求解區(qū)域。

(1) 無限大導體平面

• 上半空間等效于： 撤去導體，空間充滿介電常數(shù)${\epsilon }_0$的電介質(zhì)，$q$不變，對稱位置放一個$?q$，兩者共同產(chǎn)生的電場。
• 下半空間： 沒有電場分布。

(2) 導體球面

• 導體球外等效于： 撤去導體球，空間充滿介電常數(shù)${\epsilon }_0$的電介質(zhì)，q不變，在球心與q連線上距離球心$b$距離上增加一個大小為$q^{\prime }$點電荷，兩者共同產(chǎn)生的電場。
  $$b=\frac{R^2}{d}$$

$$q^{\prime }=\frac{R}{d}q$$

• 導體球內(nèi)： 等式體，電場強度處處為0。

(3) 雙層介質(zhì)

• 左半空間等效于： 撤去導體，空間充滿介電常數(shù)${\epsilon }_1$的電介質(zhì)，q不變，在對稱位置加一個 $q^{\prime }$，電場由兩者共同產(chǎn)生

$$q^{\prime }=\frac{{\epsilon }_1?{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}q$$

• 右半空間等效為： 撤去導體，空間充滿介電常數(shù)${\epsilon }_2$的電介質(zhì)，q撤去，在對稱位置加一個 $q^{\prime \prime }$，電場由其自己產(chǎn)生。

$$q^{\prime \prime }=\frac{2{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}q$$

對于線電荷仍然適用。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的静电场边值问题及其求解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。