背景介紹

結(jié)構(gòu)光測量技術(shù)包括線結(jié)構(gòu)光和面結(jié)構(gòu)光測量，其中，面結(jié)構(gòu)光又包括相位測量輪廓術(shù)PMP(phase measurement profilometry)，又稱為相移測量輪廓術(shù)PSP(phase shifting profilometry)，傅里葉變換輪廓術(shù)（FTP）等。還有很多其他面結(jié)構(gòu)光測量技術(shù)，此處不做過多介紹，感興趣的可查閱相關(guān)綜述。線結(jié)構(gòu)光測量技術(shù)因其有強烈的噪聲不敏感特性，具有較高的測量精度，一般用于測量具有高反的金屬工件，PCB板等，但其空間分辨率不足。面結(jié)構(gòu)光具有高的空間分辨率，且測量速度快，具有良好的測量精度，研究的比較多，以下結(jié)構(gòu)光測量技術(shù)特指相移條紋結(jié)構(gòu)光測量技術(shù)。

基本原理

相移條紋測量技術(shù)一言以蔽之就是向待測物體投射編碼正弦條紋，相機拍攝經(jīng)物體高度調(diào)制后變形條紋，解析變形條紋相位從而恢復(fù)出物體三維形貌。基本原理和變形條紋圖如下所示。

相位測量輪廓術(shù)是基于三角測量原理，如上圖所示的發(fā)散測量系統(tǒng)，$P_1$，$P_2$分別位投影儀的入瞳和出瞳，$I_1$，$I_2$分別為相機的入瞳和出瞳。相機和投影儀出瞳處于同高度，兩者之間的距離位$d$，距離參考面的高度位$L$，三角形$P_1{I}_{2}D$與$ACD$相似，則
$$\frac{d}{L?h(x,y)}=\frac{h(x,y)}{AC}?h(x,y)=\frac{Ld}{AC+d}\text{\hspace{1em}(1)}$$
我們從相機視角看待公式(1)，$L$，$d$是系統(tǒng)參數(shù)，已知量，AC是未知量。假設(shè)沒有物體時，C點成像在相機P點，有一個物體時，D點同樣成像在相機P點(因為CD在同一條光線上)，因為AD處于同一條光線上，所以AD兩點對應(yīng)于投影儀上同一點，即D點相位與A點的相位相同，$AC=f(?(D)??(C))=f(\delta {?}_p)$，其中，$\delta {?}_p$指的是相機上P點位置的相位差，相位差指的是參考面和待測物體之間的相位差值。實際測量時，先拍攝參考面，獲得參考面的相位，然后在拍攝物體，獲得物體的相位，然后兩組相位作差得到每個像素點的相位差。至此，相位測量輪廓術(shù)的公式(1)可完整表達成下述形式：
$$h(x,y)=\frac{Ld}{f(\delta \Phi (x,y))+d}\text{\hspace{1em}(2)}$$
公式(2)表明條紋相位受物體高度調(diào)制，但是調(diào)制的具體表達式我們并不清楚（對于具體的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，這個高度對相位的調(diào)制方式可以近似推導(dǎo)出來的，比如遠心系統(tǒng)）。如果在整個平面上條紋周期不變，則AC之間的距離完全可表達為$d_{ac}=\delta ?/2\pi f$，其中，$f$為參考面上的條紋頻率。實際上，我們不能精確測量出參考面上的條紋頻率。

公式(1)是相位測量輪廓術(shù)的幾何表達式，公式(2)是相位測量輪廓術(shù)的相位表達式，式中的相位映射關(guān)系$f$我們無法精確得到。在實際的測量系統(tǒng)中，我們很難滿足相機和投影儀的出瞳位于同一高度，并且相機和投影儀之間的距離也很難精準(zhǔn)測量，所以，一般都是通過標(biāo)定的方式間接得到相位和高度之間的映射關(guān)系:
$$h(x,y)=a_0+a_1\delta \Phi (x,y)+a_2\delta {\Phi }^2(x,y)\text{\hspace{1em}(3)}$$
公式(3)就是相位測量輪廓術(shù)的相位和高度之間的多項式表達式，其中，多項式系數(shù)$a_i$通過標(biāo)定的手段得到。

相移

到目前為止，我們明白了相位測量輪廓術(shù)的原理是待測物體的高度對正弦條紋相位調(diào)制引起相位變化，我們通過求解變形條紋相位間接得到物體高度，但問題的關(guān)鍵是我們?nèi)绾尾拍艿玫较辔荒?#xff1f;這時候就需要通過相移技術(shù)來計算得到相位了，說白了相移就是為了構(gòu)造方程來求解方程系數(shù)。

一般計算機生成正弦條紋圖$I(x,y)=A(x,y)+B(x,y)cos(?(x,y))$，其中，$A$表示背景光，$B$表示條制度，$?$表示相位，一般表示為$?(x,y)=2\pi fx$。這樣的條紋投射到物體表面，然后經(jīng)相機拍攝后的條紋圖變?yōu)?br /> $$I^c(x,y)=R(x,y)[A(x,y)+B(x,y)cos(\psi (x,y))]+b(x,y)?I^c(x,y)=A(x,y)+B(x,y)cos(\psi (x,y))$$
其中，$R$表示物體反射率，$b$是背景光強。這樣我們分別向參考面和待測物體投射上述條紋，然后相機分別拍攝反射回來的條紋：
$$\begin{gathered} I_{ref}^c=A_{ref}(x,y)+B_{ref}cos(\psi (x,y)) \\ {I}_c=A(x,y)+B(x,y)cos(\Psi (x,y)) \end{gathered}$$
如果分別求解出經(jīng)參考面和待測物體表面反射后的條紋相位，則得到$\delta \Phi (x,y)=\Psi (x,y)?\psi (x,y)$。問題是，條紋圖中有3個未知數(shù)，分別為$A$，$B$和$\psi$，我們至少需要3個方程才可以求出三個未知數(shù)。此時，相移法終于排上用場了。

假設(shè)使用N步相移(N >= 3)，計算機生成相移條紋：$I_n(x,y)=A+Bcos(2\pi fx+2\pi (n?1)/N)$則相機拍攝回來的相移條紋可表示為：
$$I_n^c(x,y)=A+Bcos(\psi (x,y)+2\pi (n?1)/N),n=1,2,...N$$
下面除非特別說明，否則條紋圖都指的是相機拍攝的，N步相移，我們有：

$$?\begin{array}{l}{I}_1=A+Bcos(\psi +{\delta }_1)=A+Bcos(\psi )cos({\delta }_1)?Bsin(\psi )sin({\delta }_1)\\ I_2=A+Bcos(\psi +{\delta }_2)=A+Bcos(\psi )cos({\delta }_2)?Bsin(\psi )sin({\delta }_2)\\ ...\\ I_n=A+Bcos(\psi +{\delta }_n)=A+Bcos(\psi )cos({\delta }_n)?Bsin(\psi )sin({\delta }_n)\end{array}$$

式中，$A,B,\psi$是未知量，更一般表達

$$I_i=a+b?cos({\delta }_i)+c?sin({\delta }_i)$$

其中，$a=A$，$b=Bcos(\psi )$，$c=?Bsin(\psi )$使用最小二乘法對上式求解，定義：

$$\theta (a,b,c)=\sum _{i=1}^N(y_i?y{)}^2=\sum _{i=1}^N(I_i?a?b?cos({\delta }_i)?c?sin({\delta }_i){)}^2$$

分別對$a$，$b$，$c$求偏導(dǎo)有：

$$?\begin{array}{l}\frac{?\theta }{?a}=?2\sum (I_i?a?b?cos({\delta }_i)?c?sin({\delta }_i))=0\\ \frac{?\theta }{?b}=?2\sum (I_i?a?b?cos({\delta }_i)?c?sin({\delta }_i)?cos({\delta }_i))=0\\ \frac{?\theta }{?c}=?2\sum (I_i?a?b?cos({\delta }_i)?c?sin({\delta }_i)?sin({\delta }_i))=0\end{array}$$

寫成矩陣形式有：

所以有：

$$\begin{gathered} tan(\psi (x,y))=?\frac{c}{b}=?\frac{\sum I_i(x,y)?sin({\delta }_i)}{\sum I_i(x,y)?cos({\delta }_i)}? \\ \psi (x,y)=?atan(\frac{\sum I_i(x,y)?sin({\delta }_i)}{\sum I_i(x,y)?cos({\delta }_i)}) \end{gathered}$$

上面的推導(dǎo)過程是基于最小二乘法思想，所以，理論上相移步數(shù)越多越好，有利于抑制系統(tǒng)隨機白噪聲。但是對于系統(tǒng)噪聲，比如條紋非正線性，條紋存在高階諧波，上面公式推導(dǎo)過程中的系數(shù)矩陣將不再是對角陣，則會引入系統(tǒng)周期性噪聲。

這里的條紋非正線性指的是相移條紋在時間軸上的非正線性，而不是空間上的非正線性，因為從公式可知，像素之間的相位是相互獨立的，互不影響。所以，空間上的非正線性，比如因光照不均勻?qū)е聴l紋圖案部分對比度下降，不影響相位精度（如果系統(tǒng)非常理想，低對比度條紋不會降低信噪比的話）。

相位誤差分析

上面的從條紋光強提取相位的推導(dǎo)過程中可得出相位誤差主要有以下幾個：

• 系統(tǒng)隨機噪聲

系統(tǒng)隨機噪聲總是存在的，投影儀和CCD在不同的灰度級下響應(yīng)不同，實際投射條紋時，避免條紋過亮或過暗，盡量讓灰度級分布在中間區(qū)域（對比度高，黑白分明），避免灰度集中在一個較小的范圍內(nèi)（對比度低）。為了達到上述的拍攝條件，需要仔細設(shè)計條紋周期。還可以使用更好的硬件設(shè)備，從根源上降低系統(tǒng)隨機噪聲。

• 條紋非正線性，即非標(biāo)準(zhǔn)正弦條紋

條紋非正線性主要由于投影儀和CCD相機的非線性響應(yīng)引起的，如下圖所示。

• 量化誤差
  上面所有的公式推導(dǎo)在數(shù)學(xué)意義上是連續(xù)的，但是實際投影儀和相機都會把條紋灰度值量化為0~255的灰度整數(shù)值，比如某個像素的實際灰度值為125.6，然后就被相機量化為125，從而引入誤差。一般而言，量化誤差可以忽略不計。

• 其他誤差
  我看很多文獻都提到相移誤差，其實現(xiàn)在都是數(shù)字化生成正弦條紋了，相移誤差不存在。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的PMP相位测量轮廓术基本原理介绍的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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